人教A版高中数学选修一第二章B卷答案

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
答案部分 B1
1、解析：12222PF PF a +==，∴
2221PF =-，故选D 。

2、解析：6,10c a ==，∴21003664b =-=，焦点在y 轴上，故选C 。

3、解析：此题没有交代焦点的位置，所以一定有两解，故选C 。

4、解析：点(),x y 关于x 轴的对称点为(),x y -，
关于y 轴的对称点为(),x y -，把两个对称点代入后检验可知，此题选C 。

5、解析：设椭圆的另一个焦点为2F ，则2MF x
⊥轴，故x c =代入椭圆方程可得2
b y a
=±=
33
2
23
±
=±。

故选B 。

6、解析：D 。

18AC BC AB ++=，
10CA BC AB +=>，则C 点的轨迹是以,A B
为焦点的椭圆，则方程为
()22
10259
x y y +=≠，故选D 。

7、解析：D 。

设()00,P x y ，得[]0,x a a ∈-，由焦
半径公式得：10PF a ex =+，20PF a ex =-，
222120,PF PF a e x =-∴00x =时为最大，
22x a =时最小。

选D 。

8、解析：22
1610
x y +
=。

利用待定系数法设椭圆方程为22
221x y b a +=，依题意得：22222
9251442b b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，∴
1062
a b c ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，所以椭圆的方程是221610x y +
=。

9、解析：01K <<
10、解析：5a =。

椭圆的方程可以化为：
22
162x y a
+=，而焦点的坐标为()0,2，所以264a -=，∴5a =。

11、解析：最大值是4。

由条件得：
3
1,2c b e a ==≤，∴223,4
c a ≤∴()22413a a -≤，
∴24a ≤。

∴02a <≤。

12、解析：22
11216
x y +
=，椭圆。

设(),P x y ，由题意得：
()2
221
8
2
x y y ++=
+，化简可得：22
11216
x y +=。

13、解析：2
2
e =。

设椭圆的方程为：22
22
1(0)x y a b a b +=>>，∵PF x ⊥轴，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，()(),0,0,A a B b ，∴2
OP b k ac =-，
AB
b
k a =-，
又O P A B ，∴2b b a ac -=-，∴b c =，∴2
2
e =。

14、解析：3,
24
ππ
α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭。

椭圆的方程可以写成22
111
sin cos x y αα+=-
，∵椭圆的焦点在y 轴上，∴110cos sin αα-
>>，解得3,24
ππ
α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭。

15、解析：
()22
103627x y y +=≠。

设点C 的坐标为(,)x y ，则4
669
A C
B
C y y k k x x =
=-+-，化简得
()22
103627
x y y +=≠。

16、解析：由题设得：()()()2
222c a b =，∴
2422
,,
c ab c a b ==又
222
a b c =+，∴
()42
2
2
c a
a c =
-，展开后等式两边同除以4a 得：
4
2
1e e =-，即4
2
10e e +-=，∴2
15
2
e -±=
，即2
51
2e -=，∴51
2
e -=。

17、解析：最大距离是1。

5288810km ⨯，最小值
是81.471210km ⨯
18、解析：（略）
19、解析：如图所示，由题意知椭圆在y 轴的右侧，设(),P x y 为椭圆左顶点，()00,F x y 为椭圆的左焦点，由
PF e d =，∴01
2
x x x -=，∴032x x =
，∴3,2F x y ⎛⎫
⎪⎝⎭。

又∵点()1,2M 在椭圆上，即有
PF
e d
=，∴()2
23122112
x y ⎛⎫
-+- ⎪
⎝⎭
=，∴
()2
2311224x y ⎛⎫
-+-= ⎪
⎝⎭
为所求。

20、解析：方程可化为：2
2
15y x k
+=，∵焦点(0,2)在y 轴上，∴22
5,1a b k
=
=，∴2224c a b =-=，∴1k =，故选B 。

