A版高中数学必修2课件《 平面与平面平行的性质》(人教版)
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数学：2.2.4《平面与平面平行的性质》课件(新人教a版必修2)
思考:如果两个平面平行，会有哪些 结论呢?
探究新知
探究1. 如果两个平面平行， 那么一个平面内的直线与另 一个平面有什么位置关系？
a
答:如果两个平面平行，那么一个 平面内的直线与另一个平面平行.
探究新知
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行，那么两个平面内 的直线要么是异面直线,要么是平行直线.
练习巩固
1.指导学生完成P61练习. 2.如果一条直线与两个平行平面中的 一个相交，那么它与另一个也相交。
l β
A
α
已知：如图，α ∥β ，l∩α ＝A l 求证：l与β 相交。 a A β 证明：在β 上取一点B， 过l和B作平面γ ， b · B α 由于γ 与α 有公共点A， γ γ 与β 有公共点B， 所以，γ 与α ，β 都相交， 设γ ∩α ＝a，γ ∩β ＝b， 因为α ∥β ，所以a∥b， 又因为l,a,b都在平面γ 内，且l与相a交于点A， 所以l与b相交， 所以l与β 相交。
作业： P62 7,8题
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sub84rvs
呢？都好点儿了吗？”一个试着走两步，说：“尽管这侧肩膀和腰腿还挺痛，但已经能走了！”另一个说：“我的头也不太晕了。”耿 正说：“你们再歇息一会儿。我先送我妹和我弟回去，然后就返回来。你俩都这样了，我得把你们送回去！”两个伙计都说：“不用送， 我们都好多了，可以自己回去的！”说着再走几步。耿正仔细看看，那个头上被打了个大包的伙计确实走得很稳了。至于那个肩膀和腰 腿受了伤的伙计，走起来虽然还有点儿一瘸一拐的，但也问题不大了，就问：“真不用我送了？”俩人都说：“不用送了，真得不用送 的！”耿正说：“那咱们现在就都回吧，两位老人有他们的两家邻居照看就行了。”说着，耿正扶着那个脑袋受伤的伙计，耿英和耿直 扶着那个一瘸一拐的伙计，一行人慢慢地走出门来往巷子口走去。一个伙计说：“说好了不送的，你们怎么？”另一个伙计说：“就是， 你们也回吧！”耿正说：“走吧，就送到巷子口上！”耿直问：“哥哥，那梁爷爷和梁奶奶他们没有儿女吗？”耿正说：“听那意思， 不像是有呢！”耿英说：“真够可怜的！”那个一瘸一拐的伙计也说：“唉，这可真是‘阎王爷不嫌鬼瘦’，这可恶的贼偏偏还偷了他 们！”“是啊，可怜的善良老人！”耿正叹息着，大家已经走到巷子口上了，兄妹三人放开手。耿正说：“你俩可要慢点儿走啊！”俩 人都说：“没事儿！你们也快回去吧！”看俩人慢慢地走远了，耿英放心地说：“看样子，他俩真没事儿了！”耿正轻轻地叹一口气说： “唉，大事儿是没有，但恐怕会痛几天呢。哼，这个可恨的窃贼！”说完，伸手揽过弟弟和妹妹的肩膀慢慢转回巷子里来。走到被窃小 院儿的门口时，耿正站住了，自言自语地说：“再进去看看，也解决不了什么问题了。”长叹一声，他上前来轻轻拉上院门儿。然后， 紧攥着弟弟和妹妹的手快步往出租房走去。太晚了，善良的房东夫妇还给他们留着门儿呢！兄妹三人急匆匆赶到小巷儿尽头，轻轻地推 开院门儿，轻手轻脚地走了进去。耿正回身轻轻关好院门儿，三人悄悄地回到了出租房内。他们实在是太累了，谁也没有提洗漱的事儿， 就一头和衣倒在床上呼呼大睡了。耿正一觉醒来，发现已经日上三竿了。他看一看身旁弟弟还在酣睡，想到今儿不用再去酒店上班了， 就静静地躺着没有动。忽然，听到院子里房东夫妇俩正在压低嗓音儿说话呢！丈夫说：“喏，你要的菜都买回来了！”妻子问：“怎么 走了这么长时间？”“呵，你不知道，巷子口上老梁头家昨儿个晚上遭贼了，听说还是咱家住的这个小哥儿给打跑的呢！我听了一会儿， 所以回来晚了。”“噢，我说呢，他们昨儿个晚上怎么回来的那么晚。你看，到这个时辰了还没有睡醒呢！”“是啊，这兄妹三个可真 不容易，每天都
探究新知
探究1. 如果两个平面平行， 那么一个平面内的直线与另 一个平面有什么位置关系？
a
答:如果两个平面平行，那么一个 平面内的直线与另一个平面平行.
探究新知
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行，那么两个平面内 的直线要么是异面直线,要么是平行直线.
