2.1不等式的基本性质3
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a cb (2) a b a c b c
cd bcbd 由传递性可得 a c b d 证毕
(1)又称为不等式的移项法则 (2)又称为不等式的同向可加性
例2.利用性质3证明：
如果 a b 0, c d 0 ，那么 ac bd 证明：a b, c 0 ac bc
c d,b 0 bc bd
当 c 0时，由于正数与正数的乘积为正数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
当 c 0时，由于正数与负数的乘积为负数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
该性质叫做不等式的乘法性质。
例1.利用性质1和性质2证明：
(1)如果 a b c ，那么a c b (2)如果a b,c d ，那么a c b d 证: (1) a b c a b (b) c (b)
一般地，如果 a b 0 ， 那么 an bn (n N *)
思考
a b 0 n a n b (n N *, n 1) 成立吗？
证：反证法，假设 n a n b
即 n a n b 或者 n a n b
由一般结论和根式性质得 a b ，与已知矛盾
因此假设不成立，即原不等式成立. 证毕
在由传递性得 ac bd 证毕
思考 命题 a b, c d ac bd 成立吗？
原题被称为不等式的正数同向可乘性！
a b 0
思考
n个
可得出什么结论？
a b 0
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
即 (a c) (b c) 0
因此 a c b c 证毕
性质2表明不等式两边加上同一个数， 所得不等式与原不等式同向，又称为 不等式的加法性质
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
证: ac bc (a b)c a bab0
(选用)例3. 利用不等式的性质证明：
如果 a b 0 ，那么 0 1 1 ab
证: a b 0 1 0 a 1 b 1 0
ab
ab ab
1 1 0 0 1 1 证毕
ba
ab
思考 还有没有其他的证法？
证：因为两个正数之和仍为正数
a b
b c
a b 0
b
c
0
(a
b)
(b
c)
0
a c 0 a c 证毕
性质1所描述的性质称为不等式的传递性 该性质也可以表述为：
c b,b a c a
二、不等式的性质 I
性质1 如果 a b,b c ，那么 a c 性质2 如果 a b，那么a c b c 证：a b a b 0 所以 (a c) (b c) a c b c a b 0
一、实数的大小与不等式的基础AB Nhomakorabeaa
b
x
数轴上的任意两点中，右边的点对应的数比较大.
对于任意两个实数 a, b
a b; a b; a b 三种关系有且仅有一个成立.
这样的大小关系又可以描述为：
a b ab 0 a b ab 0 a b a b 0
二、不等式的性质 I
性质1 如果 a b,b c ，那么 a c
cd bcbd 由传递性可得 a c b d 证毕
(1)又称为不等式的移项法则 (2)又称为不等式的同向可加性
例2.利用性质3证明：
如果 a b 0, c d 0 ，那么 ac bd 证明：a b, c 0 ac bc
c d,b 0 bc bd
当 c 0时，由于正数与正数的乘积为正数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
当 c 0时，由于正数与负数的乘积为负数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
该性质叫做不等式的乘法性质。
例1.利用性质1和性质2证明：
(1)如果 a b c ，那么a c b (2)如果a b,c d ，那么a c b d 证: (1) a b c a b (b) c (b)
一般地，如果 a b 0 ， 那么 an bn (n N *)
思考
a b 0 n a n b (n N *, n 1) 成立吗？
证：反证法，假设 n a n b
即 n a n b 或者 n a n b
由一般结论和根式性质得 a b ，与已知矛盾
因此假设不成立，即原不等式成立. 证毕
在由传递性得 ac bd 证毕
思考 命题 a b, c d ac bd 成立吗？
原题被称为不等式的正数同向可乘性！
a b 0
思考
n个
可得出什么结论？
a b 0
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
即 (a c) (b c) 0
因此 a c b c 证毕
性质2表明不等式两边加上同一个数， 所得不等式与原不等式同向，又称为 不等式的加法性质
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
证: ac bc (a b)c a bab0
(选用)例3. 利用不等式的性质证明：
如果 a b 0 ，那么 0 1 1 ab
证: a b 0 1 0 a 1 b 1 0
ab
ab ab
1 1 0 0 1 1 证毕
ba
ab
思考 还有没有其他的证法？
证：因为两个正数之和仍为正数
a b
b c
a b 0
b
c
0
(a
b)
(b
c)
0
a c 0 a c 证毕
性质1所描述的性质称为不等式的传递性 该性质也可以表述为：
c b,b a c a
二、不等式的性质 I
性质1 如果 a b,b c ，那么 a c 性质2 如果 a b，那么a c b c 证：a b a b 0 所以 (a c) (b c) a c b c a b 0
一、实数的大小与不等式的基础AB Nhomakorabeaa
b
x
数轴上的任意两点中，右边的点对应的数比较大.
对于任意两个实数 a, b
a b; a b; a b 三种关系有且仅有一个成立.
这样的大小关系又可以描述为：
a b ab 0 a b ab 0 a b a b 0
二、不等式的性质 I
性质1 如果 a b,b c ，那么 a c