2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题(A卷)

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数
学联合竞赛一试及加试试题（A 卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、解答题
9．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x Γ=，F 为Γ的焦点，A ，B 为Γ上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
10．已知三棱柱111:ABC A B C Ω-的9条棱长均相等.记底面ABC 所在平面为α.若Ω的另
(1)点K在TDP
的外接圆上；
(2)K为定点.
13．正整数n称为“好数”，如果对任意不同于
参考答案：
取卡片（顶点）的规则可解释为：
（ⅰ）若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完；
（ⅱ）若顶点P 未取走，则必为某个()(),,0G m n m n ≥的情形，此时若号顶点，
【详解】
()11,x y ，()22,B x y .)1,0.由于点P 位于线段t ，22y t =-，则1x ，B 不重合知0t ≠，所以)2x x +【详解】
，1B ，1C 在平面α上的投影分别为1C ，11ABB A ，11ACC A ，BCC
）
的圆心O，过点O作AB的平行线l ，D，P，K共圆及KD KP
=，可知=︒-∠=︒-∠=∠
9090
DTB ATD PBA
∠的平分线.所以点K在直线为DTP。