专题训练 直角三角形在圆中的应用-精选文档

专题训练 直角三角形在圆中的应用
圆中有两类重要的直角三角形：(1)斜边是圆的半径，直角边是弦的一半，另一条直角边是圆心到弦的垂线段，在这类直角三角形中，应用勾股定理可以很轻松地计算出半径、弦长、弦心距(圆心到弦的距离)和弓形高这四个量中的任意一个量．(2)两直角边是弦，斜边是直径，这类直角三角形对计算圆周角、圆心角和弦长有很重要的作用．
► 类型之一 求半径
1．如图4－ZT －1，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰直角三角形ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( )
图4－ZT －1
A ．6
B ．13 C.13 D ．2 3
2．如图4－ZT －2所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，
AB ＝120 m ，C 是AB ︵
上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝20 m ，则这段弯路的半径为________m.
图4－ZT －2
3．已知⊙O 中，弦AB 的长为8 cm ，圆心到弦AB 的距离为3 cm ，求⊙O 的半径． ► 类型之二 求弦心距
4．如图4－ZT －3所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长为24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON 的长为( )
图4－ZT －3
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
5．如图4－ZT －4，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.
图4－ZT －4
► 类型之三 求弦长
6．2019·襄阳如图4－ZT －5，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝30°，则弦BC 的长为( )
图4－ZT －5
A ．4
B ．2 2 C. 3 D ．2 3
► 类型之四 求直径
7．如图4－ZT －6所示，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AB ＝42，AC ＝5，AD ＝4，则⊙O 的直径AE ＝________．
图4－ZT －6
► 类型之五 求圆周角
8．2019·菏泽如图4－ZT －7，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )
图4－ZT －7
A ．64°
B ．58°
C ．32°
D ．26°
► 类型之六 多法求证题
9．如图4－ZT －8，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径．
求证：AB ·AC ＝AE ·AD .
图4－ZT －8
教师详解详析
1．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连结OB .
∵BC 是⊙O 的一条弦，且BC ＝6，
∴BD ＝CD ＝12BC ＝12
×6＝3， ∴OD 垂直平分BC .
又∵AB ＝AC ，∴点A 在BC 的垂直平分线上，即A ，O ，D 三点共线．
∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，
∴△ABD 也是等腰直角三角形，
∴AD ＝BD ＝3.
∵OA ＝1，∴OD ＝AD －OA ＝3－1＝2.
在Rt △OBD 中，OB ＝BD 2＋OD 2＝32＋22＝13.故选C.
2．[答案] 100
[解析] ∵AB ＝120，OC ⊥AB ，
∴BD ＝60.
根据勾股定理，得OB 2＝BD 2＋OD 2
，
即OB 2＝602＋(OB －20)2.
解得OB ＝100.
3．解：如图所示．
由题意知：在△ADO 中，
∠ADO ＝90°，OD ＝3 cm ， AD ＝12
AB ＝4 cm.
由勾股定理，得 AO ＝OD 2＋AD 2＝32＋42＝5(cm)．
∴⊙O 的半径为5 cm.
4．[解析] A 因为ON ⊥AB ，所以AN ＝12AB ＝12
×24＝12，∠ANO ＝90°.在Rt △AON 中，由勾股定理，得ON ＝AO 2－AN 2＝132－122
＝5.故选A.
5．[答案] 0.8
[解析] 如图，设圆柱形排水管道的截面圆的圆心为O ，过点O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，交⊙O 于点D ，E ，连结OA ，则OA ＝0.5 m.
∵OC ⊥AB ，AB ＝0.8 m ，
∴AC ＝BC ＝0.4 m.
在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2，
∴OC ＝0.3 m ，
则CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)．
故答案为0.8.
6．[解析] D 设AO 与BC 交于点E .∵OA ⊥BC ，OA 为⊙O 的半径，∴AC ︵＝AB ︵，CE ＝BE ，∴∠
AOB ＝2∠ADC ＝60°.在Rt △BOE 中，∵∠BOE ＝60°，∴BE ＝OB ·sin60°＝3，∴BC ＝2BE ＝2 3.故选D.
7．[答案] 5 2
8．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∵∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵所对的圆心角，
∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.
9．证明：方法1：连结BE .∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ABE ＝90°.
∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADC ＝90°，∴∠ABE ＝∠ADC .
又∵∠E ＝∠C ，∴△AEB ∽△ACD ，
∴AB AD ＝AE AC
，
∴AB ·AC ＝AE ·AD .
方法2和方法3的辅助线已经添加，请同学们自己完成.。