21、解析：12PF F ∆是直角三角形，又12F PF ∠的最大角小于090，故12F PF ∠不可能是直角，故
112PF F F ⊥，故P 点到x 轴的距离为
29
4
P b y a ==。

故选D 。

B2
1．解析：先将双曲线化为22
1164y x -=，∴
4,2a b ==，∴选D 。

2．解析：()()222314c m m =++-=。

∴2c =，
∴24c =。

故选B 。

3．解析：双曲线22169144x y -=-的渐近线的方
程为2
2
1690x y ±=，故选C 。

4．解析：设所求双曲线方程为
222(0)x y λλ-=≠，把点()2,2-的坐标代入即可
得。

选A 。

5．解析：题中的双曲线是等轴双曲线，故选A 。

6．解析：22
36a b +=，又a b =，∴32a b ==，
故选B 。

7．解析：由于要方程22
152
x y k k -=--的图形是双
曲线，只要()5k -与
()2k -同号即可，∴
()()520k k -->，即5020k k ->⎧⎪⎨->⎪⎩或5020
k k -<⎧⎪⎨
-<⎪⎩，解得：5k >或22k -<<。

选B 。

8．解析：由切线长定理知：设在x 轴上的切点为N ，则
12122PF PF F N F N a
-=-=，而
122F N F N c -=，
故
1
F N a c
=+，2F N a c =-，∴N 点为实轴的端点，故选A 。

9．解析：2
3a =，2
b m =，2
3c m =+，
∴22
2c e a
=，即2
3234
333m ⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭
，∴1m =。

10．解析：双曲线可化为22
12516
y x -=，225a =，
∴5a =，216b =，∴4b =，∴241c =，∴焦点的坐标为()
0,41±，∴离心率为41
5
e =，渐近线的方程为5
4
y x =±。

11．解析：5
4c a =，2b =，∴2242516a a +=，∴
2
64
9
a =
，∴所求的双曲线的方程为2291644x y -=。

12．解析：设点(),A x y ，
664
9
AC BC y y k k x x -+=
=，化简得顶点A 的轨迹
方程为：
22
1(0)3681
y x x -=≠。

13．解析：（1）右焦点2F 的坐标为()2,0，∴直
线AB 的方程为()323y x =
-，把()
3
23
y x =-代入2
2
13
y x -=并整理得：284130x x +-=。

∴2
2164813
1883
AB k ∆+⨯⨯=+=
3=。

（2）由方程284130x x +-=得：
1213
8
x x =-
0<，∴,A B 两点在双曲线的两支上，不妨设10x <，∴
1112
AF BF a ex a ex +=+++()()12a ex a ex =-+++()21e x x =-21
2x x =-164813
2338
+⨯⨯=⨯
=。

∴1ABF ∆的周长是
11333AB AF BF ++=+。

14．解析：（1）设所求的双曲线方程为：
2
2
2(0)4
y x k k -=>，则2222,4a k b k ==，∴
5c k =，则焦点到相应准线的距离是
22445
55b k c k
==
，∴1k =，故双曲线的方程是22
14
y x -=。

（2）()
2115y x =±-。

15．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平
分线为y 轴，建立直角坐标系，设M 是分界线上的点，则有MA PA MB PB +=+，于是有
15010050MA MB PB PA -=-=-=，这说
明这条分界线是以,A B 为焦点的双曲线的右支，在
APB ∆中，由余弦定理得：
2
2
2
2cos60AB AP PB AP PB =+-17500=，从而25a =，2
243754
AB
c =
=，2223750b c a =-=，所以所求分界线方程为
22
1(25)6253750
x y x -=≥，于是运士时，将此双曲线左侧的士沿AP 运到P 点，右侧的士沿BP 运到P 点最省工。

16．解析：椭圆的焦点为()10,3F -，()20,3F ，椭
圆与双曲线的一个交点是(
)
15,4A
代入，得
1516
12736λλ
+=--，解之得32λ=或0λ=（舍
去），所以所求的双曲线的方程是22
145
y x
-=。