练习巩固
1.指导学生完成P61练习. 2.如果一条直线与两个平行平面中的 一个相交，那么它与另一个也相交。
l β
A
α
已知：如图，α ∥β ，l∩α ＝A l 求证：l与β 相交。 a A β 证明：在β 上取一点B， 过l和B作平面γ ， b · B α 由于γ 与α 有公共点A， γ γ 与β 有公共点B， 所以，γ 与α ，β 都相交， 设γ ∩α ＝a，γ ∩β ＝b， 因为α ∥β ，所以a∥b， 又因为l,a,b都在平面γ 内，且l与相a交于点A， 所以l与b相交， 所以l与β 相交。
作业： P62 7,8题
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呢？都好点儿了吗？”一个试着走两步，说：“尽管这侧肩膀和腰腿还挺痛，但已经能走了！”另一个说：“我的头也不太晕了。”耿 正说：“你们再歇息一会儿。我先送我妹和我弟回去，然后就返回来。你俩都这样了，我得把你们送回去！”两个伙计都说：“不用送， 我们都好多了，可以自己回去的！”说着再走几步。耿正仔细看看，那个头上被打了个大包的伙计确实走得很稳了。至于那个肩膀和腰 腿受了伤的伙计，走起来虽然还有点儿一瘸一拐的，但也问题不大了，就问：“真不用我送了？”俩人都说：“不用送了，真得不用送 的！”耿正说：“那咱们现在就都回吧，两位老人有他们的两家邻居照看就行了。”说着，耿正扶着那个脑袋受伤的伙计，耿英和耿直 扶着那个一瘸一拐的伙计，一行人慢慢地走出门来往巷子口走去。一个伙计说：“说好了不送的，你们怎么？”另一个伙计说：“就是， 你们也回吧！”耿正说：“走吧，就送到巷子口上！”耿直问：“哥哥，那梁爷爷和梁奶奶他们没有儿女吗？”耿正说：“听那意思， 不像是有呢！”耿英说：“真够可怜的！”那个一瘸一拐的伙计也说：“唉，这可真是‘阎王爷不嫌鬼瘦’，这可恶的贼偏偏还偷了他 们！”“是啊，可怜的善良老人！”耿正叹息着，大家已经走到巷子口上了，兄妹三人放开手。耿正说：“你俩可要慢点儿走啊！”俩 人都说：“没事儿！你们也快回去吧！”看俩人慢慢地走远了，耿英放心地说：“看样子，他俩真没事儿了！”耿正轻轻地叹一口气说： “唉，大事儿是没有，但恐怕会痛几天呢。哼，这个可恨的窃贼！”说完，伸手揽过弟弟和妹妹的肩膀慢慢转回巷子里来。走到被窃小 院儿的门口时，耿正站住了，自言自语地说：“再进去看看，也解决不了什么问题了。”长叹一声，他上前来轻轻拉上院门儿。然后， 紧攥着弟弟和妹妹的手快步往出租房走去。太晚了，善良的房东夫妇还给他们留着门儿呢！兄妹三人急匆匆赶到小巷儿尽头，轻轻地推 开院门儿，轻手轻脚地走了进去。耿正回身轻轻关好院门儿，三人悄悄地回到了出租房内。他们实在是太累了，谁也没有提洗漱的事儿， 就一头和衣倒在床上呼呼大睡了。耿正一觉醒来，发现已经日上三竿了。他看一看身旁弟弟还在酣睡，想到今儿不用再去酒店上班了， 就静静地躺着没有动。忽然，听到院子里房东夫妇俩正在压低嗓音儿说话呢！丈夫说：“喏，你要的菜都买回来了！”妻子问：“怎么 走了这么长时间？”“呵，你不知道，巷子口上老梁头家昨儿个晚上遭贼了，听说还是咱家住的这个小哥儿给打跑的呢！我听了一会儿， 所以回来晚了。”“噢，我说呢，他们昨儿个晚上怎么回来的那么晚。你看，到这个时辰了还没有睡醒呢！”“是啊，这兄妹三个可真 不容易，每天都
高中数学人教A版必修二课件：平面与平面平行的性质
追求卓越，崇尚一流。 主编：杨树军
题型一 面面平行性质的应用
例 1 如图，已知平面 α∥β，直线 AB 分别交 α，β于点 A， B，直线 CD 分别交 α，β于点 C，D，M，N 分别在线段 AB，CD AM CN 上，且 ＝ .求证：MN∥平面 β. MB ND
分析：本题应分两种情况分别研究，当 AB，CD 共面时，易得 MN∥BD，可推出 MN∥平面 β.当 AB，CD 异面时，可通过作辅助 平面，由面面平行推出线线平行． 证明：(1)当 AB，CD 共面时，平面 ABDC∩平面 α＝AC，平面 ABDC∩平面 β＝BD. 又 α∥β，∴AC∥BD. 在平面 ABDC 内，∵ ∴AC∥MN∥BD. ∵BD⊂β，MN⊄β，∴MN∥平面 β； AM CN ＝ ， MB ND
(2)当 AB，CD 异面时，如图，过点 A 作 AD′∥CD 交平面 β 于 AE AM 点 D′，在平面 ABD′内作 ME∥BD′交 AD′于点 E，则 ＝ . ED′ MB 又 AM CN AE CN ＝ ，∴ ＝ ， MB ND ED′ ND
连接 EN，设 AD′，CD 确定的平面为 γ， 则 γ∩α＝AC，γ∩β＝DD′. 又 α∥β，∴AC∥DD′， ∴AC∥EN∥D′D， ∵ME∥BD′，BD′⊂β，ME⊄β， ∴ME∥平面 β，同理 EN∥平面β， ∴平面 MEN∥平面 β，又∵MN⊂平面 MEN， ∴MN∥平面 β. 点评：本例通过过点 A 作 AD′∥CD，实现化异为共，借助 AD′ 实现 AB 与 CD 的联系．
解析：因为 AA′∩BB′＝P， 所以 AA′与 BB′确定一个平面 M. 因为 α∥γ，α∩M＝AB，γ∩M＝ A′B′， 所以 AB∥A′B′. 同理可证 BC∥B′C′，AC∥A′C′. 所以△PAC∽△PA′C′，△PBC∽△PB′C′， △PAB∽△PA′B′. 所以 PA AC PC ＝ ＝ ， PA′ A′ C′ PC′
