第六讲--多自由度系统振动-2
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解: 1)求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2)求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为: 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
(2)正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合:
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
Y1 1
2
3
Y21
Y31
4
Y41
第二振型
1
Y22
Y2 3
Y2 4
Y12
2
3
4
第三振型
1
2
Y3 1
Y3 2
Y3 3
3
Y43
4
第四振型
Y14
1
Y24
2
Y34
3
如:
Y1k
Yk 2
m1
Ynk
m2
YY12kk
M
k
mn
Ynk
Kk Mk
均为一个数
用Y (k)T前乘(1)式:
Y (k)T
K Y (k)
Y 2
(k )T
k
M Y (k)
K k k2 Mk
k2
Mk Kk
结果与前面介绍的方法完全相同
3.3.2 主振型的正交性
[例3.8]
m k/5
由于一般: k2 l2
Y (l)T M Y (k) 0 (7) 多自由度体系
注:由于对称 K K T M M T
第一正交关系
3.3.2 主振型的正交性
把(7)式代入(3)式: 多自由度体系
Y (l)T K Y (k) 0 (8)
第二正交关系
对于l =k 时,定义: Y (k)T K Y (k) K k —广义刚度 Y (k)T M Y (k) M k —广义质量
9.601Y1(1)
Y (1) 2
1
0
2Y (1) 1
7.601Y2(1)
4
0
0.163
Y(1) 0.569
1
2 2.246
0.246Y1(2)
Y (2) 2
1
0
2Y1(2) 1.754Y2(2) 4 0
0.924
Y (2) 1.227
1
3 1.151
0.849Y1(3)
Y (3) 2
k
展开式为: 23 422 225 225 0
方程三个根为: 1 1.293 2 6.680 3 13.027
三个频率为:
k
1 0.2936 m
k
2 0.6673 m
k
3 0.9319 m
3.3.2 刚度法
4)求主振型
由振型方程: K i2 M Y(i) 0
标准化:
令:
(i)
...
1n mn
关于 的n 次方程
21m1
(22m2 ) ...
2n mn 0
1,2 , n 基
...
...
...
...
1,2 , n 频
n1m1
n2 m2
... (nnmn )
n个主振型
主振型: M i I Y(i) 0
Y (1) ,Y (2) , ,Y (n)
3.3.1 柔度法
[例3.6] 如图所示三层刚架,横梁刚度为无穷大,用 柔度法求其自振频率和主振型。
1 0 0 1 1
0.0006m 0
同理: {Y(1)}T [M ]{Y(3)} 0.002m 0,
{Y(2) }T [M ]{Y(3)} 0.0002m 0
3.3.2 主振型的正交性
[例3.9]
m k/5
m k/3
2m k
验算[例3.7]主振型的正交性。
三个主振型为:
0.163
1
0
2Y1(3) 2.849Y2(3) 4 0
2.760
Y (3) 3.342
1
3.3.1 柔度法
振动模态:
1
1
1
0.569
1.227
3.342
0.163
0.924
2.76
0.163
Y(1) 0.569
0.924
Y (2)
1.227
2.760
Y (3) 3.342
1
1
K1 y1
理解kij的 物理意义
(3)结构弹性力 Ki ki1 y1 ki2 y2 kin yn
3.3.2 刚度法
Ki的求解:
m y3
K3
k m y2 K2
k m
y1
K1
k
k31=0
3
3
2 11
k21=-k k11=2k
21 1
k32=-k k22=2k
31 2
k12=-k 1
k33=k k23=-k k13=0
nn
y1 0
mn
y2
yn
0 0
或:y My 0
3.3.1 柔度法
运动方程:y My 0 设解为:y Ysin(t )
代入得: YSin(t ) 2 MYSint 0
振动方程:
M
1
2
I
Y
0
要有非零解,得:
频率方程: M I 0
将其展开,得:
(11m1 )
12 m 2
m k/3
2m k
验算[例3.7]主振型的正交性。
解: 1)三个主振型为
0.163
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
2.760
Y(3) 3.342
1
2)验算第一正交性
{Y(1)}T [M ]{Y (2)}
00..156639T
2 0
0 1
00 01..292274 m
m2
或缩写成:
y1 k11 k12
mn
y 2
yn
k21 kn1
k22 kn2
MyK y 0
k1n y1 0
k2n knn
y 2
yn
0 0
设解为: y Ysin(t )
Y— 位移幅值向量
代入得: 2 M YSint K YSint 0
振动方程: 频率方程:
k33=k/5
k23=-k/5 k13=0
解: 1)求质量矩阵:
2 0 0 [M ] m 0 1 0
0 0 1
2)求刚度矩阵:
20 5 0
[K
]
k 15
5 0
8 3
3 3
3.3.2 刚度法
3)求频率
由频率方程:K 2 M 0
20 2 5 0
k 5
8 3 0
15
0
3 3
其中: 15m 2
K1 k11 y1 k12 y2 k13 y3 K2 k21 y1 k22 y2 k23 y3 K3 k31 y1 k32 y2 k33 y3
