渭南市实验中学八年级数学上册 第十五章 分式 15.3 分式方程 课时2 分式方程与实际问题的综合教

第十五章分式
15.3 分式方程
课时2 分式方程的应用
【知识与技能】
(1)进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.
(2)熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题.
【过程与方法】
建立分式方程模型的过程，体会建模思想.
【情感态度与价值观】
在探索分式方程解决实际问题的过程中，体会数学在实际生活中的广泛应用.
在不同的实际问题中审清题意设未知数，列分式方程，解决实际问题.
在不同的实际问题中，设未知数列分式方程.
多媒体课件.
教师出示问题：
1.列方程解应用题的一般步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；（5）验；(6)答.(教师板书)
2.由学生讨论，我们现在所学过的应用题有哪些类型？
学生举手回答上面的两个问题，教师点评.
在学生讨论的基础上，教师归纳、总结，基本上有五种：
(出示投影)(1)行程问题：路程=速度×时间，而行程问题中又分相遇问题和追及问题.
(2)数字问题：在数字问题中，要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题：工作量=工作时间×工作效率.
(4)顺水、逆水问题：v顺水=v静水+v水，v逆水=v静水-v水.
(5)利润问题：售价-进价=利润率×进价.
教师引入：有一些实际问题，我们可以通过列分式方程解决.(板书课题)
教师：同学们，我们一起来看几个例子(教师依次出示教材P152例3、P153例4)：例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的（），乙队半个月完成总工程的（），两队半个月完成总工程的（）.
教师引导学生在用式子表示上述的量之后，再根据“甲、乙两个工程队的工程总量=总工程量”这一相等关系建立方程.
教师示范解答过程，强调必须检验这一过程.
例4某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
学生讨论，教师引导.先指导学生读题，理清速度、路程和时间所对应的式子，再抓住“相同的时间”这一关键词，得出相等的数量关系，即“提速前的路程÷提速前的速度=提速后的路程÷提速后的速度”，从而建立方程.
学生自己独立完成解答过程，教师再演示解答过程.
注意：教师帮助学生解决含有字母的计算问题，求出关于x的方程的解.教师提醒：表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量).
最后教师总结：(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系.
(2)在检验过程中，不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根，还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义，如时间非负、人数为正数等.
(3)在一些实际问题中，有时直接设问题所求的量为未知数可能比较麻烦，可以间接地设未知数.
接着教师让学生独立完成教材P154练习第1，2题，同桌之间互相检查.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
(1)审题,了解已知量与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
(2)设未知数；
(3)找出能够表示题中全部(或大部分)含义的相等关系，列出分式方程；
(4)解这个分式方程；
(5)验根，检验所求得的根是不是增根，以及是否符合实际意义；
(6)写出答案.
第十一章检测题
(时间：120分钟满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( D )
A．1，2，3 B．1， 2 ，3 C．3，4，8 D．4，5，6
2．正十边形的一个内角的度数是( D )
A．108°B．120°C．135°D．144°
3．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( A )
A．40°B．60°C．80°D．90°
4．如图，D，B，C，E四点共线，∠ABD＋∠ACE＝230°，则∠A的度数为( A )
A．50°B．60°C．70°D．80°
（第4题图）（第6题图）（第7题图）5．一个正多边形的外角等于45°，则这个正多边形的内角和是( B )
A．1 440°B．1 080°C．900°D．720°
6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22 cm，AB比AC长3 cm，则△ACD 的周长为( A )
A．19 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm
7．小明同学把自己的一副三角板(两个直角三角形)按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数为( C )
A．135°B．120°C．105°D．75°
8．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2，n＋8，3n，则满足条件的n 的值有( D )
A．4个B．5个C．6个D．7个
9．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是( B )
A．45°B．50°C．55°D．80°
（第9题图）（第10题图）
10．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是( B )
A．36°B．72°C．50°D．46°
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．工人师傅盖房子时，常将房梁设计成如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用三角形的稳定性．
（第11题图） （第14题图） （第16题图）
12．若三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，则第三边长为4． 13．若一个n 边形的外角和与它的内角和之和为1 800°，则边数n ＝10．
14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB，交边BC 于点D ，过点D 作DE⊥AB，垂足为点E.若∠CAD＝20°，则∠EDB 的度数是40°．
15．已知a ，b ，c 是三角形的三条边，则化简|a －b ＋c|－|c －a －b|＝2c －2b ．
16．如图，在△ABC 中，∠A ＝84°，点O 是∠ABC，∠ACB 平分线的交点，点P 是∠BOC，∠OCB 平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB 的度数是56°．
三、解答题(共72分)
17．(6分)求图中∠α的度数．
(1)
解：∠α＝360°－65°－70°－(180°－40°)＝85°.
(2)
解：∠α＝180°－(360°－90°－90°－40°)＝40°.
18．(6分)若三角形的三边长分别是2，x ，10，且x 是不等式x ＋14 ＜1－1－x 5
的正偶数解，试求第三边的长x.
解：原不等式可化为5(x ＋1)＜20－4(1－x)，解得x ＜11，又根据三角形的三边关系，得10－2＜x ＜10＋2，解得8＜x ＜12，∵x 是正偶数，∴x ＝10，∴第三边的长为10.