题型一 面面平行性质的应用
例 1 如图，已知平面 α∥β，直线 AB 分别交 α，β于点 A， B，直线 CD 分别交 α，β于点 C，D，M，N 分别在线段 AB，CD AM CN 上，且 ＝ .求证：MN∥平面 β. MB ND
分析：本题应分两种情况分别研究，当 AB，CD 共面时，易得 MN∥BD，可推出 MN∥平面 β.当 AB，CD 异面时，可通过作辅助 平面，由面面平行推出线线平行． 证明：(1)当 AB，CD 共面时，平面 ABDC∩平面 α＝AC，平面 ABDC∩平面 β＝BD. 又 α∥β，∴AC∥BD. 在平面 ABDC 内，∵ ∴AC∥MN∥BD. ∵BD⊂β，MN⊄β，∴MN∥平面 β； AM CN ＝ ， MB ND
(2)当 AB，CD 异面时，如图，过点 A 作 AD′∥CD 交平面 β 于 AE AM 点 D′，在平面 ABD′内作 ME∥BD′交 AD′于点 E，则 ＝ . ED′ MB 又 AM CN AE CN ＝ ，∴ ＝ ， MB ND ED′ ND
连接 EN，设 AD′，CD 确定的平面为 γ， 则 γ∩α＝AC，γ∩β＝DD′. 又 α∥β，∴AC∥DD′， ∴AC∥EN∥D′D， ∵ME∥BD′，BD′⊂β，ME⊄β， ∴ME∥平面 β，同理 EN∥平面β， ∴平面 MEN∥平面 β，又∵MN⊂平面 MEN， ∴MN∥平面 β. 点评：本例通过过点 A 作 AD′∥CD，实现化异为共，借助 AD′ 实现 AB 与 CD 的联系．
解析：因为 AA′∩BB′＝P， 所以 AA′与 BB′确定一个平面 M. 因为 α∥γ，α∩M＝AB，γ∩M＝ A′B′， 所以 AB∥A′B′. 同理可证 BC∥B′C′，AC∥A′C′. 所以△PAC∽△PA′C′，△PBC∽△PB′C′， △PAB∽△PA′B′. 所以 PA AC PC ＝ ＝ ， PA′ A′ C′ PC′
平面与平面平行的性质-(新教材)人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
面面平行性质的应用 [例 1] 如图，已知平面 α∥β，P∉α 且 P∉β， 过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A，C，过点 P 的直线 n 与 α，β 分别交于 B，D，且 PA＝6， AC＝9，PD＝8，求 BD 的长．
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
[解] 因为 AC∩BD＝P， 所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD， 因为 α∥β，α∩平面 PCD＝AB，β∩平面 PCD＝CD，所以 AB∥CD. 所以APAC＝BPBD，即69＝8－BDBD. 所以 BD＝254.
如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 BB1 上不同于 B，B1 的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G. 求证：AC∥FG.
8平.面5 .与3 平第面二平行课的时 性平质面-【与新平教面材平】行人的教性A质版-高【中新数教学材必】修人第教二A册版优（ 秀20课19件） 高中数 学必修 第二册 课件(共 23张P PT)
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
[变式训练]
1．[变条件，变结论]将本例改为：若点 P 是平面 α， β 之间(如图)，其他条件不变，试求 BD 的长． 解：与本例同理，可证 AB∥CD. 所以PPAC＝PPDB，即63＝BD8－8，所以 BD＝24.
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
面面平行性质的应用 [例 1] 如图，已知平面 α∥β，P∉α 且 P∉β， 过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A，C，过点 P 的直线 n 与 α，β 分别交于 B，D，且 PA＝6， AC＝9，PD＝8，求 BD 的长．
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
[解] 因为 AC∩BD＝P， 所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD， 因为 α∥β，α∩平面 PCD＝AB，β∩平面 PCD＝CD，所以 AB∥CD. 所以APAC＝BPBD，即69＝8－BDBD. 所以 BD＝254.
如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 BB1 上不同于 B，B1 的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G. 求证：AC∥FG.
