人教版初中数学八年级下册勾股定理课件
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∴x2+4+（4-x）2+16=（4-x）2+（6-x）2，解得：x= 43，
人教版 八年级数学下册
课程结束
新课学习
解析：由折叠的性质知：A′B′=AB，AE=A′E，BF=B′F， ∠A′=∠A=90°，∠B′FE=∠BFE； 又∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠B′EF， ∴∠B′EF=∠BFE=∠B′FE，即B′E=B′F=BF； 在Rt△A′B′E中，由勾股定理得：A′B′2+A′E2=B′E2， 即：AB2=BF2-AE2， ∴AB= 42−32 = 7 ，即AB的长度是 7 。
知识巩固
3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、 10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂 蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多少？
解析：展开后得到直角三角形ACB，根据题意 求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可。
知识巩固
解析：展开后由题意得：∠C=90°， AC=3×10+3×6=48（寸）， BC=55寸， 由勾股定理得：AB= AC2+BC2 = 482+552 =73（寸）
B A
新课学习
求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆 柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可。
B
C 9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
新课学习
9cm
B
高 12cm
A
解：Rt△ABC中， ∠C=90°。 AB= AC2+BC2= 122+92=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
81
144
15
y
625
576
7
第二部分
新课学习
新课学习
应用一：生活中的数学问题
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框 内通过?为什么?
实际问题 实物图形
数学问题 几何图形
新课学习
横着进或竖着进均不可行，因此只能试试斜着。 如何确定斜着是否能进去呢？
AD
3米
知识巩固
4.如图，把长方形ABCD沿FE折叠，使点B落在边AD上的点B′处， 点A落在点A′处，若AE=3，BF=4，则AB长是多少？。
分析：由折叠的性质知：BF=B′F，且∠B′FE=∠BFE，由AD∥BC可 知∠B′EF=∠BFE，通过等量代换可证得B′E=B′F=BF，进而可在 Rt△A′B′E中，利用勾股定理得到所求线段与已知线段间的数量关系。
2
m
最长 2.2米
B1 C
m
新课学习
C
2m
A
B
1m
解：在Rt△ABC中，根据勾股理， AC2=_A_B_2_+__B_C_2___=_1_2__+_2_2__=_ __5__ AC=___5__≈__2_._2_4_ 因为
___2__.2__4_>__2_._2_______________
___ 所以木板能从门框内通过。
分析：根据CE∥DB，将俯角30°转化到Rt△BCD中，已知CD=18， 根据30°的直角三角形的性质可知，CB=2CD，求CB，再利用勾股 定理求BD，即为两楼之间距离．
知识巩固
解析：∵CE∥DB， ∴∠ECB=30°， ∴∠CBD=30°． 在Rt△CBD中，CD=18m， CB=2CD=2×18=36（m）． ∴BD= BC2−CD2= 362−182=18 3（m）。
知巩固
解析：设x秒后，PQ=2 5 cm，则PC=PC=（6-x）cm，CQ=（8-x） cm， 由勾股定理得：（6-x）2+（8-x）2=（2 5 ）2 整理得：x2-14x+40=0 解得：x=4或x=0（不合舍去） 4秒后，PQ=2 5 cm。
新课学习
应用二：立体问题
例3：有一个圆柱,它的高 等于12厘米,底面半径等于 3厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧 面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
知识巩固
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P，Q同 时从A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的 速度都是1cm/s，那么几秒后，P，Q两点之间的距离为2 5 cm？
分析：设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm， CQ=（8-x）cm，利用勾股定理列出方程求解即可．
新课学习
应用三：折叠问题 例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，
已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
D
E
B
FC
新课学习
解:设DE为x, 则CE为 (8- x). 由题意可知:EF=DE=x, AF=AD=10
∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2＝AF2
82+ BF2＝102 ∴BF＝6
人教版 八年级数学下册
勾股定理的应用
目录
01.新课导入 03.知识巩固
02.新课学习 04.课堂小结
第一部分
新课导入
导入新课
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
ac
b 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
导入新课
求下列图中表示边的未知数x、y的值。
由题意得：DE＝AB＝2.5m DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m 梯子底端B不是外移0.4m。
A
D
C
BE
∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2
22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
第三部分
知识巩固
知识巩固
1. 如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼 前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线 与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼 之间距离至少应是多少米？
第四部分
课堂小结
课堂小结
1、勾股定理的应用： 生活中的数学问题 立体问题 折叠问题
拓展提升
1.已矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N 分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动 点M运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN．设点M、 N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问：当x为多 少时，FM⊥FN？
分析：首先构造直角三角形，用x表示出各部分的长 度，再结合勾股定理求出x的值
拓展提升
解析：连接MN，做NP⊥DC， 当FM⊥FN时，即△MFN为直角三角形，∴FM2+FN2=MN2， ∵MN2=AM2+AN2，DM2+DF2=FM2，PF2+PN2=FN2， 又∵设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，矩形ABCD的边长AB=6， BC=4，DF=2，M、N运动的时间为x秒，DM=x，AM=4-x，AN=6-x， PN=4，PF=6-2-x， ∴DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2，
新课学习
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距 离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移 0.4m吗？
A
将问题转化为比较BE与0.4m
的大小。
D
C
BE
新课学习
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2＝AB2 2.42+ BC2＝2.52 ∴BC＝0.7m
A
10
D (8- x)
x
8
10
E
x
B6
F 4C
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
∵∠C=90° ∴ CE2+CF2＝EF2
(8－ x)2+42=x2 80 －16x=0 x=5
新课学习
利用勾股定理解决实际问题的一般思路： （1）重视对实际问题正确理解； （2）建立对应的数学模型运用相应的数学知识； （3）方程思想在本题中的运用
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课程结束
新课学习
解析：由折叠的性质知：A′B′=AB，AE=A′E，BF=B′F， ∠A′=∠A=90°，∠B′FE=∠BFE； 又∵AD∥BC， ∴∠BFE=∠B′EF， ∴∠B′EF=∠BFE=∠B′FE，即B′E=B′F=BF； 在Rt△A′B′E中，由勾股定理得：A′B′2+A′E2=B′E2， 即：AB2=BF2-AE2， ∴AB= 42−32 = 7 ，即AB的长度是 7 。
知识巩固
3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、 10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂 蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多少？
解析：展开后得到直角三角形ACB，根据题意 求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可。
知识巩固
解析：展开后由题意得：∠C=90°， AC=3×10+3×6=48（寸）， BC=55寸， 由勾股定理得：AB= AC2+BC2 = 482+552 =73（寸）
B A
新课学习
求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆 柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可。
B
C 9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
新课学习
9cm
B
高 12cm
A
解：Rt△ABC中， ∠C=90°。 AB= AC2+BC2= 122+92=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
81
144
15
y
625
576
7
第二部分
新课学习
新课学习
应用一：生活中的数学问题
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框 内通过?为什么?
