江苏省宿迁市沭阳梦溪中学(沭阳国际学校)2016届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案[ 高考]

沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期第一次月考
高三数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．
2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 参考公式：
样本数据12x x ,，…，n x 的方差22
11()n i i s x x n ==-∑，其中x =1
1n i i x n =∑
一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,2}B =-，则A
B = ▲
2．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是____▲____ 3．一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲
4．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率 是____▲____
5．下图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .
6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.
7．已知向量(1,2),(2,3),a b ==若()()a b a b λ+⊥-，则λ＝ ▲
8．在矩形ABCD 中，2AB =， 3BC =，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几 何体的侧面积为 ▲ .
9．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于 ▲
10．命题“[]2
1,2,+90x x ax ∀∈+≥”是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲
（第5题）
100 80 90 110 /cm
（第6题）
11．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作 ⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值 为 ▲ ．
12．若数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则
n
a n
的最小值为 ▲ 13．设函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-．若存在0R x ∈，使得0()0f x <与 0()0g x <同时成立，则实数a 的取值范围是 ▲
14．若实数,,,a b c d 满足
22ln 341a a c b d
--==，则()()22
a c
b d -+-的最小值为 ▲ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ABC △的周长为13+ 且C B A sin 3sin sin =+． （1）求边c 的长；
（2）若ABC △的面积为C sin 3
1
，求角C 的大小．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC =，D 、E 分别为BC 、C B 1的中点， （1）求证：11//DE ABB A 平面； （2）求证：1ADE B BC ⊥平面平面
17．（本小题满分14分）
如图所示，某人在斜坡P 处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD 近似看成直线，斜坡与水平面夹角为α，
2
1tan =
α （1）以射线OC 为Ox 轴的正向，OB 为Oy 轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD 所 在直线方程；
（2）当观察者视角∠APB 最大时，求点P 的坐标（人的身高忽略不计）
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线
)((130x k y k ++--+=
恒过定点F . 设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2. （1）求F 点坐标 （2）求椭圆C 的方程；
（3）设（m ，n ）是椭圆C 上的任意一点，圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1：mx +ny =1和l 2：mx +ny =4的位置关系.
19．（本小题满分16分）
已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x （a ，b ∈R ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y ＋2＝0． （1）求函数f (x )的解析式；
（2）若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有| f (x 1) －f (x 2)|≤c ， 求实数c 的最小值；
（3）若过点M （2，m ）（m ≠2）可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()
2
n n n a a S -=． （1）求a 1；
（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1
lg 3n n n
a b +=
，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．
沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期第一次月考
高三数学II （附加题）
命题人：章其玉 2015.10 21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，
共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB=AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连接
AD 交⊙O 于点E ，连接BE 与AC 交于点F ． （1）判断BE 是否平分∠ABC ，并说明理由； （2）若AE=6，BE=8，求EF 的长．
B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立
平面直角坐标系，直线l
的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线 段长度.
D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
设x ，y ，z 为正数，证明：()
()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥
【必做题】（第22、23题每题10分．共20分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某部队进行射击训练，每个学员最多只能射击4次，学员如果2次命中目标，那么就不 再进行射击，假设某学员每次命中的概率都是23
，每次射击互相独立．
（1）求该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率；
（2）记该学员射击的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．
23．（本小题满分10分）
如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1．
（1）求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值； （2）求二面角C －DE －C 1的平面角的正切值．
B C
D A 1
B
1 C
1 D
1 E
F
沭阳梦溪中学2015—2016高三第一次质量检测
数学Ⅰ参考答案
一、填空题:本大题共14小题，每题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. {}1－，2； 2. 1； 3.
150 4. 1
3
； 5. 5； 6.24； 7. 53
-； 8. 12π；
10. 132a <- ；
11.115. ； 12. 212； 13．（7，＋∞）； 14.2
2(1ln 2)5
- .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）由题意及正弦定理，得13+=++c b a ，…………………2分
c b a 3=+，…………………………4分
两式相减，得1c =．……………………………………………6分 （2）由ABC △的面积
C C ab sin 31sin 21=，得3
2
=ab …………………9分 由余弦定理，得2
1
22)(2cos 22222=--+=-+=
ab c ab b a ab c b a C ，…12分 又∵C ∠是ABC △的内角
∴60C =．…………………………………………14分 16. （1）在1CBB ∆中，
∵D 、E 分别为BC 、C B 1的中点，
∴1//DE BB …………………………………………4分 又
11111,BB ABB A DE ABB A ⊂⊄平面平面
∴11//.DE ABB A 平面 …………………………7分 （2）∵三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱 ∴1BB ABC ⊥平面， ∵AD ⊂平面ABC ，
∴1BB AD ⊥ …………………………9分 ∵在ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 的中点，
∴AD BC ⊥ …………………………11分 ∵1,BB BC B ⋂=1BB 、BC ⊂平面1,B BC
∴AD ⊥平面1B BC 又
AD ⊂平面ADE
∴1ADE B BC ⊥平面平面. …………………………14分 17. （1）CD ：1
(200)2
y x =- …………………………4分
（2）设P (,)x y ，过点P 作PE OA ⊥交OA 于点E 则||APB BPE APE ∠=∠-∠…………………………6分 ∵200PA OC AB ≥=>，∴∠APB 为锐角
∴tan ∠APB=300220tan tan ||3002201tan tan 1y y
BPE APE x x y y BPE APE x x
---
∠-∠=
--+∠∠+⋅…………10分
=
80
51280003604x x
+- 211≤ …………………………12分
等号当51280004x x
= 即320,60x y ==时取到 ∴当观测者位于P （320，60）处视角最大…………………………14分
18. （1）
)(
(130x k y k ++--
=
)(30y k x ⇔
+-+-=
解30,0,
y x +-=⎪⎩
得)
0F . ……………………………4分
（2）设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c ，
则由题设，知2c a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 于是a =2，b =1. …………………6分
所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y += ……………………………………8分
（3）因为圆O ：222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点， 所以b r a <<，即1 2.r << ………………………………10分 因为点（m ，n ）是椭圆2
214x y +=上的点，所以2
21224m n m +=，且-≤≤.