8平.面5 .与3 平第面二平行课的时 性平质面-【与新平教面材平】行人的教性A质版-高【中新数教学材必】修人第教二A册版优（ 秀20课19件） 高中数 学必修 第二册 课件(共 23张P PT)
平 面 与 平 面 平行的 性质-【 新教材 】人教 A版高 中数学 必修第 二册优 秀课件
[变式训练]
1．[变条件，变结论]将本例改为：若点 P 是平面 α， β 之间(如图)，其他条件不变，试求 BD 的长． 解：与本例同理，可证 AB∥CD. 所以PPAC＝PPDB，即63＝BD8－8，所以 BD＝24.
高中数学人教A版必修2课件：2.2.4平面与平面平行的性质
γ
b β
a α
学生展示
• 已知： • 求证： • 证明：
γ
b β
a α
精 讲 点
••已【知例：】α求//β证，:A夹B在//C两D个，平且行A平∈面α，间C的∈平α，行 B∈线β段，相D等∈。β。
拨 •求证：AB=CD。
•证明：∵AB//CD
∴所以过AB、CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和β分别相交
则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又 α∥β，
∴(2)A由C(∥1)得BDA. C∥BD，∴APAB＝CPDC.
∴45＝C3D.∴CD＝145.
∴PD＝PC＋CD＝27(cm).
综合练习
1 、 正 方 体 ABCD-A′B′C′D′ 中 ， 点 M 在 CD′ 上 ， 试 判 断 直 线 B′M 与 平 面 A′BD 的 位 置 关系，并说明理由。
成比例。
A 1个 B 2个 Байду номын сангаас 3个 D 4个 （ B ）
追踪练习
2.如图，已知α ∥β ，点P是平面α 、β 外的一 点(不在α 与β 之间)，直线PB、PD分别与α 、 β 相交于点A、B和C、D. （1）求证:AC∥BD； （2）已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长.
解：(1)∵PB∩PD＝P，∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ，
2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
1、掌握平面与平面平行的性质，并会应用性 质解决问题；
2、知道直线与直线、直线与平面、平面与平 面之间的位置关系可以相互转化。
• 重点：平面与平面平行的性质。 • 难点：应用性质解决问题。
Yesterday once more
平面与平面平行的判定定理：
b β
a α
学生展示
• 已知： • 求证： • 证明：
γ
b β
a α
精 讲 点
••已【知例：】α求//β证，:A夹B在//C两D个，平且行A平∈面α，间C的∈平α，行 B∈线β段，相D等∈。β。
拨 •求证：AB=CD。
•证明：∵AB//CD
∴所以过AB、CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和β分别相交
则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又 α∥β，
∴(2)A由C(∥1)得BDA. C∥BD，∴APAB＝CPDC.
∴45＝C3D.∴CD＝145.
∴PD＝PC＋CD＝27(cm).
综合练习
1 、 正 方 体 ABCD-A′B′C′D′ 中 ， 点 M 在 CD′ 上 ， 试 判 断 直 线 B′M 与 平 面 A′BD 的 位 置 关系，并说明理由。
成比例。
A 1个 B 2个 Байду номын сангаас 3个 D 4个 （ B ）
追踪练习
2.如图，已知α ∥β ，点P是平面α 、β 外的一 点(不在α 与β 之间)，直线PB、PD分别与α 、 β 相交于点A、B和C、D. （1）求证:AC∥BD； （2）已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长.
解：(1)∵PB∩PD＝P，∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ，
2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
1、掌握平面与平面平行的性质，并会应用性 质解决问题；
2、知道直线与直线、直线与平面、平面与平 面之间的位置关系可以相互转化。
• 重点：平面与平面平行的性质。 • 难点：应用性质解决问题。
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平面与平面平行的判定定理：
人教A版必修二高一数学《2.2.4平面与平面平行的性质》课件.pptx
a
异面、平行
b
问题2：平面ABCD内哪些直线会与直线
B'D'平行？怎么样找到这些直线？
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
平面ABCD内的直线只要与B'D'共面即可
已知平面，，，
// ,
a
b
求证：a // b
证明
｛ a
a
b
b
//
a, b没有公共点
a, b都在平面内
a // b
性质定理：如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交线平 行．
// 即： a a // b
b
简记:面面平行，则线线平行
例1求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
已知:平面//平面,AB和DC为夹在、
间的平行线段。 求证：AB=DC. 证明：
D
A
AB // DC 过AB，CD可作平面
AD
BC
BC BC // AD
lm
分别相并于点A, B,C和点D, E, F.
求证: AB DE . BC EF
证明: 过A作直线AH//DF, G , H .
连结AD,GE,HF(如图).
// // ,
BG // CH , AD// GE // HF.
G
AB AG AG DE
, .
BC GH GH EF
H
AB DE . BC EF
D1 A1
D
C1 B1
C B
复习
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条直线，那么这两个 平面平行。
高中数学人教A版必修二.2平面与平面平行的性质PPT课件
a
c b
异面、平行
问题2：平面ABCD内哪些直线会与直线
B'D'平行？怎么样找到这些直线？
D′
C′
A′
性质 探究
B′
D
C
A
B
平面ABCD内的直线只要与B'D'共面即可
平面与平面平行性质
若 // ，且 a,则与 的位置关系如何？
设 b，则直线a、b的位置 关系如何？为什么？
已知平面，，， // , a, b
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
求证：a // b
证明
a
b
a
b
//
a, b没有公共点
a, b都在平面内
a // b
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行。
α
a
b
β
面面平行的几条性质：
1．性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
β
b
α
a
r
练习
面 、 之间的线段,且直线AB、CD为异
面直线,M、P 分别为AB、CD 的中点，
A
求证:直线MP // 平面 .
