新高考2020版高考数学二轮复习主攻36个必考点解析几何考点过关检测二十二文202001160615

考点过关检测（二十二）
1．(2019·亳州联考)已知抛物线E ：y 2
＝2px (p >0)与过点M (a,0)(a >0)的直线l 交于A ，B 两点，且总有OA ⊥OB .
(1)确定p 与a 的数量关系；
(2)若|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，求λ的取值范围．
解：(1)设l ：ty ＝x －a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，ty ＝x －a 消去x ，得y 2
－2pty －2pa ＝0. ∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－2pa ，
由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即(y 1y 2)24p 2＋y 1y 2＝0， ∴a 2－2pa ＝0.∵a >0，∴a ＝2p .
(2)由(1)可得|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|
＝2p 1＋t 2·t 2＋4.
|AM |·|MB |＝AM →·MB →＝(a －x 1)(x 2－a )－y 1y 2＝－x 1x 2＋a (x 1＋x 2)－a 2
－y 1y 2＝a ·y 2
1＋y 222p －a 2＝4p 2(1＋t 2)．
∵|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，
∴a ·2p 1＋t 2·t 2＋4＝λ·4p 2(1＋t 2)，
∴λ＝
4＋t 21＋t 2＝1＋31＋t 2. ∵t 2≥0，∴λ∈(1,2]．
故λ的取值范围为(1,2]．
2．(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：
直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．
解：(1)设椭圆M 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23
＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3
. 因为B ，C ，F 2共线，
所以k BF 2＝k CF 2，即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1
， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，
所以2k ·4m 2－124k 2＋3－(m －k )·8km 4k 2＋3
－2m ＝0，解得m ＝－4k . 所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．
因为y 21＝3－34
x 21， 所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝
⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187
. 因为－2<x 1<2，
所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－187，18. 3.如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆x 2＋y 2
4＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B 14
y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点均在抛物线上，
所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．
所以y 1＋y 2＝2y 0，因此PM 垂直于y 轴．
(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，
所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34
y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).
因此△PAB 的面积S △PAB ＝12
|PM |·|y 1－y 2|＝ 324(y 20－4x 0)32
. 因为x 20＋y 204
＝1(x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 4．已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29
＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD →＝53
MD →. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；
(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QF k PA
的取值范围． 解：(1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0.
由PD →＝53MD →，得(m －x ，－y )＝53
(0，－n )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝x ，n ＝35
y . 又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29
＝1上的点， ∴x 225＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 29
＝1，即x 2＋y 2
＝25，
故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)．
(2)依题意知A (－5,0)，B (5,0)，F (－4,0)，
设Q (x 0，y 0)，∵线段AB 为圆E 的直径，∴AP ⊥BP ，
设直线PB 的斜率为k PB ， 则k QF k PA ＝k QF －1k PB ＝－k QF k PB ＝－k QF k QB ＝－y 0x 0＋4·y 0
x 0－5＝－y 20(x 0＋4)(x 0－5) ＝－9⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2025(x 0＋4)(x 0－5)＝925(x 20－25)(x 0＋4)(x 0－5)＝925(x 0＋5)x 0＋4
＝925⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x 0＋4， ∵点P 不同于A ，B 两点且直线QF 的斜率存在，
∴－5<x 0<5且x 0≠－4，
又y ＝1x ＋4在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数， ∴925⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 0＋4∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，＋∞， 故
k QF k PA 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，＋∞.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。