19．(6分)如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，若∠BAC∶∠B∶∠C＝6∶3∶1，求∠DAE 的度数．
解：∵∠BAC∶∠B∶∠C＝6∶3∶1，∴设∠BAC＝6α，则∠B＝3α，∠C ＝α，∵∠BAC ＋∠B＋∠C＝180°，∴6α＋3α＋α＝180°，解得α＝18°，∴∠BAC ＝108°，∠B ＝54°，∠C ＝18°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝180°－90°－54°＝
36°，∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠BAE ＝12 ∠BAC＝12
×108°＝54°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD＝54°－36°＝18°.
20. (8分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝34°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E.
(1)求∠CBE 的度数；
(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A ＝34°，∴∠CBD ＝∠ACB＋∠A＝124°，∵BE 是∠CBD 的
平分线，∴∠CBE＝12
∠CBD＝62°.(2)∵∠ECB＝90°，∠CBE ＝62°，∴∠CEB ＝90°－∠CBE＝28°，∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB＝28°.
21．(8分)如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝66°，求∠DAC 的度数．
解：∵∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠4＝2∠1，∵∠3＝∠4，∴∠3＝2∠1，∵∠BAC ＝66°，∴180°－∠2－∠3＝180°－∠1－2∠1＝66°，解得∠1＝38°，∴∠DAC ＝∠BAC－∠1＝66°－38°＝28°.
22．(8分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)若AF 平分∠CAB，且分别交CD ，BC 于点E ，F ，求证：∠CEF＝∠CFE.
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB＝90°，又∵CD⊥AB 于点D ，∴∠DCB ＋∠B＝90°，∴∠ACD ＝∠B.(2)∵∠CEF＝∠CAF＋∠ACD，∠CFE ＝∠B＋∠FAB，又∵AF 平分∠CAB，∴∠CAF ＝∠FAB，由(1)知∠ACD＝∠B，∴∠CEF ＝∠CFE.
23．(9分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
(2)是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明．
解：设三角形的另一个内角为γ.(1)∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数是30°.(2)不存在．∵α＝2β，且α＋β＋γ＝180°，∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120°的三角形．
24．(9分)如图，在△ABC 中(AC ＞AB)，AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60 cm 和40 cm 两部分，求边AC 和AB 的长．(提示：设CD ＝x cm )
解：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x cm ，AB ＝y cm ，∵AC ＝2BC ，∴AC ＝4x cm ，分为两种情况：①若AC ＋CD ＝60 cm ，AB ＋BD ＝40 cm 时，则⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋x ＝60，x ＋y ＝40， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝28， 即AC ＝4×12＝48(cm )，AB ＝28 cm ，BC ＝2×12＝24(cm )，此时符合AC ＞AB 和三角形三边关系；②若AC ＋CD ＝40 cm ，AB ＋BD ＝60 cm 时，则⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋x ＝40，x ＋y ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝52，
即AC ＝4×8＝32(cm )，AB ＝52 cm ，不符合AC ＞AB ，舍去．综上所述，AC 的长为48 cm ，AB 的长为28 cm .
25．(12分) “转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题．
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数；
(2)若对图①中星形截去一个角，如图②，请你求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数；
(3)若再对图②中的角进一步截去，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想图③中的∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度数吗？(只需写出结论，不需要写出解题过程)
解：(1)如图①，∵∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C＝180°，∴∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.(2)如图②，∵∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F，∠1＋∠A ＋∠C＋∠D＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
(3)根据题(2)可得出规律：图①中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了(180×5)度，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E ＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝180°×5＋180°＝1 080°.
2.5 等腰三角形的轴对称性同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
班级____________姓名___________成绩_________
一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）
1. 已知等腰三角形中，腰＝，底＝，则这个三角形的周长为（）
A. B. C. D.
2. 的三边长分别，，，且＝，则是（）
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（）
A.有两个内角是的三角形
B.有两边相等且是轴对称的三角形
C.有一个角是且是轴对称的三角形
D.三边都相等的三角形
4. 在等腰中，，、分别是底角的平分线，，图中等腰三角形有（）
A.个
B.个
C.个
D.个
5. 已知等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）
A.、、
B.、、
C.、、
D.、、或、、
6. 如图，在中，，，以为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，连接，则等于（）
10
A. B.
C. D.
7. 下列说法：①在中，若，则为等边三角形；②在中，若
，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；
④一个角为的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数为（）
A.个
B.个
C.个
D.个
8. 已知，，为的各边边长，当时，则的形状是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
9. 如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）
10. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为________．
11 已知一个等腰三角形的一个角是，其顶角的度数为________．
12. 有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
13. 如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是________三角形．
14 如图，在的正方形网格中，点、分别在格点上，在图中确定格点，则以、、为顶点的等腰三角形有________个．
15 如图，已知在矩形中，对角线，相交于点，且，，则图中长度为的线段有________条．
16 如图，已知，，，
，…，以此类推，若，则
________．
三、解答题（本题共计 8 小题，共计72分，）
17. 画一个，在射线上任选一点，画，与交于点，试判断的形状．
18. 如图，在中，＝，于点，平分交于点，交
于点，求证：＝．
19 如图，在中，，，，，求的度数．
20. 如图，在等边中，点，分別在边，上，，过点作丄，交的延长线于点．
求的度数；
若，求，的长．
21 如图，在中，＝，点，点分别是，上一点，且．若
＝，＝，求的度数．
22. 如图，已知等边三角形，是边上一点，作交于点，交延长线于点，求证：＝．
23 如图，等边边长为，点是等边的中心，连接.将线段绕点顺时针旋转，设旋转角为.
_________；
如图，当时，线段旋转到，求证
在旋转过程中，当时，直接写出点经过的
路径长.。