云南省玉溪市澄江县一中2017-2018学年高二四月份月考

云南省玉溪市澄江县一中2018年四月份月考卷
高二数学（考试范围：选修2-2）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在
答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。

如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.Sn是数列{an}的前n项和，an＝，则S1＝1－，S2＝1－，S3＝1－，S4＝1－，由此可以归纳出()
A．Sn＝1－ B．Sn＝1－
C．Sn＝1－ D．Sn＝1－
【答案】C
【解析】∵S1＝1－，S2＝1－，S3＝1－，S4＝1－，∴由归纳推理可得Sn＝1－.
2.设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()
A． [0，] B． [0，)∪[，π)
C． [，] D． [，]
【答案】B
【解析】∵y′＝3x2－≥－，tanα≥－，∴α∈[0，)∪[，π)．
3.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)·f′(x)≤0，则必有()
A．f(－3)＋f(3)<2f(1) B．f(－3)＋f(7)>2f(1)
C．f(－3)＋f(3)≤2f(1) D．f(－3)＋f(7)≥2f(1)
【答案】C
【解析】∵(x－1)f′(x)≤0，
∴x≥1时，f′(x)≤0；x<1时，f′(x)≥0，
∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数；在(－∞，1)上为增函数，
∴f(3)≤f(1)，f(－3)≤f(1)，
∴f(－3)＋f(3)≤2f(1)．
4.若复数z＝i＋i2 014，则复数＋(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵z＝i＋i2 014＝i－1，
∴＋＝－1－i＋＝－1－i＋＝－1－i＋5(－1－i)＝－6－6i，
对应的点的坐标为(－6，－6)，位于第三象限．
5.集合A＝{x∈R|复数1－x＋(x－2)i在复平面上对应点在第三象限}，则集合A等于() A． {x|1≤x≤2} B． {x|x＞2或x＜1}
C． {x|x≥2或x≤1} D． {x|1＜x＜2}
【答案】D
【解析】依题意复数1－x ＋(x －2)i 在复平面上对应点在第三象限，
，解得1＜x ＜2， 所以A ＝{x |1＜x ＜2}． 6.已知f (x )＝
是奇函数，那么实数a 的值等于( )
A ． 1
B ． －1
C ． 0
D ． ±1 【答案】A
【解析】奇函数f (x )在x ＝0时有意义，则f (0)＝0， ∴f (0)＝
＝
＝0，∴a ＝1.
7.观察下图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( ) A ． ■ B ． △ C ． ▭ D ． ○ 【答案】A
【解析】由每行或每列均有2个黑色图形知，本题选A.
8.已知函数f (x )＝
x 3＋
ax 2－bx ＋a 2－2(a ，b ∈R )，若f (x )在－1处有极值
，则a －b 的值是( )
A ． －4或3
B ． 3
C ． －4
D ． －1 【答案】C
【解析】由函数f (x )＝ x 3＋
ax 2－bx ＋a 2
－2(a ，b ∈R )， 得f ′(x )＝x 2
＋ax －b ，
由于f (x )在－1处有极值
，
则
即
解得 或
当a ＝2，b ＝－1时，f ′(x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2
≥0，
故f (x )在R 上为增函数，不满足f (x )在－1处有极值 ；当a ＝－ ，b ＝ 时，f ′(x )＝x 2
－ x －
＝(x ＋
1)(x － )，令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝
，故f (x )在－1处有极值．
则a ＝－
，b ＝
，故a －b ＝－4. 9.设复数
在复平面内对应点为A ，方程z 2＋z ＋1＝0的两个根在复平面内对应点分别为B 、C ，则向量 ＋ 对应的复数为( ) A ． －2－i B ． －1－i C ． －1－2i D ． －2－2i 【答案】C
【解析】∵
＝
＝i ， ∴A (0,1)，
解方程z 2
＋z ＋1＝0，得
z ＝－
±
i ，
∴B 、C 为(－ ，－
)，(－
，
)，
∴ ＋ ＝(－ ，－
－1)＋(－
，
－1) ＝(－1，－2)，
∴向量 ＋
对应的复数为－1－2i. 10.若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数
的共轭复数是( ) A ． －
i
B ． －i
C ．
i
D ． i 【答案】B
【解析】由题意可知z ＝2＋i ，
复数
＝
＝
＝
＝i. 复数 的共轭复数是－i.