C
NP
M
D
B
举例
例5. 设平面α、β、γ两两相交,且
a， b, c
若a∥b，求证：b∥c .
a
c
b
α
β
γ
高中数学人教A版必修二课件：2.2.32.2.4《平面与平面平行的性质》
a b
a∥ b
a
a∥
b
线线平行 线面平行
第四页，编辑于星期日：二十三点 十七分。
复习2：平面与平面平行的判定定理
一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行．
P
线面平行
a
b a
b a
b
P
//
a //
b //
面面平行
第五页，编辑于星期日：二十三点 十七分。
如果一条直线与平面 平行，那么这条直线 是否与这平面内的所 有直线都平行？教室 内日光灯管所在直线 与地面平行，如何在 地面上作一条直线与 灯管所在的直线平行 ？
线线平行
线面平行
第十一页，编辑于星期日：二十三点 十七分。
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，
求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b，a // ，b ,
求证：b //
证明：过a作平面，且 c
a
a // 性质定理
a
c
a // c b // c
日光灯安装视频
http://../edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=55d299b6af 508f0099b1c6d7
第六页，编辑于星期日：二十三点 十七分。
直线与平面平行的性质
（1）如果一条直线和一个平面平行，
那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4.面面平行性质定理:
面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
人教A版高中数学必修二课件：2.2.4平面与平面平行的性质
面面平行 线线平行
//
a a // b
b
a b
两个平面没有公共点 两平面平行 // 、 内任何两条直线都没有公共点
内的任何一条直线与都无公共点
面面平行性质2 面面平行线面平行
a
//
}
a //
平面与平面平行的其他性质:
求证：MN//β
证明：连接AD，取AD中点G 在ΔABD中， MG//DB
A α
C
∵ MG ，BD
∴MG//β
同理GN//α,因α//β ∴GN//β ∴平面MNG//β
M
P
GN
B β
E
D
∴MN//β
练习:已知三个平行平面 , ,与两条直线l, m
分别相并于点A, B,C和点D, E, F.
求证: AB＝CD 证明： AB // DC
C
A
过AB，CD可作平面 AADC
B
D
BBCD AC//BD
//
AB // CD
ABCD为平行四边形 AB CD
例2：平面α//β，AC、BD是夹在α、β内的异面
直线，M、N分别是AB、CD的中点，
lm
例3：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N是
AB、PC上的点，且求PN证： MAMN∥. 平面PAD.
PC AB
解：
P N
H
1o PN NH
D
PC CD PN AM
NH AM CD AB
NH AM
A
M
高中数学人教A版必修第二册《平面与平面平行---平面与平面平行的性质》名师课件
解：法一：(1)证明：因为BC∥AD,BC
⊄平面PAD,AD⊂平面
法二：(1)证明：由于AD∥BC,AD ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面
PAD,所以BC∥平面PAD.
PBC.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l,所以BC∥l.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l,所以 l ∥AD ,l∥BC.
求证：N为AC的中点.
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM,平面
BC1N∩平面ACC1A1＝C1N,所以C1N∥AM.
又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN∥C1M且AN＝C1M,
又C1M＝ A1C1,A1C1＝AC,所以AN＝ AC,所以N为AC的中点．
证明:因为//,所以过, 可作平面,且平
面与平面和分别相交于和.
因为//,所以//.
因此,四边形是平行四边形. 所以 = .
典例讲授
例2、如图,已知α∥β,点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间),直线PB、PD分别与α、β
相交于点A、B和C、D.
置关系？
借助长方体模型探究
结论:异面直线或平行直线.
探究新知
探究3:当第三个平面和两个
平行平面都相交时,两条交线
有什么关系？为什么？
答:两条交线平行.
下面我们来证明这个结论
β
a
α
b
探究新知
结论:当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线平行
如图,平面, , 满足//, ∩ = , ∩ = ,求证：//.
(2)平行．
(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点,连接NQ,MQ,则MQ∥AD,NQ∥PD,而
⊄平面PAD,AD⊂平面
法二：(1)证明：由于AD∥BC,AD ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面
PAD,所以BC∥平面PAD.
PBC.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l,所以BC∥l.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l,所以 l ∥AD ,l∥BC.
求证：N为AC的中点.
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM,平面
BC1N∩平面ACC1A1＝C1N,所以C1N∥AM.
又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN∥C1M且AN＝C1M,
又C1M＝ A1C1,A1C1＝AC,所以AN＝ AC,所以N为AC的中点．
证明:因为//,所以过, 可作平面,且平
面与平面和分别相交于和.
因为//,所以//.
因此,四边形是平行四边形. 所以 = .
典例讲授
例2、如图,已知α∥β,点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间),直线PB、PD分别与α、β
相交于点A、B和C、D.
置关系？
借助长方体模型探究
结论:异面直线或平行直线.
探究新知
探究3:当第三个平面和两个
平行平面都相交时,两条交线
有什么关系？为什么？
答:两条交线平行.
