2.3 确定二次函数的表达式 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册

第2课时由三点确定二次函数的表达式
1.经历确定二次函数表达式y=ax2+bx+c的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.
2.利用二次函数图象上的三个点的坐标,运用待定系数法确定二次函数表达式.
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养数学应用意识.
2.在学习过程中体会学以致用,提高运用所学知识解决实际问题的能力.
1.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
2.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【重点】利用二次函数图象上的三个点的坐标确定二次函数表达式.
【难点】运用待定系数法,采用多种方法确定二次函数表达式.
【教师准备】多媒体课件.
【学生准备】复习待定系数法和三元一次方程组的解法.
导入一:
思考下面的问题:
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?
【学生活动】分析题目中的已知条件,回忆利用待定系数法列二元一次方程组来求二次函数表达式的方法后,互相交流,得出无法解决的结论.
[设计意图]通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好
奇心,激发了学生探究新知的欲望.
导入二:
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1),两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?
师要求学生仔细观察,思考下面的问题:
1.题目中给出了几个点的坐标?
2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?
3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?
[设计意图]通过对喷泉这一情境的探究,使学生不但明确了本节课所要探究的知识,同时更加明确了与上节课知识的联系与区别,可谓一举两得.
【引例】已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.
【学生活动】回忆上节课的做法,由学生独立解答,代表展示解题过程.
解:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.
故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,
把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,
得
解方程组,得
∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.
【想一想】知道了函数图象上的三个点的坐标,能不能直接用待定系数法设成y=ax2+bx+c进行解答.
【师生活动】学生思考后,与同伴交流想法,再参与到小组的讨论中去.组长展示解答过程,师生共同订正.
解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,
得
解这个方程组,得
∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.
【教师点评】通过上面的探究,可知如果已知二次函数y=ax2+bx+c的图象所经过的三个点,那么就可以确定这个二次函数的表达式.
[设计意图]利用上节课所学的知识进行引入,既复习了旧知,又引出了新知,继而再接触本节课所学知识的解题方法,同时也为下面的例题做好了铺垫.
(教材例2)已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.
〔解析〕由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为
y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.
【学生活动】学生先独立解答,然后同伴相互订正.课件出示解题过程(规范学生的解答步骤).
解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得
解这个方程组,得
所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.
因为y=2x2-3x+5=2+,
所以二次函数图象的对称轴为直线x=,顶点坐标为.
[设计意图]通过进一步探究,掌握了已知三点坐标确定二次函数表达式的方法,提高了解决问题的能力.
[知识拓展]已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:
利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.
课件出示:
【议一议】一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.
【师生活动】师要求学生仔细观察给出的三个点的特征,根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答,师巡视发现学生不同的解法,并找解法不同的学生板演:
解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,
得解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,
将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,
得a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.
解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,
得解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
【师生活动】通过两节课的探究,总结确定二次函数表达式的方法.
【教师点评】二次函数表达式的确定方法:
确定二次函数表达式待定系数法
[设计意图]通过对“议一议”的探究,使学生进一步掌握了已知三个点的坐标确定二次函数表达式的步骤和方法,提高了学生一题多解的能力.
1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤.
2.二次函数表达式的确定方法.
1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是
()
A.y=4x2+3x-5
B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5
D.y=2x2+x-5
解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴解方程组,得∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.
2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()
A.(1,2)
B.
C.(-1,5)
D.
解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=-x2+x+,顶点坐标是(1,2).故选A.
3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式
为.
解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.
4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.
解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得解这个方程组,得
∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.
(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2-,
∴该抛物线的顶点坐标为.
第2课时
1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:
利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.
2.二次函数表达式的确定方法:
确定二次表达式待定系数法
一、教材作业
【必做题】
1.教材第45页随堂练习.
2.教材第45页习题2.7第1,2题.
【选做题】
教材第45页习题2.7第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是()
A.y=2x2+x+2
B.y=x2+3x+2
C.y=x2-2x+3
D.y=x2-3x+2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,-1),(2,-4),(0,4)三点,那么它的对称轴是直线()
A.x=-3
B.x=-1
C.x=1
D.x=3
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式
为.
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=.
【能力提升】
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4,积是-5,且抛物线经过点(0,-5),则此抛物线的解析式为()
A.y=x2-4x-5
B.y=-x2+4x-5
C.y=x2+4x-5
D.y=-x2-4x-5
6.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为.
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,-6),(1,0)和(-2,-6)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求二次函数图象的顶点坐标;
(3)若点A(m-2n,-8mn-10)在此二次函数图象上,求m,n的值.
8.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3).
(1)求二次函数的解析式;
(2)画出二次函数的图象.
9.(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.
①y随x变化的部分数值规律如下表:
x-10123
y03430
②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c;
③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图所示).
(2)直接写出(1)中二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.
【拓展探究】
10.如图①所示,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).
(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图②中阴影部分).【答案与解析】
1.D (解析:这个二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c ,把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式是y =x 2-3x +
2.故选D .)
