【精品提分练习】数学选修22人教A讲义：模块综合试卷

模块综合试卷

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．在复平面内，复数z ＝2i

1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

考点 共轭复数的定义与应用 题点 共轭复数与点的对应 答案 D

解析 ∵z ＝2i

1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )

＝1＋i ，

∴z ＝1－i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限．

2．曲线y ＝sin x ＋e x (其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为( ) A ．2 B ．3 C.13

D.12

考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切线的斜率 答案 A

解析 ∵y ′＝cos x ＋e x ，

∴k ＝y ′|x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，故选A. 3．观察下列等式：

9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n (n ∈N *)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 考点 归纳推理的应用

题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B

解析 注意观察每一个等式与n 的关系，易知选项B 正确． 4．ʃ2π0|sin x |dx 等于( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 D

解析 ʃ2π0|sin x |dx ＝ʃπ0sin xdx ＋ʃ2π

π(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.

5．已知在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG

GD ＝2.若把

该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若三角形BCD 的重心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO

OM 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

考点 类比推理的应用

题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C

解析 由题意知，O 为正四面体的外接球和内切球的球心．设正四面体的高为h ，由等体积法可求得内切球的半径为14h ，外接球的半径为34h ，所以AO

OM ＝3.

6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.1

2 B ．－1 C ．0

D ．1

考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D

解析 由f ′(x )＝3－12x 2＝3(1＋2x )(1－2x )＝0，解得x ＝±1

2，

∵－1

2∉[0,1](舍去)．

当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1

2时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[0,1]上的极大值为 f ⎝⎛⎭⎫12＝32－4×⎝⎛⎭

⎫123＝1.

又f (0)＝0，f (1)＝－1，∴函数最大值为1.

7．若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)

D ．(1，＋∞)

考点 导数与曲线的切线问题 题点 切线存在性问题 答案 A

解析 易知f ′(x )＝2ax ＋1

x

(x >0)．

若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线， 则2ax ＋1

x ＝0存在大于0的实数根，

即a ＝－1

2x

2<0.

8．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；

②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B

解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 9．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( ) A ．900元 B ．840元 C ．818元

D ．816元 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 D

解析 设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×

483

＋

12×2⎝

⎛⎭⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝⎛⎭⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝⎛⎭⎫1－16

x 2. 令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)． 当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0. 故当x ＝4时，l 有最小值816.

因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D. 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( ) A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，1

2 C.⎝⎛⎭⎫

12，2

D ．(－2,1)

考点 利用导数研究函数的单调性 题点 已知函数值大小求未知数 答案 A

解析 ∵f (x )是奇函数，∴不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )即xf ′(x )＋f (x )<0， ∵F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，即当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0，函数F (x )为减函数． ∵f (x )是奇函数，∴F (x )＝xf (x )为偶函数，且当x >0时，为增函数，即不等式F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)，

∴|2x －1|<3，∴－3<2x －1<3，得－1<x <2，故选A.

11．若由曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S ，则S 等于( )

A.73

B.83 C ．3 D.103

考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 答案 D

解析 由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x 2

＋1，

x ＋y ＝3，

得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－2，y ＝5，

所以所求面积为图中阴影部分的面积．

所以S ＝ʃ10(x 2＋1)d x ＋ʃ31(3－x )d x ＝13

＋1＋⎝⎛⎭⎫9－92－⎝⎛⎭⎫3－12＝103. 12．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )