专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
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【结论3】
3．如图，设直线 过焦点 且交椭圆 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
三、双曲线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.双曲线同支焦点弦三角形面积公式
【结论4】
4．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 、 两点，直线 倾斜角为 ，双曲线的半通径为 ，证明：双曲线同支焦点弦三角形 的面积 .
【结论2】
2．如图， 为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，证明：椭圆焦点弦三角形 的面积 .
2.椭圆焦点弦三角形面积最大值
对公式②进行化简，得 ，
令 .
对于椭圆，离心率 ，于是由均值不等式可知
，当且仅当 ，即 时 取得最大值，即椭圆焦点弦三角形面积最大值： .
代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角 满足 （或 ）.于是我们得如下结论——
A． B． C． D．
（2022·江西·模拟预测（理））
18．设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为()
A． B． C． D．1
19．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 ，且与 轴垂直的直线 与双曲线交于 ， 两点，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（）
由公式⑥，显然 存在最小值： ，此时 ，即 ，焦点弦所在直线与 轴垂直.
【结论9】
9．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
典型例题：
例1
10． 分别是椭圆的 左、右焦点，过点的直线 交椭圆 于 两点.
(1)若 的面积为 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值及此时直线 的方程.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 面积的最大值；
（3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线 交于点 ，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.
例5
（2022四川省华蓥中学高二月考）
14．已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 分别是椭圆 的左､右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的面积的最大值．
（2023·山西大同·高三月考）
16．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形 的面积是（O为坐标原点）（）
A． B． C． D．
（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））
17．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若 PF1F2的面积为 ，则 =（）
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
专题16圆锥曲线焦点弦
微点2圆锥曲线焦点弦三角形面积
【微点综述】
过有心圆锥曲线一个焦点弦的两个端点与另一个焦点构成的三角形称为有心圆锥曲线的焦点弦三角形.在抛物线中，称抛物线的顶点与焦点弦的两端点构成的三角形为焦点弦三角形.过焦点的弦长确定后，焦点弦三角形便随之确定，焦点弦三角形的面积便可用弦长来表示.计算时可以利用韦达定理，计算量大，尤其是最值问题，学生难以掌握；也可以利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理（或其推论）来计算；还可以巧妙地应用极坐标系下圆锥曲线的焦半径公式快速得出焦点弦三角形面积公式，并结合均值不等式或函数单调性对其最值进行研究.
一、圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式
设直线 过圆锥曲线焦点 且交圆锥曲线于 两点，不妨设 ，若已知直线 倾斜角为 ，设圆锥曲线半通径为 ，则
，
即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：
①.
二、椭圆焦点弦三角形面积公式及其最值
1.椭圆焦点弦三角形面积公式
【结论1】
1．如图， 、 为椭圆 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，证明：焦点弦三角形 的面积： .
例6
（2022黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））
15．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，过点 的直线 交椭圆 于 两点.
（1）若 的周长为 ， 面积的最大值为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）设 分别为椭圆的左､右顶点，直线 ， 的斜率分别为 ，若 ，求椭圆 的离心率的取值范围.
【强化训练】
一、单选题
【结论5】
5．如图， 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线 右支交于 两点，且 ，证明：焦点弦三角形 的面积 .
2.双曲线同支焦点弦三角形面积最小值
对于双曲线，同椭圆，③式变形为 ，
令 .
离心率 单调递减， ，
则 即为双曲线焦点弦三角形面积最小值： ，代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角为 ，即焦点弦与 轴垂直.
【结论6】
6．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
3.双曲线异支焦点弦三角形面积公式
【结论7】
7．如图， 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线 右支、左支分别交于 两点，且 ，证明：焦点弦三角形 的面积 .
说明：（1）在结论7的证明中，将 代入 得 ，解得 .又 的半周长 ，因此异支焦点弦三角形 的周长 .
（2） 关于 的二次函数 在 上单调递增，故二次函数 没有最大值，也没有最小值，故双曲线异支焦点弦三角形面积没有最大值，也没有最小值.
四、抛物线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.抛物线焦点弦三角形面积公式
【结论8】
8．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明： .
2.抛物线焦点弦三角形面积最值
例2
11．已知 ，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中曲线 的右焦点为 ，曲线 的左焦点 .
（1）求 的值；
（2）若直线 过点 交曲线 于点 ，求 面积的最大值.
例3
12．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点，直线 过点 与椭圆交于 、 两点，且 的周长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在直线 使 的面积为 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
例4
（2022全国·高二课时练习）
13．阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系 中，椭圆 的面积为 ，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于不同的两点A，B.
3．如图，设直线 过焦点 且交椭圆 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
三、双曲线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.双曲线同支焦点弦三角形面积公式
【结论4】
4．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 、 两点，直线 倾斜角为 ，双曲线的半通径为 ，证明：双曲线同支焦点弦三角形 的面积 .