下面我们来证明这个结论
β
a
α
b
探究新知
结论:当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线平行
如图,平面, , 满足//, ∩ = , ∩ = ,求证：//.
(2)平行．
(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点,连接NQ,MQ,则MQ∥AD,NQ∥PD,而
《平面与平面平行的性质》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.2.4课时)
a ＋2b ＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)，
∵(λa －b )∥(a ＋2b )，
1 ∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－2.
1
1
1
7
∴－2a －b＝(－2×2－3，－2＋4)＝(－4，2)，
1
即 λa－b＝－2(a＋2b)．
1
故当 λ＝－2时，λa－b 与 a＋2b 平行；平行时它们反向．
典例 1
已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平
行？平行时，它们是同向还是反向？
根据平行条
判断
[思路分析] 求λa－b与a＋2b的坐标 → 件构造方程 → 求λ → 方向 .
第二章 平面向量
[解析] λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)
＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
求证:AB=CD
证明:∵AB//CD ∴过AB，CD可以作平面γ,
且平面γ与平面α和β分别相较于过AD和BC, ∵α//β
∴AD//BC
因此，四边形ABCD是平行四边形.
β
∴ AB=CD
D αA
γ C
B
新知探究
已知三个平行平面 , ,与两条直线 l, m 分别相并于点A, B,C和点D, E, F.
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
2.2.4平面与平面平行的性质
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
复习回顾
1.空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
高中数学必修二人教A版课件：2.2.4 平面与平面平行的性质
3.(定理理解)下列说法正确的是(
B
)
(A)平行于同一条直线的两个平面平行 (B)平行于同一个平面的两个平面平行 (C)一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面 平行 (D)若三直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与 b,c均平行
4.(定理应用)已知α ∥β ,a⊂α ,B∈β ,则在β 内过点B的所有直线中
( D ) (A)不一定存在与a平行的直线 (B)只有两条与a平行的直线 (C)存在无数条与a平行的直线 (D)存在唯一一条与a平行的直线
5.(定理应用)如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α ∥平面ABC,
α 分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′ 与△ABC平面平行的性质
目标导航 1.理解平面与平面平行的性质定理及含义. 课标要求 2.能运用面面平行的性质定理,证明一些空间平行关系的简 单命题. 通过平面与平面平行的性质定理的学习,锻炼了学生的逻辑
素养达成
思维能力、空间想象能力,促进直观想象、逻辑推理等核心
素养的达成.
新知探求
课堂探究
取 B1D1 的中点 O1,
答案:平行.
自我检测
1.(定理理解)设有不同的直线a,b和不同的平面α ,β ,γ ,给出下列三个命 题,其中正确的命题有( α ,则a∥β (A)0个 (A)平行 (C)相交 (B)1个 (B)异面 (D)平行或异面或相交 (C)2个 (D)3个 D ) 2.(理解定理、定义)若a∥α ,b∥β ,α ∥β ,则a与b位置关系是( B ) ③若α ∥β ,a⊂ ①若a∥α ,b∥α ,则a∥b ②若a∥α ,a∥β ,则α ∥β
人教A版高中数学必修二《平面与平面的性质》PPT
复习回顾：复习两个平面的位置关
系及两个平面平行的判定
两个平面的位置关系有哪几种？ 两个平面平行的判定方法有哪几种？
第一种可根据定义（一般用反证法）．
b＝0，a∥β，b∥β，则α∥β．
新课探究：
• 根据两个平面平行,直线和平面平行的定义 可知：两个平面平行，其中一个平面内的 直线必平行于另一个平面．
思考1:由下图反映出来的性质就是一个定理，分 别用文字语言和符号语言可以怎样表述？
γ
定理 如果两个平行平面
b
同时和第三个平面相交， β
那么它们的交线平行.
α
a
// , a, b a // b
已知：α∥β，γ∩α=a.γ∩β=b．
求证：a∥b．
证明（直接证法．） ∵α∥β， ∴α与β没有公共点． ∴a∥b． 证明（反证法．） 假设直线a不平行于直线b，因为直线a、b在同一个 平面γ内，
小结： 这节课，学习了两个平行平面的四个性质．此
外，两平行平面的第五个性质：经过平面外一点 只有一个平面和已知平面平行．它的证明作为今 天的作业．这节课学习的关键是利用两个平行平 面的性质解题时，要注意常把面面平行的问题转 化成线面平行或线线平行的问题．
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.
且与l 平行的直线存在吗？有几条？
l
α
α
P
γ
β
β
思考4:若平面α、β都与平面γ平行，则平面α 与平面β的位置关系如何？
理论迁移 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
A
C
β
γ
αB
D
已知：如图1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α， C∈α，B∈β，D∈β．
系及两个平面平行的判定
两个平面的位置关系有哪几种？ 两个平面平行的判定方法有哪几种？
第一种可根据定义（一般用反证法）．
b＝0，a∥β，b∥β，则α∥β．
新课探究：
• 根据两个平面平行,直线和平面平行的定义 可知：两个平面平行，其中一个平面内的 直线必平行于另一个平面．
思考1:由下图反映出来的性质就是一个定理，分 别用文字语言和符号语言可以怎样表述？
γ
定理 如果两个平行平面
b
同时和第三个平面相交， β
那么它们的交线平行.