3.3.2 刚度法
运动方程:
my1 k11 y1 k12 y2 my2 k21 y1 k22 y2
myn kn1 y1 kn2 y2
Y 2
(l )T
k
M Y (k)
(3)
用Y (k)T前乘(2)式:Y (k)T
K Y (l)
Y 2
(k )T
l
M Y (l)
(4)
把(4)式两边转置:
Y (l)T
K Y (k)
Y 2
(l )T
l
M Y (k)
(5)
将(3)式 (5)式: (k2 l2 ) Y (l)T M Y (k) 0 (6)
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
3)验算第二正交性
0.163T 20
{Y(1)}T [K ]{Y(2)} 0.569
1
k 15
5 0
0.0003k 0
2.760
Y(3) 3.342
1
5 0 0.924 8 3 1.227 3 3 1
{Y(1)}T [K]{Y (3)} 0.001k 0 {Y(2)}T[K]{Y (3)} 0.00001k 0
nn (myn )
n
yi ij (my j ) (i 1,2, , n)
j 1
3.3.1 柔度法
m1 mi
yi
mj
mn
yj
m1 y1 mi yi
柔度系数物理意义:
i ij
写成矩阵形式:
mj yj 1
j
jj
mn yn
y1 11 12
y2
yn
21
n1
22 n2
1n m1
2n
m2
上述关系也可用另外方法导出。 第一正交关系
3.3.2 主振型的正交性
推导如下:
方程: K2 MY 0
K Y 2 M Y
设: k K Y (k) k2 M Y (k) (1)
设: l K Y (l) l2 M Y (l) (2)
用Y(l)T前乘(1)式:Y (l)T K Y (k)
3.4 多自由度体系在任意荷载作用下的强迫振动
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标 3.4.2 振型叠加法
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
(1)主振型矩阵
Y(1)
YY1211
Y31
Y (2)
YYY312222
Y41
Y42
Y(3)
Y13
YY3233
Y(4)
YYY132444
Y43
Y44
主振型:
K2 MY 0
K 2 M 0
同柔度法,可得
出 n 个自振频率
K i2 M Y(i) 0 (i 1,2, ,n)
3.3.2 刚度法
[例3.7]
m k/5
m k/3
按刚度法求解。
k31=0
k21=-k/3 1
2m k
1 k11=4k/3
k32=-k/5 1
k22=8k/15 k12=-k/3
第三章 多自由度体系的振动
1. 两个自由度体系的自由振动
2. 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 3. 一般多自由度体系的自由振动 4. 多自由度体系在任意荷载作用下的强迫振动 5. 多自由度系统频率计算的近似法 6. 多自由度系统振动数值方法
3.3 一般多自由度体系的自由振动
3.3.1 柔度法 3.3.2 刚度法 3.3.3 主振型的正交性
2 0.6673
k m
3 0.9319
k m
3.3.1 柔度法
3)求主振型
由于是线性
由振型方程: M i I Y (i) 0
相关方程组 只有两个独
2 i
m
2
2
1
4 i
4
9
1 4
i
YYY1123((( iii
) ) )
0
0
0
标准化
立方程
令:
(i)
Y3
1
1 11.601
1
第一主振型
第二主振型
第三主振型
3.3.2 刚度法
基本思路: 取质点为隔离体,列力的平衡方程。
yn mn
mn yn Kn mn mn yn
Kn
yn
yi mi
mi yi
Ki mi mi yi
Ki yi
y1
m1
m1 y1
K1 m1 m1y1
(2)取质量为隔离体
(1)惯性力作用 mi yi (t) Ki 0
11 1
22 2
0
第一正交关系
写成矩阵形式:
Y11 Y21
(1)T
m1
0
Y12
(
2
)
0
m 2
Y22
0
可缩写成: Y (1)T M Y (2) 0
推广至n个自由度体系:
设 k ,对应的振型为Y (k) 设 l ,对应的振型为 Y (l)
则有: Y (k)T M Y (l) 0
多自由度体系
Y2 1
Y2 2
nYin
yi
Yi1
Yi2
nYnn yn
Yn1
Y2 n
Yn 1
Y2n
1 2
Yin
3.3.1 柔度法
基本思路: 质体动位移是由n个惯性力引起的。
m1 mi
mj
mn
yi
m1 y1 mi yi
yj
mj yj
mn yn
位移方程:
y1 11(my1) 12 (my2 ) y2 21(my1) 22 (my2)
yn n1(my1) n2 (my2 )
1n (myn ) 2n (myn)
3 13.027
5Y (3) 1
5.027Y2(3)
3
0
3Y (3) 2
10.027
0
0.163
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
2.760
Y(3) 3.342
1
3.3.2 主振型的正交性
对两个自由度体系,我们已经证明过第一正交关系:
m Y (1)Y (2) m Y (1)Y (2)
Y3
1
20 2i
5
0
5
8 i
3
0 3
YY12((ii
) )
0
3
i
1
由振型通式:
5Y(i ) 1
(8
i )Y2(i)
3
0
3Y(i ) 2
(3 i )
0
3.3.2 刚度法
1 1.293
5Y (1) 1
6.70Y2(1) 3
0
3Y2(1) 1.707 0
2 6.680
5Y1(2) 1.320Y2(2) 3 0 3Y2(2) 3.680 0
写成矩阵形式:
k1n yn 0 k2n yn 0
knn yn 0
m1