【结论2】
2．如图， 为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，证明：椭圆焦点弦三角形 的面积 .
2.椭圆焦点弦三角形面积最大值
对公式②进行化简，得 ，
令 .
对于椭圆，离心率 ，于是由均值不等式可知
，当且仅当 ，即 时 取得最大值，即椭圆焦点弦三角形面积最大值： .
代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角 满足 （或 ）.于是我们得如下结论——
A． B． C． D．
（2022·江西·模拟预测（理））
18．设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为()
A． B． C． D．1
19．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 ，且与 轴垂直的直线 与双曲线交于 ， 两点，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（）
由公式⑥，显然 存在最小值： ，此时 ，即 ，焦点弦所在直线与 轴垂直.
【结论9】
9．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
典型例题：
例1
10． 分别是椭圆的 左、右焦点，过点的直线 交椭圆 于 两点.
(1)若 的面积为 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值及此时直线 的方程.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 面积的最大值；
（3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线 交于点 ，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.
例5
（2022四川省华蓥中学高二月考）
14．已知椭圆 的短轴长为 ，离心率 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 分别是椭圆 的左､右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的面积的最大值．
（2023·山西大同·高三月考）
16．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形 的面积是（O为坐标原点）（）
A． B． C． D．
（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））
17．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若 PF1F2的面积为 ，则 =（）
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
专题16圆锥曲线焦点弦
微点2圆锥曲线焦点弦三角形面积
【微点综述】
过有心圆锥曲线一个焦点弦的两个端点与另一个焦点构成的三角形称为有心圆锥曲线的焦点弦三角形.在抛物线中，称抛物线的顶点与焦点弦的两端点构成的三角形为焦点弦三角形.过焦点的弦长确定后，焦点弦三角形便随之确定，焦点弦三角形的面积便可用弦长来表示.计算时可以利用韦达定理，计算量大，尤其是最值问题，学生难以掌握；也可以利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理（或其推论）来计算；还可以巧妙地应用极坐标系下圆锥曲线的焦半径公式快速得出焦点弦三角形面积公式，并结合均值不等式或函数单调性对其最值进行研究.
一、圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式
设直线 过圆锥曲线焦点 且交圆锥曲线于 两点，不妨设 ，若已知直线 倾斜角为 ，设圆锥曲线半通径为 ，则
，
即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：
①.
二、椭圆焦点弦三角形面积公式及其最值
1.椭圆焦点弦三角形面积公式
【结论1】
1．如图， 、 为椭圆 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，证明：焦点弦三角形 的面积： .
例6
（2022黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））
15．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，过点 的直线 交椭圆 于 两点.
（1）若 的周长为 ， 面积的最大值为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）设 分别为椭圆的左､右顶点，直线 ， 的斜率分别为 ，若 ，求椭圆 的离心率的取值范围.
【强化训练】
一、单选题
【结论5】
5．如图， 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线 右支交于 两点，且 ，证明：焦点弦三角形 的面积 .
2.双曲线同支焦点弦三角形面积最小值
对于双曲线，同椭圆，③式变形为 ，
令 .
离心率 单调递减， ，
则 即为双曲线焦点弦三角形面积最小值： ，代入 ，上式可化简为 ，此时焦点弦所在直线与 轴夹角为 ，即焦点弦与 轴垂直.
【结论6】
6．如图，设直线 过焦点 且交双曲线 于 两点，直线 倾斜角为 ，证明：当且仅当 时， .
3.双曲线异支焦点弦三角形面积公式
【结论7】
7．如图， 为双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线 右支、左支分别交于 两点，且 ，证明：焦点弦三角形 的面积 .
说明：（1）在结论7的证明中，将 代入 得 ，解得 .又 的半周长 ，因此异支焦点弦三角形 的周长 .
（2） 关于 的二次函数 在 上单调递增，故二次函数 没有最大值，也没有最小值，故双曲线异支焦点弦三角形面积没有最大值，也没有最小值.
四、抛物线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.抛物线焦点弦三角形面积公式
【结论8】
8．如图，设直线 过焦点 且与抛物线 交于 两点，直线 倾斜角为 ，证明： .
2.抛物线焦点弦三角形面积最值
例2
11．已知 ，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中曲线 的右焦点为 ，曲线 的左焦点 .
（1）求 的值；
（2）若直线 过点 交曲线 于点 ，求 面积的最大值.
例3
12．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点，直线 过点 与椭圆交于 、 两点，且 的周长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在直线 使 的面积为 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
例4
（2022全国·高二课时练习）
13．阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系 中，椭圆 的面积为 ，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于不同的两点A，B.