2.D (解析:二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,把(1,-1),(2,-4),(0,4)分别代入表达式,得解方程组,得则二次函数的解析式为y =x 2-6x +4,所以它的对称轴是直线x =-=-=
3.故选D .)
3.y =-x 2+2x +(解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y =-x 2+2x +.)
4.-2(解析:把点(1,2)和(-1,-6)分别代入y =ax 2+bx +c (a ≠0),得①+②得2a +2c =-4,则a +c =-2.)
5.C (解析:根据题意,x 1+x 2=-4,x 1x 2=-5,解得x 1=-5,x 2=1或x 1=1,x 2=-5,所以抛物线y =ax 2+bx +c 经过(-
5,0),(1,0),(0,-5)三点,所以解得所以所求二次函数的表达式为y =x 2+4x -5.)
6.y =x 2+x -(解析:∵对称轴为直线x =-1,且图象与x 轴交于A ,B 两点,AB =6,∴抛物线与x 轴交于(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.∵顶点在函数y =2x 的图象上,∴y =2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2),设二次函数的解析式为y =a (x +1)2-2,把(2,0)代入得0=9a -2,解得a =,∴y =(x +1)2-2=x 2+x -,∴这个二次函数的表达式为y =x 2+x -.故填y =x 2+x -.)
7.解:(1)由已知得解得∴二次函数的解析式为y =2x 2+4x -6.
(2)∵y =2x 2+4x -6=2(x +1)2-8,∴顶点坐标为(-1,-8).(3)由已知,得-8mn -10=2(m -2n )2+4(m -2n )-6,m 2+4n 2+2m -4n +2=0,(m +1)2+(2n -1)2=0,∴m =-1,n =.
8.解:(1)根据题意,得解得∴所求的解析式为y=-x2+2x+2.
(2)二次函数的图象如图所示.
9.解:(1)若选择①:根据表格,可知抛物线的顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;若选择②,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将(-1,0),(1,4),(3,0)分别代入得解得所以抛物线的解析式为y=-
x2+2x+3;若选择③,由图象得到抛物线的顶点坐标为(1,4),且过(0,3),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将(0,3)代入得a=-1,则抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)抛物线y=-x2+2x+3的性质:①对称轴为直线x=1,②当x=1时,函数有最大值,为4;③当x<1时,y随x的增大而增大.(答案不唯一) 10.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图所示,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP'=1,由题意知阴影部分的面积等于平行四边形A'APP'的面积,平行四边形A'APP'的面积为1×2=2,∴阴影部分的面积为2.
本节课的重点是利用待定系数法列三元一次方程组求二次函数的表达式,所以解决问题的前提是会解三元一次方程组,所以提前要求学生对这一部分知识进行复习,就大大降低了本节课的难度,收到了非常好的效果.突破这一难点后,就让学生类比上节课的探究方法利用已知的三个点的坐标确定二次函数表达式.在解答过程中提醒学生对于表达式的选择,要具体问题具体分析,让学生自己总结出确定二次函数表达式的步骤和方法,为后面的“议一议”的一题多解做好充分的准备.
没有精心设置问题的难度,使学生步步深入地探究出求二次函数表达式的方法和步骤,对于基础差的学生而言,直接解答有点吃力.
课堂上注意讲课的节奏,尽量让中下游的学生跟上老师的步伐,多给学生自己练习的时间,让学生真正成为学习的主体.
随堂练习(教材第45页)
解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(0,2),(1,0)和(-2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-x2-x+2.
习题2.7(教材第45页)
1.解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,3),(2,0)和(3,4)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=x2-x+13.
2.解法1:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,0),(3,0)和(2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-3x2+12x-9.解法2:设函数表达式为y=a(x-1)(x-3),将(2,3)代入表达式,解得a=-3,所以二次函数表达式为y=-3(x-1)(x-3)=-3x2+12x-9.
3.解:答案不唯一.如添加:C (-2,13).设函数表达式为y =ax 2
+bx +c ,将(0,a ),(1,-2)和(-2,13)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y =x 2-4x +1.
1.学生通过上节课的学习,已经掌握了利用待定系数法求二次函数表达式的方法,所以本节课可以利用类比的方法进行探究.
2.课前做好三元一次方程组解法的复习是求三个未知系数进而确定二次函数表达式的关键.
3.要学会对所给出的点的坐标特征进行分析,合理地设出表达式,能运用不同的解法求解二次函数的表达式,提高解决问题的能力.
(2014·宁波中考)如图所示,已知二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ,求点D 的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y =x +1,并写出当x 在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
〔解析〕(1)根据二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,代入得出关于a ,b ,c 的三元一次方程组,求得a ,b ,c ,从而得出二次函数的解析式.(2)令y =0,解一元二次方程,求得x 的值,从而得出与x 轴的另一个交点坐标.(3)画出图象,再根据图象直接得出答案.
解:(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,
∴
∴
∴二次函数的解析式为y =x 2-x -1.
(2)令y =0,得x 2
-x -1=0,解得x 1=2,x 2=-1,
∴点D的坐标为(-1,0).
(3)图象如图所示.
当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1<x<4.
[解题策略]本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题,是中档题,要熟练掌握.。