α
a
// , a, b a // b
已知：α∥β，γ∩α=a.γ∩β=b．
求证：a∥b．
证明（直接证法．） ∵α∥β， ∴α与β没有公共点． ∴a∥b． 证明（反证法．） 假设直线a不平行于直线b，因为直线a、b在同一个 平面γ内，
小结： 这节课，学习了两个平行平面的四个性质．此
外，两平行平面的第五个性质：经过平面外一点 只有一个平面和已知平面平行．它的证明作为今 天的作业．这节课学习的关键是利用两个平行平 面的性质解题时，要注意常把面面平行的问题转 化成线面平行或线线平行的问题．
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.
且与l 平行的直线存在吗？有几条？
l
α
α
P
γ
β
β
思考4:若平面α、β都与平面γ平行，则平面α 与平面β的位置关系如何？
理论迁移 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
A
C
β
γ
αB
D
已知：如图1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α， C∈α，B∈β，D∈β．
平面与平面平行的性质(第2课时) 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
又 ⊄平面1 1 ，1 ⊂平面1 1 ，∴//平面1 1 .
(法二).取1 1 的中点1 ，连接1 ，1 ，则有1 //1 1 ，1 //1 .
又1 ∩ 1 = 1 ，1 ，1 ⊂平面1 ，1 1 ，1 ⊂平面1 1 ，
)
(2)若//，则平面内有无数条互相平行的直线平行于平面.(
(3)夹在两平行平面间的平行线段相等.(
)
)
答案：×，√，√.
辨析2.平面与圆台的上、下底面分别相交于直线，，则，的位置关系是(
A.平行
答案：A.
B.相交
C.异面
D.平行或异面
).
例析
例5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
8.5.3 平面与平面平行的性质
（第2课时）
新知探索
下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究
可以推出哪些结论.
根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.
如图，借助长方体模型，我们看到，’ ’ 所在的平面
’ ’ 与平面��平行，所以’ ’ 与平面没有公共点.也就
图形语言：
作用：证明两条直线平行.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P142的练习2、4题；
(3)课本P143的习题8.5的第7、10、11、13题.
定交线
确定交线位置
得平行
得两条交线互相平行
练习
变1.如图所示， 是三角形 所在平面外的一点，平面//平面 ，
分别交线段，，于’ ，’ ， ’ .若’ ：’ = 2：5，则
∆’ ’ ’ 与∆的面积比为( ).
A.2:5
B.2:7
C.4:49
D.9:25
(法二).取1 1 的中点1 ，连接1 ，1 ，则有1 //1 1 ，1 //1 .
又1 ∩ 1 = 1 ，1 ，1 ⊂平面1 ，1 1 ，1 ⊂平面1 1 ，
)
(2)若//，则平面内有无数条互相平行的直线平行于平面.(
(3)夹在两平行平面间的平行线段相等.(
)
)
答案：×，√，√.
辨析2.平面与圆台的上、下底面分别相交于直线，，则，的位置关系是(
A.平行
答案：A.
B.相交
C.异面
D.平行或异面
).
例析
例5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
8.5.3 平面与平面平行的性质
（第2课时）
新知探索
下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究
可以推出哪些结论.
根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系.
如图，借助长方体模型，我们看到，’ ’ 所在的平面
’ ’ 与平面��平行，所以’ ’ 与平面没有公共点.也就
图形语言：
作用：证明两条直线平行.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P142的练习2、4题；
(3)课本P143的习题8.5的第7、10、11、13题.
定交线
确定交线位置
得平行
得两条交线互相平行
练习
变1.如图所示， 是三角形 所在平面外的一点，平面//平面 ，
分别交线段，，于’ ，’ ， ’ .若’ ：’ = 2：5，则
∆’ ’ ’ 与∆的面积比为( ).
A.2:5
B.2:7
C.4:49
D.9:25
2.2.4平面与平面平行的性质 课件(人教A版必修2)
反思:证明线线平行的方法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行. (2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
a Pα
(3)线面平行的性质定理:
aβ
⇒
a∥b,应用时题目条件中需有线面平
αn β b
行.
α Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n (4)面面平行的性质定理:α
γ
a
⇒
a∥b,应用时题目条件中需有面面平
1 平面 α 与圆台的上、下底面分别相交于直线 m,n,则 m,n 的位置关系是 ()
A.相交 C.平行 答案:C
B.异面 D.平行或异面
2 九棱柱的两底面为 α 和 β,且 A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,且 AD∥BC,则 AB 与
CD 的位置关系是
.
答案:平行
3 如图所示,两条异面直线 AB,CD 与三个平行平面 α,β,γ 分别相交于 A,E,B 及 C,F,D,又 AD,BC 与平面 β 的交点为 H,G.
证明:如图,在直线 a 上取一点 A,过 b 和点 A 作平面 γ,使 γ∩α=c,则 A∈c. ∵b∥α,b⊂ γ,γ∩α=c, ∴b∥c. ∵a,b 是异面直线,∴a∩c=A. ∵a∥β,A∈a,∴A∉β,∴c⊄ β. ∵b∥c,b⊂ β,c⊄ β,∴c∥β. 又∵a∥β,a∩c=A,a,c⊂ α, ∴α∥β.
