第六讲--多自由度系统振动-2

解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
Y1 1
2
3
Y21
Y31
4
Y41
第二振型
1
Y22
Y2 3
Y2 4
Y12
2
3
4
第三振型
1
2
Y3 1
Y3 2
Y3 3
3
Y43
4
第四振型
Y14
1
Y24
2
Y34
3
如:
Y1k
Yk 2
m1
Ynk
m2
YY12kk
M
k
mn
Ynk
Kk Mk
均为一个数
用Y (k)T前乘（1）式：
Y (k)T
K Y (k)
Y 2
(k )T
k
M Y (k)
K k k2 Mk
k2
Mk Kk
结果与前面介绍的方法完全相同
3.3.2 主振型的正交性
[例3.8]
m k/5
由于一般: k2 l2
Y (l)T M Y (k) 0 (7) 多自由度体系
注:由于对称 K K T M M T
第一正交关系
3.3.2 主振型的正交性
把（7）式代入（3）式: 多自由度体系
Y (l)T K Y (k) 0 (8)
第二正交关系
对于l =k 时，定义： Y (k)T K Y (k) K k —广义刚度 Y (k)T M Y (k) M k —广义质量
9.601Y1(1)
Y (1) 2
1
0
2Y (1) 1
7.601Y2(1)
4
0
0.163
Y(1) 0.569
1
2 2.246
0.246Y1(2)
Y (2) 2
1
0
2Y1(2) 1.754Y2(2) 4 0
0.924
Y (2) 1.227
1
3 1.151
0.849Y1(3)
Y (3) 2
k
展开式为: 23 422 225 225 0
方程三个根为： 1 1.293 2 6.680 3 13.027
三个频率为:
k
1 0.2936 m
k
2 0.6673 m
k
3 0.9319 m
3.3.2 刚度法
4）求主振型
由振型方程： K i2 M Y(i) 0
标准化：
令：
(i)
...
1n mn
关于 的n 次方程
21m1
(22m2 ) ...
2n mn 0
1,2 , n 基
...
...
...
...
1,2 , n 频
n1m1
n2 m2
... (nnmn )
n个主振型
主振型: M i I Y(i) 0
Y (1) ,Y (2) , ,Y (n)
3.3.1 柔度法
[例3.6] 如图所示三层刚架，横梁刚度为无穷大，用 柔度法求其自振频率和主振型。
1 0 0 1 1
0.0006m 0
同理： {Y(1)}T [M ]{Y(3)} 0.002m 0,
{Y(2) }T [M ]{Y(3)} 0.0002m 0
3.3.2 主振型的正交性
[例3.9]
m k/5
m k/3
2m k
验算[例3.7]主振型的正交性。
三个主振型为：
0.163
1
0
2Y1(3) 2.849Y2(3) 4 0
2.760
Y (3) 3.342
1
3.3.1 柔度法
振动模态：
1
1
1
0.569
1.227
3.342
0.163
0.924
2.76
0.163
Y(1) 0.569
0.924
Y (2)
1.227
2.760
Y (3) 3.342
1
1
K1 y1
理解kij的 物理意义
（3）结构弹性力 Ki ki1 y1 ki2 y2 kin yn
3.3.2 刚度法
Ki的求解：
m y3
K3
k m y2 K2
k m
y1
K1
k
k31=0
3
3
2 11
k21=-k k11=2k
21 1
k32=-k k22=2k
31 2
k12=-k 1
k33=k k23=-k k13=0
nn
y1 0
mn
y2
yn
0 0
或：y My 0
3.3.1 柔度法
运动方程：y My 0 设解为：y Ysin(t )
代入得: YSin(t ) 2 MYSint 0
振动方程:
M
1
2
I
Y
0
要有非零解，得：
频率方程: M I 0
将其展开，得：
(11m1 )
12 m 2
m k/3
2m k
验算[例3.7]主振型的正交性。
解： 1）三个主振型为
0.163
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
2.760
Y(3) 3.342
1
2）验算第一正交性
{Y(1)}T [M ]{Y (2)}
00..156639T
2 0
0 1
00 01..292274 m
m2
或缩写成：
y1 k11 k12
mn
y 2
yn
k21 kn1
k22 kn2
MyK y 0
k1n y1 0
k2n knn
y 2
yn
0 0
设解为： y Ysin(t )
Y— 位移幅值向量
代入得： 2 M YSint K YSint 0
振动方程： 频率方程：
k33=k/5
k23=-k/5 k13=0
解： 1）求质量矩阵:
2 0 0 [M ] m 0 1 0
0 0 1
2）求刚度矩阵:
20 5 0
[K
]
k 15
5 0
8 3
3 3
3.3.2 刚度法
3）求频率
由频率方程：K 2 M 0
20 2 5 0
k 5
8 3 0
15
0
3 3
其中: 15m 2
K1 k11 y1 k12 y2 k13 y3 K2 k21 y1 k22 y2 k23 y3 K3 k31 y1 k32 y2 k33 y3
3.3.2 刚度法
运动方程：
my1 k11 y1 k12 y2 my2 k21 y1 k22 y2
myn kn1 y1 kn2 y2
Y 2
(l )T
k
M Y (k)
(3)
用Y (k)T前乘（2）式：Y (k)T
K Y (l)
Y 2
(k )T
