八年级数学培优.竞赛资料(共24讲)

B A
C D E
F 第01讲 全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对
【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一
对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中
AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中
A D
AED DEC AB DC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中
BE CE
EF EF
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等
A F C E D
B 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，
则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.
03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，
连接EF （如图所示）.
⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结
论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命
题（选择“真”或“假”填入空格）.
【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .
【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DC
AE DF BE CF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C
在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE
【变式题组】
01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的
长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
A B C D O F
E A C
E
F
B
D
02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD
⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝
BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .
【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .
⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;
⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA
⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC
在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠
∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF
∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA
∴∠AFD ＝∠DCA
B （E ）
O
C F 图③
D
A
A
E
第1题图
A B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图
A
F
E
C
B D
【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C
落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）
A ．△ABC ≌△DEF
B ．∠DEF ＝90°
C ． AC ＝DF
D ．EC ＝CF
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下
图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；
⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.
证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，
∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，
∴AP ＝AQ
E
F
B A
C
D
G
第2题图
2
1
A
B
C
P
Q
E F D
⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】
01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：
02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
A ．
2
a b
m + B ．
2
a b
m - C ．bm D ．am
03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五
边形ABCDE 的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A ．72°
B ．60°
C ．58°
D ．50°
02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．35°
D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、
OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于
1
2
CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）
第1题图
a α
c
c
a
50° b
72° 58°
A
E
C
B
A 75° C
45° B
N
M
第2题图
第3题图
D
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的
是（ ）
A . C
B ＝CD B .∠BA
C ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCA
D .∠B ＝∠D ＝90°
05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，
将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A . △ABE ≌△CBD
B . ∠ABE ＝∠CBD
C . ∠ABC ＝∠EB
D ＝45° D . AC ∥BE
06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB
＝AE ，∠1＝∠2
，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于
N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对
07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度
数是___________.
08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，
则∠DFB 的度数为_______.
09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______
10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，
P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .
D
A C .
Q P
.
B
A E F
B D
C 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足
为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；
⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.
13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请
你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.
14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点
C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作
l 的垂线，垂足分别为D 、E .
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）
15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足
分别是E 、F .求证：CE ＝DF .
16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么
情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；
已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）
⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
D B A C E
F A E B F D C
A
E
F C D
B 培优升级·奥赛检测
01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于
点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对
02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接
DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③
03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）
A ．DC
B . B
C C . AB
D .A
E ＋AC
04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）
A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.
06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE
＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）
07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .
⑴求证：BE ⊥AC ；
⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.
08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.
求证：AC ＝2AE .
09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE
F
第6题图
2 1
A
B C
E N M
3 2
1
A
D
E
B
C F
A
D
E
C
O
A E O B
F
C
D 第1题图
B
第2题图
第3题图
A
B
E D C
A
B C D
E
A
E
B
D
C
＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.
10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝
90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .
⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;
⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；
⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13, 求BC 边上的中线AD 的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE ＝AD ，再连接BE ，把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求
证的结论集中到同一个三角形中.
⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF .
求证：BE ＋CF ＞EF ；
⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC 中，∠B ＋∠C ＝180°，DB ＝DC ，∠BDC =120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并加以证明. A F D F C B E D A
C B E
A C
B 图① 图② 图③ A
B E F
C
D A
A D E
G C
H B 12．（北京）如图，已知△ABC .
⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB ＋AC ＞
13．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于
G. 求证：GD ＝GE .
14．已知，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°, ∠MBN
绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F.
当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时，如图1，易证：AE ＋CF ＝EF ；（不需证明） 当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
D A
B
C F N
E M D
图1 A
B
C F
N E M D
A
B C F N
E M
图2
图3
第02讲 角平分线的性质与判定
考点·方法·破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.
经典·考题·赏析
【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN
【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.
证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2
在△OBD 与△OAD 中，12OB OA OD OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OBD ≌△OAD
∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】
01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.
