组合数课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

如:已知4个元素a、b、c、d ,写出每次取出两个元素
的所有组合个数是： C42 6
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素
的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Amm ．
根据分步计数原理，得到： Anm Cnm Amm
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 C26C24C 22种方法，但是 这里出现了三个位置上的重复，故共有C26CA2433C22＝15 种分配方法.
典例分析：
不平均分组：
(3）6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本， 一份三本，有多少种方法？
(4)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
概念讲解
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合个数是: C32 3
请看课本P22：练习
1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； 组合问题 （2)列出所有冠亚军的可能情况. 排列问题
解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例6：计算：（1）C130 ；（2）C170；（3）C1100 ；（4）C100
课堂小结： 1.组合数：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
组合数性质1：Cm n
Cn m n
当m
n 2
时，通常将Cm n
转化为Cnnm
进行计算
组合数性质2：Cmn1
Cnm
Cm1 n
课堂小结：
2. 组合数公式的应用. “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问 题有三种： ①完全均匀分组 ②部分均匀分组 ③完全非均匀分组.
因此：
这里m、n N，* 且 m n，这个公式叫做组合
数公式．
例5：平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端 点，还要考虑他们的顺序是排列问题； （2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要 考虑它们的顺序是组合问题.
即 C1300 C938 161700 152096 9604 (种).
典例分析：
平均分组：
例8：(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
解：（1）先从 6 本书中选 2 本给甲，有 C26 种方法；
再从其余的 4 本中选 2 本给乙，有 C24 种方法；
最后从(2余)6下本不的同2的本书书，中分选为三2 本份给，每丙份，两有本C，22 有种多方少法种，方法？ 所以分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，共有 C26C24C22＝90(种)方法.
解： (1)C130
A130 A33
10 9 8 120 3!
(2)C170
10! 7!(10 7)!
10 9 8 7! 7!3!
10 9 8 3!
120
(3)C1100
A1100 A1100
10! 1 10!
(4)C100 1
追问：分别观察例中（1）与（2），（3）与（4）的结果，
7)！
9 78!2！7！
98 2！
36;
或
C97
C92
98 2！
36;
(3)C73 C62 35 15 20;
组合数性质1：Cnm
C nm n
当m
n 2
时，通常将Cnm转化为Cnnm进行计算
(4)3C83 2C52 3 56 2 10 148；
有限制条件的组合问题：
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
（4）1 个球的编号与盒子编号相同的选法有 C 14种，当 1 个球与 1 个盒子 的编号相同时，用局部列举法可知其余 3 个球的投入方法有 2 种，故共 有 C14·2＝8(种)放法.
（5）先从 4 个盒子中选出 3 个盒子，再从 3 个盒子中选出 1 个盒子放入 2 个球，余下 2 个盒子各放 1 个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组 合问题，故共有 C34C13＝12(种)放法.
分析：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中 取出3件的组合数； （2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步 从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得； （3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求 出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．
例7：在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品
②所“以一1共,2有,930＋型360”＋，90有＝54C0(16种C25)C方33A法33.＝360(种)方法；
③“1，1,4 型”，有 C46A33＝90(种)方法，
学以致用：
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2， 3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒 子的编号相同，有多少种放法？ (5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个 空盒，有多少种放法？
三解本：，（有3）多这少是种不“同不的平方均法分？组”问题，一共有 C16C25C33＝60(种)方法.
（4）在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33A33＝360(种)方法.
典例分析：
分配问题：
（5）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少 一本，有多少种不同的方法？
解：可以分为三类情况：①“2,2,2 型”，有 C26C24C22＝90(种)方法；
你有什么发现和猜想？ C130 C170；C1100 C100
组合数性质1：Cm n
Cn m n
组合数性质1：Cm n
Cn m n
证明：Cnnm
(n
n! m)![n (n
m)]!
(n
n! , m)!m!
Cmn
(n
n! , m)!m!
所以
Cmn
Cnm n
组合数性质2：Cmn1
Cnm
Cm1 n
中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件
的组合数，∴共有 C1300 161700 (种)；
（2）从
2
件次品中抽出
1
件次品的抽法有
C
1 2
种，
从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 C928 种，
因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 C21 C928 9506 (种)
（3）抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，
也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的
抽法的种数，
解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个
一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.
(2)这是全排列问题，共有 A44＝24(种)放法.
(3)先取 4 个球中的 2 个“捆”在一起，有 C 24种选法，把它与其他 2 个 球共 3 个元素分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子，有 A 34种投放方法，所以 共有 C24A34＝144(种)放法.
证明：Cmn
Cm1 n
(n
n! m)!m!
பைடு நூலகம்
(m
n! 1)![n (m
1)]!
(n 1)! m!(n 1 m)!
Cm n1
请看课本P25：练习1
1.计算：(1)C62 ;
( 2)C97 ;
(3)C73 C62;
(4)3C83
2C
2 5
解：
(1)C62
65 21
15;
(2)C97
9! 7!(9