l
M Y (l)
(4)
把（4）式两边转置:
Y (l)T
K Y (k)
Y 2
(l )T
l
M Y (k)
(5)
将（3）式 （5）式: (k2 l2 ) Y (l)T M Y (k) 0 (6)
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
3）验算第二正交性
0.163T 20
{Y(1)}T [K ]{Y(2)} 0.569
1
k 15
5 0
0.0003k 0
2.760
Y(3) 3.342
1
5 0 0.924 8 3 1.227 3 3 1
{Y(1)}T [K]{Y (3)} 0.001k 0 {Y(2)}T[K]{Y (3)} 0.00001k 0
nn (myn )
n
yi ij (my j ) (i 1,2, , n)
j 1
3.3.1 柔度法
m1 mi
yi
mj
mn
yj
m1 y1 mi yi
柔度系数物理意义：
i ij
写成矩阵形式：
mj yj 1
j
jj
mn yn
y1 11 12
y2
yn
21
n1
22 n2
1n m1
2n
m2
上述关系也可用另外方法导出。 第一正交关系
3.3.2 主振型的正交性
推导如下:
方程: K2 MY 0
K Y 2 M Y
设: k K Y (k) k2 M Y (k) (1)
设: l K Y (l) l2 M Y (l) (2)
用Y(l)T前乘（1）式：Y (l)T K Y (k)
3.4 多自由度体系在任意荷载作用下的强迫振动
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标 3.4.2 振型叠加法
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（1）主振型矩阵
Y(1)
YY1211
Y31
Y (2)
YYY312222
Y41
Y42
Y(3)
Y13
YY3233
Y(4)
YYY132444
Y43
Y44
主振型：
K2 MY 0
K 2 M 0
同柔度法，可得
出 n 个自振频率
K i2 M Y(i) 0 (i 1,2, ,n)
3.3.2 刚度法
[例3.7]
m k/5
m k/3
按刚度法求解。
k31=0
k21=-k/3 1
2m k
1 k11=4k/3
k32=-k/5 1
k22=8k/15 k12=-k/3
第三章 多自由度体系的振动
1. 两个自由度体系的自由振动
2. 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 3. 一般多自由度体系的自由振动 4. 多自由度体系在任意荷载作用下的强迫振动 5. 多自由度系统频率计算的近似法 6. 多自由度系统振动数值方法
3.3 一般多自由度体系的自由振动
3.3.1 柔度法 3.3.2 刚度法 3.3.3 主振型的正交性
2 0.6673
k m
3 0.9319
k m
3.3.1 柔度法
3）求主振型
由于是线性
由振型方程: M i I Y (i) 0
相关方程组 只有两个独
2 i
m
2
2
1
4 i
4
9
1 4
i
YYY1123((( iii
) ) )
0
0
0
标准化
立方程
令：
(i)
Y3
1
1 11.601
1
第一主振型
第二主振型
第三主振型
3.3.2 刚度法
基本思路: 取质点为隔离体，列力的平衡方程。
yn mn
mn yn Kn mn mn yn
Kn
yn
yi mi
mi yi
Ki mi mi yi
Ki yi
y1
m1
m1 y1
K1 m1 m1y1
（2）取质量为隔离体
（1）惯性力作用 mi yi (t) Ki 0
11 1
22 2
0
第一正交关系
写成矩阵形式:
Y11 Y21
(1)T
m1
0
Y12
(
2
)
0
m 2
Y22
0
可缩写成: Y (1)T M Y (2) 0
推广至n个自由度体系:
设 k ，对应的振型为Y (k) 设 l ，对应的振型为 Y (l)
则有: Y (k)T M Y (l) 0
多自由度体系
Y2 1
Y2 2
nYin
yi
Yi1
Yi2
nYnn yn
Yn1
Y2 n
Yn 1
Y2n
1 2
Yin
3.3.1 柔度法
基本思路: 质体动位移是由n个惯性力引起的。
m1 mi
mj
mn
yi
m1 y1 mi yi
yj
mj yj
mn yn
位移方程：
y1 11(my1) 12 (my2 ) y2 21(my1) 22 (my2)
yn n1(my1) n2 (my2 )
1n (myn ) 2n (myn)
3 13.027
5Y (3) 1
5.027Y2(3)
3
0
3Y (3) 2
10.027
0
0.163
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
2.760
Y(3) 3.342
1
3.3.2 主振型的正交性
对两个自由度体系，我们已经证明过第一正交关系：
m Y (1)Y (2) m Y (1)Y (2)
Y3
1
20 2i
5
0
5
8 i
3
0 3
YY12((ii
) )
0
3
i
1
由振型通式：
5Y(i ) 1
(8
i )Y2(i)
3
0
3Y(i ) 2
(3 i )
0
3.3.2 刚度法
1 1.293
5Y (1) 1
6.70Y2(1) 3
0
3Y2(1) 1.707 0
2 6.680
5Y1(2) 1.320Y2(2) 3 0 3Y2(2) 3.680 0
写成矩阵形式：
k1n yn 0 k2n yn 0
knn yn 0
m1