11.若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )
A ． 答案A
B ． 答案B
C ． 答案C
D ． 答案D 【答案】A
【解析】∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大．
12.已知复数z ＝1－ i ，则z 2的虚部为( ) A ． －i B ． －2 i C ． 1 D ． －2 【答案】D
【解析】∵复数z ＝1－ i ，则z 2＝－2－2 i ，故z 2
的虚部为－2 .
分卷II
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.从1，i,1＋i,1－i 中任取两个相乘，所得积中不同的虚数有____个． 【答案】4
【解析】1，i,1＋i,1－i 中任取两个相乘，共有以下6个式子：1·
i ＝i,1·(1＋i)＝1＋i,1·(1－i)＝1－i ， i·(1＋i)＝－1＋i ，i·(1－i)＝i ＋1，(1＋i)(1－i)＝2.
所得积中不同的虚数有4个．
14.对正整数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分拆”：
， ，
，
，…以此类推，若m 3
的“分拆”中含有奇数 2 015，则m 的值为
________.
【答案】45
【解析】由题意，从23
到m 3
，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝
个，
2 015是从3开始的第1 007个奇数，
当m＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共＝989个，
当m＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共＝1 034个，
故m＝45.
15.函数f(x)＝x sin(2x＋5)的导数为________．
【答案】sin(2x＋5)＋2x cos(2x＋5)
【解析】f′(x)＝x′s n(2x＋5)＋x[sin(2x＋5)]′
＝sin(2x＋5)＋2x cos(2x＋5)．
16.推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形，结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是________．
【答案】矩形的对角线相等
【解析】根据演绎推理的三段论，
大前提：“矩形的对角线相等”，
小前提：“四边形ABCD是矩形”，
结论：“四边形ABCD的对角线相等”．
三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共70分)
17.已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．
求函数f(x)的单调区间．
【答案】解f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．
18.实数m取什么数值时，复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i分别是，
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)表示复数z的点在复平面的第四象限？
【答案】(1)当m2－m－2＝0，即m＝2或m＝－1时，复数z是实数．
(2)当m2－m－2≠0，即m≠2且m≠－1时，复数z是虚数．
(3)当m2－1＝0，且m2－m－2≠0，即m＝1时，复数z是纯虚数．
(4)当m2－m－2<0且m2－1>0，即1<m<2时，复数z表示的点位于第四象限．
【解析】
19.已知乘法公式：
a5＋b5＝(a＋b)(a4－a3b＋a2b2－ab3＋b4)；
a5－b5＝(a－b)(a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4).
利用或者不利用上述公式，将下列分解因式：x8＋x6＋x4＋x2＋1.
【答案】解x10－1＝(x5)2－1＝(x2)5－1
＝(x2－1)(x8＋x6＋x4＋x2＋1)，
则有x8＋x6＋x4＋x2＋1＝＝＝(x4＋x3＋x2＋x＋1)(x4－x3＋x2－x＋1).
【解析】
20.实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点，
(1)位于第一或第三象限；
(2)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
【答案】(1)位于第一或第三象限，则2m(4－m2)＞0，
∴m＜－2或0＜m＜2.
(2)z＝2m＋(4－m2)i对应点(2m，(4－m2))，
∵位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，
∴(2m)2＋(4－m2)2＝16，
∴m＝0或±2.
【解析】
21.观察下列各式：
sin245°＋cos275°＋sin 45°cos 75°＝，
sin240°＋cos270°＋sin 40°cos 70°＝，
sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝.
(1)分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式；
(2)并对(1)的等式的正确性作出证明．【答案】(1)解根据题意得：sin2x＋cos2(x＋30°)＋sin x cos(x＋30°)＝.
(2)证明已知等式左边＝sin2x＋(cos x－sin x)2＋sin x·(cos x－sin x)
＝sin2x＋cos2x＋sin2x－sin x cos x＋sin x cos x－sin2x
＝cos2x＋sin2x＝＝右边，
则sin2x＋cos2(x＋30°)＋sin x cos(x＋30°)＝.
【解析】
22.设函数f(x)＝，且a1＝，an＋1＝f(an)，其中n＝1,2,3，….
(1)计算a2，a3，a4的值；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】解(1)由题意得an＋1＝，
因为a1＝，
所以a2＝，a3＝，a4＝.
(2)由a1，a2，a3，a4，猜想an＝.
以下用数学归纳法证明：
对任何的n∈N*，an＝.
证明：①当n＝1时，由已知，左边＝，右边＝＝，所以等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即ak＝，
则n＝k＋1时，ak＋1＝＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，猜想也成立，
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．【解析】。