2021中考数学压轴题专题6.二次函数与四边形

第六讲 二次函数与四边形

【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边长,OA OC 分别为12cm 和6cm ，点,A C 分

别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2

y ax bx c =++经过点,A B ，180a c +=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点P 由点A 开始沿AB 边以1/cm s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以

2/cm s 的速度向终点C 移动：

①移动开始后第t 秒时，设PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；

②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以,,,P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()()()4,00,42,0A B C --、、三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，MAB 的面积为S ，求S 关于m 的

函数关系式，并求出S 的最大值；

（3）若P 是抛物线上的动点，Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能使以点P Q B O 、、、为

顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点()()()1,03,03,4B C D 、、．以A 为

顶点的抛物线2

y ax bx c =++过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P Q 、的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE AB ⊥交AC 于点E ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E 作EF AD ⊥于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，ACG 的面积最大？

（3）在,P Q 运动过程中，t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以,,,C Q E H 为

顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．

【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++<与x 轴交于()()2,0,4,0A B -两

点，与y 轴交于点C ，2OC OA =．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线()10y kx k =+>与y 轴交于D ，与抛物线交于P ，与直线BC 交于M ，记PM

m DM

=

，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q

和点N ，使得以,,,P D Q N 四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．

课后练习

【练1】如图，在矩形OABC 中，点()()0,10,8,0A C ．沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点

B 落在OA 边上的点E 处．分别以O

C OA 、所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，

抛物线2

y ax bx c =++经过O D C 、、三点．

（1）求D 的坐标及抛物线的解析式；

（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，

沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以,,P Q C 为顶点的三角形与ADE 相似？

（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以,,,M N C E 为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点M 与点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

【练2】如图1，抛物线()20y ax bx c a =++>交x 轴于,A B 两点（A 在B 左侧），交y 轴于点C ，B

点坐标为()8,0，A 点坐标为()4,0，1

tan 2

ABC ∠=

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线EF （EF x ∥轴，且分别交y 轴、线段CB 于E F 、两点）从点C 开始运动，以每秒1个单

位的速度向下运动，与x 轴重合时停止，同时动点P 从B 点出发沿线段BO 以每秒2个单位的速度向终点O 运动，连接FP ，设运动时间为t 秒，是否存在t 值，使以,,P B F 为顶点的三角形与

ABC 相似？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如图2连接AC 交EF 于点G ，当t 为何值时，,,,A P F G 所围成的图形是平

行四边形、等腰梯形，请直接写出对应的t 值．