∴AF DF . MF BF
又∵BD=B'A,B'E=BF,
∴DF=AE,∴AF AE , FM EB'
∴EF∥B'M.又 EF⊄ 平面 BB'C'C,B'M⊂ 平面 BB'C'C,∴EF∥平面 BB'C'C. 证法二:作 FH∥AD 交 AB 于 H,连接 HE.如图所示. ∵AD∥BC,∴FH∥BC. 又 FH⊄ 平面 BB'C'C,BC⊂ 平面 BB'C'C, ∴FH∥平面 BB'C'C.
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件：8.5.3 第二课时 平面与平面平行的性质
∵C1N＝12C1D1＝12A1B1＝A1P，C1N∥A1P， ∴四边形A1PC1N是平行四边形， ∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP. 又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M⊂平面A1MCN，C1P，PB⊂平面PBC1， ∴平面A1MCN∥平面PBC1. 故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN. 连接MN，作A1H⊥MN于点H. 由题意，易得 A1M＝A1N＝ 5，MN＝2 2. ∴四边形 A1MCN 是菱形，MH＝NH＝ 2，∴A1H＝ 3. 故 S 菱形 A1MCN＝2S△A1MN＝2×12×2 2× 3＝2 6.
提示 1.直线l和m也可能是异面直线.
[微训练]
1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，
则EF与E′F′的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析 由面面平行的性质定理易得.
答案 A
2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中( ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 解析 由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确. 答案 D
题型一 由面面平行的性质定理求线段长
把面∥面转化为线∥线求解
【例1】 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与 CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长. 解 设 AB，CD 共面 γ，因为 γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且 α∥β， 所以 AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SC＋SCCD＝SSAB，即 SCS＋C34＝39，所以 SC＝17.
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AC || EG AC || HF
EG∥HF。同理,EH∥FG。 故EHFG是平行四边形。
课堂小结
三种平行关系的转化： 线 线
线面平行判定
面
面面平行判定 面面平行定义
线
平 行
面 平 行
面
线面平行性质
平
行
面面平行性质
两个平面平行具有如下的结论：
（1）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线 都与另一个平面平行。 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它
D
第三步:书写证明过程。
A
，CD可作平面 证明： AB / / DC 过AB AC BD∥AC BD AB∥CD / /
C
β B
γ
D
ABCD为平行四边形 AB CD
夹在两个平行 平面间的所有 平行线段相等
课堂训练
1.下列命题正确的是（ D ）
A.两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
a / /b
一、平面和平面平行的性质定理 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号语言： 图形语言：
/ / 即： a a / / b b
简记：面面平行 线线平行
a b
平面与平面平行的性质定理的认识 面面平行 线线平行
β
γ
b
作用：①作平行线的方法； ②判定直线与直线平行的重要依据。 关键：寻找两平行平面与第三个平面的交线。
a
例2 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。 讨论：解决这个问题的基本步骤是什么?
第一步：结合图形，将原题改写成数学符号语言; 已知：如图，α ∥β ，AB∥CD，A∈α ， C∈α ,B∈β ，D∈β ， 求证：AB=CD 第二步：分析,作出辅助线； β B γ A C源自C1 C BD A
平面AC内DB与D1B1平行
平面AC内的直线只要和D1B1共面即可。
， ， ， / / , a b。 例1：已知：平面 求证：a / / b
证明:
a
b
a b
/ /
a, b没有公共点 a, b都在平面 内
B.若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 C.若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D.若两个平面平行，则其中的一个平面与另一个平面内的无数条直线平行
2.已知α ∥β ，AB交α 、β 于A、B，CD交α 、β 于C、D， AB∩CD=S，SA=6，AB=9， SD=8，求CD。
第二章 ·空间点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面平行的性质
情境导入
学习目标
1.理解掌握平面与平面平行的性质定理；（重点）
2.掌握平面与平面平行的性质定理的应用；（难点）
3.了解直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关 系并能相互转化。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
们的交线平行。
（3）夹在两个平行平面间的所有平行线段相等。
a , a ,
a b
b
a //b
线线平行
注意： 1、定理三个条件缺一不可。
2、简记：线面平行
课堂探究
问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线a与另一个平面内的直 线有什么位置关系?
a
异面、平行
b
问题2：平面AC内哪些直线与D1B1平行？如何找到它们？
如图
A1
D1 B1
α
A
S
C
β
D 图2
B
1.如图14，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α 、β 、γ 分别 相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、G。 求证：EHFG为平行四边形 解： 平面ABC =AC
平面ABC =EG ||
AC∥EG。同理,AC∥HF。
S
α
β
B
A
C
α
A
S
C
D 图1
β
D 图2
B
解：（1）如图1所示, ∵α ∥β , ∴AC∥BD。
SA SC 6 8 CD , , AB CD 9 CD 24 CD 5
S
α β
B
A
C
D
图1
（2）如图2所示
SA SC , AB CD 6 CD 8 , 9 CD CD 24 24 综上，CD 或CD 24 5