实际问题 实物图形
数学问题 几何图形
新课学习
横着进或竖着进均不可行，因此只能试试斜着。 如何确定斜着是否能进去呢？
AD
3米
知识巩固
4.如图，把长方形ABCD沿FE折叠，使点B落在边AD上的点B′处， 点A落在点A′处，若AE=3，BF=4，则AB长是多少？。
分析：由折叠的性质知：BF=B′F，且∠B′FE=∠BFE，由AD∥BC可 知∠B′EF=∠BFE，通过等量代换可证得B′E=B′F=BF，进而可在 Rt△A′B′E中，利用勾股定理得到所求线段与已知线段间的数量关系。
2
m
最长 2.2米
B1 C
m
新课学习
C
2m
A
B
1m
解：在Rt△ABC中，根据勾股理， AC2=_A_B_2_+__B_C_2___=_1_2__+_2_2__=_ __5__ AC=___5__≈__2_._2_4_ 因为
___2__.2__4_>__2_._2_______________
___ 所以木板能从门框内通过。
分析：根据CE∥DB，将俯角30°转化到Rt△BCD中，已知CD=18， 根据30°的直角三角形的性质可知，CB=2CD，求CB，再利用勾股 定理求BD，即为两楼之间距离．
知识巩固
解析：∵CE∥DB， ∴∠ECB=30°， ∴∠CBD=30°． 在Rt△CBD中，CD=18m， CB=2CD=2×18=36（m）． ∴BD= BC2−CD2= 362−182=18 3（m）。
知巩固
解析：设x秒后，PQ=2 5 cm，则PC=PC=（6-x）cm，CQ=（8-x） cm， 由勾股定理得：（6-x）2+（8-x）2=（2 5 ）2 整理得：x2-14x+40=0 解得：x=4或x=0（不合舍去） 4秒后，PQ=2 5 cm。
新课学习
应用二：立体问题
例3：有一个圆柱,它的高 等于12厘米,底面半径等于 3厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧 面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
知识巩固
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P，Q同 时从A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的 速度都是1cm/s，那么几秒后，P，Q两点之间的距离为2 5 cm？
分析：设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm， CQ=（8-x）cm，利用勾股定理列出方程求解即可．
新课学习
应用三：折叠问题 例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，
已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
D
E
B
FC
新课学习
解:设DE为x, 则CE为 (8- x). 由题意可知:EF=DE=x, AF=AD=10
∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2＝AF2
82+ BF2＝102 ∴BF＝6
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勾股定理的应用
目录
01.新课导入 03.知识巩固
02.新课学习 04.课堂小结
第一部分
新课导入
导入新课
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
ac
b 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
导入新课
求下列图中表示边的未知数x、y的值。
由题意得：DE＝AB＝2.5m DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m 梯子底端B不是外移0.4m。
A
D
C
BE
∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2
22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
第三部分
知识巩固
知识巩固
1. 如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼 前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线 与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼 之间距离至少应是多少米？
第四部分
课堂小结
课堂小结
1、勾股定理的应用： 生活中的数学问题 立体问题 折叠问题
拓展提升
1.已矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N 分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动 点M运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN．设点M、 N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问：当x为多 少时，FM⊥FN？
分析：首先构造直角三角形，用x表示出各部分的长 度，再结合勾股定理求出x的值
拓展提升
解析：连接MN，做NP⊥DC， 当FM⊥FN时，即△MFN为直角三角形，∴FM2+FN2=MN2， ∵MN2=AM2+AN2，DM2+DF2=FM2，PF2+PN2=FN2， 又∵设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，矩形ABCD的边长AB=6， BC=4，DF=2，M、N运动的时间为x秒，DM=x，AM=4-x，AN=6-x， PN=4，PF=6-2-x， ∴DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2，
新课学习
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距 离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移 0.4m吗？
A
将问题转化为比较BE与0.4m
的大小。
D
C
BE
新课学习
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2＝AB2 2.42+ BC2＝2.52 ∴BC＝0.7m
A
10
D (8- x)
x
8
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E
x
B6
F 4C
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
∵∠C=90° ∴ CE2+CF2＝EF2
(8－ x)2+42=x2 80 －16x=0 x=5
新课学习
利用勾股定理解决实际问题的一般思路： （1）重视对实际问题正确理解； （2）建立对应的数学模型运用相应的数学知识； （3）方程思想在本题中的运用