人教版九年级下册数学28.1 特殊角的三角函数值导学案

第二十八章锐角三角函数
令公桃李满天下，何用堂前更种花。

出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》
学校陈道元
28.1 锐角三角函数
第3课时特殊角的三角函数值
学习目标：
1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
重点：运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函
数值.
难点：熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
一、知识链接
互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sin A cos B，cos A sin B，tan A· tan B = .
一、要点探究
探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
【归纳总结】 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
【典例精析】
求下列各式的值：
（1）cos260°+（sin60°）2；（2）cos45
tan45. sin45
提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°).
练一练计算：
(1) sin30°+ cos45°； (2) （sin30°）2+ (cos30°)2－tan45°.
探究点2：通过三角函数值求角度
(1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，A，BC，求∠A的度数；
(2) 如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO OB，求α的度数.
练一练求满足下列条件的锐角α .
(1) 2sin α= 0； (2) tan α－1 = 0.
|＝0，已知△ABC中的∠A与∠B满足 (1－tan A)2 ＋|sin B－
2
试判断△ABC的形状．
练一练 1. 已知，△ABC中的∠A和∠B满足| tan B| ＋ (2 sin A)2 ＝0，求∠A，∠B的度数.
2. 知α为锐角，且 tan α是方程 x2 + 2x－3 = 0 的一个根，求 2 sin2
α+ cos2α－tan (α+15°)的值．
二、课堂小结
tan (α+20°)＝1，锐角α的度数应是
( )
A.40°
B.30°
C.20°
D. 10°
2. 已知∠A为锐角， sin A =
1
2
，则下列正确的是
( )
A.cos A=
2
B.cos A=
2
C. tan A=1
D.tan A=
3. 在△ABC中，若
2
1
sin cos0
2
A B
⎛
-+=
⎝⎭
，则∠C = .
4. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点 B，再以B 为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则 sin∠AOC的值为
_______.
5.求下列各式的值：
(1) 1－2 sin30°cos30°；
(2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) ︒
+︒+︒30tan 160sin 160cos ；
02021145cos60112.2
6.如图，在△ABC 中，∠A =30°，tan 2
B A
C =
= ，求 AB 的长度.
参考答案
自主学习
一、知识链接
= = 1
课堂探究
一、要点探究
探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值
解：设30°所对的直角边长为a ，那么斜边长为2a ，另一条直角边长 =
.=
∴ 1sin 3022a a ==，3cos30==tan 3033==
∴3sin 60=
=1cos6022a a ==，3tan 60==
设含45°角的三角尺的两条直角边长为 a ，则斜边长.=
∴sin 4522==cos 4522==tan 45 1.a a ==
【典例精析】
例1 解：（1）cos260°+（sin60°）22
21 1.2⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）cos 452tan 4510.22sin 45-=÷-=
练一练 解：（1）原式 = 12+=
（2）原式 =2
2110.22⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 探究点2：通过三角函数值求角度
例2 解：（1）在图中，∴sin
2BC A AB ===∴∠A =45°.
（2）在图中，∵ tan α =AO BO OB ==∴ α = 60°.
练一练 解：（1）sin α α = 60°.（2）tan α =1，∴ α = 45°.
例3 解：∵ (1－tan A )2 ＋ | sin B ＝0，∴ tan A ＝1，sin B ∴ ∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴ △ABC 是锐角三角形．
练一练 1.解：∵| tan B
| ＋ (2 sin A
)2 ＝0，
∴ tan B
，sin A
，
∴ ∠B ＝60°，∠A ＝60°.
2. 解：解方程 x 2 + 2x － 3 = 0，得 x 1 = 1，x 2 = －
3. ∵ α为锐角，tan α ＞0，∴ tan α =1.∴ α = 45°.
∴ 2 sin2α + cos2
tan(α+15°)=2sin245°+cos245
°°
22
2+22⎛⎛=⨯- ⎝⎭⎝⎭3.2=-
当堂检测
1. D
2.B
3.120°
5.解：
(1)1-
(2)1- (3)2 (4)34
6. 解：过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D .∵∠A =30
°，AC =， ∴1sin 2CD A AC ==
，cos 2AD A AC ==
∴12CD =⨯=
32AD ==.
tan CD B BD ==
2.BD ∴==∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

上帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。

刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?阎王说：地狱的小。

2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。

因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。

只有做困难的事，才能推动社会发展进步。