[12]，. ……………………………11分
于是圆心O 到直线l 1
的距离11d r <， 圆心O 到直线l 2
的距离22d r >. ……………………15分 故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离. ……………………16分
19. 解：（1）f′(x )＝3ax 2＋2bx －3．…………………………2分
根据题意，得⎩⎨⎧f (1)＝－2，f′(1)＝0，
即⎩⎨⎧a ＋b －3＝－2，3a ＋2b －3＝0．解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0．
所以f (x )＝x 3－3x ．…………………………………4分 （2）令f′(x )＝0，即3x 2－3＝0．得x ＝±1．
所以当x ∈[－2，2]时，f (x )max ＝2， f (x )min ＝－2．……………………………6分 则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有| f (x 1) －f (x 2)|≤| f (x )max －f (x )min |＝4，所以c ≥4．
所以c 的最小值为4．……………………………………………………8分 （3）因为点M （2，m ）（m ≠2）不在曲线y ＝f (x )上，所以可设切点为(x 0，y 0)． 则y 0＝x 3
0－3x 0．
因为f′(x 0)＝3x 20－3，所以切线的斜率为3x 2
0－3．……………………9分 则3x 2
0－3＝x 3
0－3x 0－m
x 0－2
，……………………………………………11分
即2 x 30－6 x 2
0＋6＋m ＝0． 因为过点M （2，m ）（m ≠2）可作曲线y ＝f (x )的三条切线， 所以方程2x 3
0－6 x 2
0＋6＋m ＝0有三个不同的实数解． 所以函数g (x )＝2x 3－6 x 2＋6＋m 有三个不同的零点． 则g ′(x )＝6 x 2－12 x ．令g ′(x )＝0，得x 0＝0或x 0＝2．
则⎩⎨⎧<>,0)2(,0)0(g g 即⎩
⎨⎧<->+,02,06m m 解得－6＜m ＜2．…………………16分
20.解：(1)令n =1，则a 1=S 1=
111()
2
a a -=0．…………………2分 (2)由1()2n n n a a S -=
，即2
n n na
S =， ① 得 1
1(1)2
n n n a S +++=
． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．
④
③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………5分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，
所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，a n =n －1． …………………………………8分
注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分
(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，
于是，
21333p q
p q
=+． …………………10分 所以，21
3(
)3
3q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解．…………………12分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p
p
}(p ≥3)为递减数列， 于是
2133p p -≤
3
231
33⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．………16分
．
附加题参考答案
21 A.⑴BE 平分∠ABC . ………1分 ∵CD ＝AC ，∴∠D=∠CAD . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC=∠ACB
∵∠EBC=∠CAD ，∴∠EBC=∠D=∠CAD . ……………………4分 ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC ，∠ACB=∠D+∠CAD ，
∴∠ABE=∠EBC ，即BE 平分∠ABC . ……………………6分 ⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE .
∵∠AEF=∠AEB ，∴△AEF ∽△BEA . ……………………8分 ∴
AE
EF
BE AE =，∵AE =6， BE=8. ∴EF=
2
9
8362==BE AE . ……………………10分 21B 、解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤11，
即c ＋d ＝6； ………………………………………3分
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤ 3－2，
即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分
解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤ 3 3 2 4， …………………………8分 A 逆矩阵是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 23 －12
－13 12
21C ．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，
即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分
直线方程l 的普通方程为1y =+，………………………………6分 圆C 的圆心到直线l 的距离2
1
=
d ，…………………………………………………8分
故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)2
1
(2222=-． …………………10分
21D ．因为2220x y xy +≥≥
所以()()
()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+ …………………4分 同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+ …………………6分 三式相加即可得()
()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++ 所以()
()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++ …………10分 22．（1）记“该学员在前两次射击中至少有一次命中”的事件为事件A ，则
P (A )=2
2
8
1(1)3
9
--=
． ………………………………………………… 3分 答：该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率为89
． ………………… 4分
（2）学员射击次数X 的可能取值为2，3，4，且
224(2)()39P X ===，122128(3)...33327P X C ===，12332117(4)()()33327
P X C ==⋅⋅+=
， 故X 的分布列为：
∴X 的数学期望为： 48776()2349272727
E X =⨯
+⨯+⨯=．……………… 10分 23．以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系A －xyz ， 则有D （0，3，0），D 1（0，3，2），E （3，0，0），F （4，1，0），C 1（4，3，2）．
∴1(1,3,2)EC =，1(4,2,2)FD =-． … 2分 （1） 设EC 1与FD 1所成角为β，则
1111cos |
||||||1EC FD EC FD β⋅===
⨯． ……… 4分 （2）设向量(,,)x y z =n 为平面C 1DE 的法向量，则有
……… 7分
1
1330,13202DE x y x y z x y z EC ⎫⊥-=⎫
⎪⇒⇒==-⎬⎬++=⊥⎭
⎪⎭n n ．
∴(,,)22
z z z =--n ，取n 0=（－1，－1，2），
则n 0是平面C 1DE 的一个法向量． ………………………………… 6分 又向量1AA =（0，0，2）是平面CDE 的一个法向量．
经检验，n 0与1AA 所成的角θ即为二面角C －DE －C 1的平面角． ………… 8分
∵0101
cos ||||
1AA AA θ⋅==
⨯n n tan θ=． ……… 10分。