02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：
PM ＝PN
【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，
且AE ＝
1
2
(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝
1
2
(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.
解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，
∴CE ＝CF
在Rt △CFA 和Rt △CEA 中，CF CE
AC AC
=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE
又∵AE ＝
1
2
(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°
在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△CEB ≌△CFD
∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°. 【变式题组】
01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求
ACD
CBD
S S ∆∆ 02．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，
问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.
【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝
12
BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ，因而可以考虑过点D 作BC 的垂线或延长CE 从而构造全等三角形.
证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∠BEF ＝∠BEC
∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ，∴CE ＝1
2
CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°， ∴∠1＝∠3
在△ABD 和△ACF 中，13
AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨
⎪∠=∠⎩
，∴△ABD ≌△ACF
∴BD ＝CF ∴CE ＝12
BD 【变式题组】
第1题图
第2题图
第3题图
第4
题图
第5题图
01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .
02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交
于点F .
⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .
演练巩固·反馈提高
01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则
△ABD 的面积是（ ）
A ．
13
mn B ．
12
mn C ． mn D ．2 mn
02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；
④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
03．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、
S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③
04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下
列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角
平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°
06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，
给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④
第6题图
第7
题图
第8
题图
第9题图
第10题图
07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A ．点P 到△ABC 三边的距离相等
B ．点P 在∠AB
C 的平分线上
C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°
D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝1
2
∠P
08．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、
AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
09．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD
平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个
10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q
到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________
11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF
12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD
⊥EF .
l 2
第1
题图第3题图
第4
题图
第5题图
培优升级·奥赛检测
01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条
公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处
02．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，
则D 到AB 边的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．12
03．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已
知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________
04．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝
PE ，则∠BPD ＝__________
05．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两
平行线AB 、CD 间的距离等于__________
06．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求
证：∠G ＝1
2
(∠ACB －∠B )
07．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞
DB －DC
08．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、
BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP
第3讲轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；
②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）
【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.
【变式题组】
01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）
02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H 上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）
【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）
A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，
－1）
【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC
向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得
B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的
规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.
【变式题组】
01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3
02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.
03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象
限，则a的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），
沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）
A．30°B．20°C．15°D．10°
【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD ＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故选D.
【变式题组】
01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.
若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）
A．70°B．65°C．50°D．25°
02．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.
03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图
④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小.
【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，
EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．
【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF
≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义
与三角形的外角转化即可．
证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝
∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，
∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠
2，∴∠B＝∠4
【变式题组】
01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．
02．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．
03．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．
04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，
则△ABC的周长是___________cm．
【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC 和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．
【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF 如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示．
【变式题组】
01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．
02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
⑵涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所
设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，
如图乙与图丙）
【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮
水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？
【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋
BM为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．
解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点
M，则点M为所求，下面证明此时的AM＋BM最小．
证明：在CD上任取与M不重合的点M’，
∵AA’关于CD对称，∴CD为线段AA’的中垂线，
∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜
A’M’＋BM’，
∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，
即AM＋BM最小．
【变式题组】
01．（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）
02．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
演练巩固·反馈提高
01．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（）．
A．48°B．54°C．74°D．78°
02．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
03．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）
A．80°B．85°C．95°D．110°
04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）
A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）
C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）
05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的
坐标是（）
A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）
06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（）A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－1
07．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．
08．（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2. 09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________. 10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，
∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．
11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．
12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．
13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形
的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）
培优升级·奥赛检测
01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，
点P在∠α内（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：
先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作
P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……P n与P重合，则n的最小值是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
02．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC
关于y轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
⑵如果点P的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P1，点P1关于
直线l的对称点是P2，求PP2的长．
03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．
04．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M．
⑴求证：AB＝CD；
⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关
系，并说明理由．
05．在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC边的对称点为A’，点B关于AC边的对称点为B’，点C关于AB边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．。