17．解析：双曲线22
11122
x y -
=，半焦距为2c =，离心率为2c
e a
=
=。

又因为椭圆与双曲线共焦点，且椭圆的中心在原点，∴椭圆的左焦点为
()1,0-，中心为()0,0，设椭圆的方程为
22
221(0)x y a b a b +=>>，其中1c =，∵112c e a a
=
==，∴2a =，∴2221b a c =-=，∴椭圆的方程为2
212
x y +=。

18．解析：∵3
sin sin sin 5
B C A -=，由正弦定理
得：3
65
AC AB BC -==，∴A 点的轨迹是以
,B C 为焦点的双曲线的右支。

∴顶点A 的轨迹方程为
22
1(3)916
x y x -=<-。

19．解析：（1）由已知得2e =，渐近线方程为
y x =±。

（2）设()00,P x y ，则22200x y a -=，
又()(
)
12
2,0,2,0F a F a -，∴
()
2
2
12002PF PF x a y =
++()
2
2
02x a y -
+22220000
222222x a ax x a ax =+++-0022x a
x a =
+-22
02x a =-
2
2200x y PO =+=。

（3）设垂足分别为,Q R ，
则由点到直线的距离公式知00
2
x y PQ -=
，
00
2
x y PR +=，∴
2220011
22
PQOR
S PQ PR x y a ==-=（为定值）。

20．解析：13125
1313
e +=
=
，由第二定义，P 到右准线的距离为
1313
5513
PF e ==，故选A 。

21．解析：设双曲线的方程为：
22221(0,0)x y a b a b -=>>，则1
2b a =，不妨设()2,,0a k b k k ==>，55
5,22
k c k e k ===，故选C 。

22．解析：（1）将直线l 的方程代入双曲线C 的方程
2221
x y -=后，整理得：
()2
22220k x kx -++=---①，依题意，直线与双
曲线2
2
:21C x y -=的右支交于不同两点,A B ，∴
222
22
20(2)8(2)020
22
02k k k k
k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩
，解得k 的取值范围是22k -<<-，（2）设,A B 两点的坐标分别是
1122(,),(,)
x y x y ，
则
由
①
式
得
122
1222222k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪-⎨
⎪=
⎪-⎩
----②，假设存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线右焦点(),0F c ，则由FA FB ⊥得
()()12120
x c x c y y --+=，即
()(
)()()1212
1
10x c x c k x k x --+
++
=
------③，整
理
得
：
()()()2
21212110k
x x k c x x c ++-+++=，
把②式及62
c =
代入③式化简得2
52660k k +-=，解得665k +=-
或665k -=-，又66
5
k -=-不符合()
2,2k ∈--，所以舍去。

可知66
5
k +=-
可使得以线段AB 为直径的圆过双曲线的右焦点。

B3
1．解析：由
52
p
=，得10p =，且焦点在y 轴的上半轴上，故2
20x y =，故选B 。

2．解析：设圆心的坐标为2,2m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即圆心在抛物线2
2y x =上，且圆与x 轴及抛物线的准线相切，
则
2122m m +=，∴1m =±，即圆心1,12⎛⎫
± ⎪⎝⎭
，故选D 。

3．解析：OA OB =，,A B 两点的坐标分别为
()00,A x y ，()00,B x y -，满足1FA OB k k =-，即
00012y y p x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
-，∴2000002(0,0)2p y x x px x p ⎛
⎫=-=>> ⎪⎝
⎭，∴
052x p =
，∴直线AB 的方程为5
2
x p =。

4．解析：建立适当的坐标系，求出抛物线的方程，
光源到反光镜的顶点的距离即为2
p
，选B
5．解析：方程为21x y a =
1y a --，即1
2p a
=
-，(0)p >，则焦点0,2p F ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭10,4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，准线的方
程为1
4y a
=-
，故选C 。

6．解析：由抛物线的定义知：11AA AF
BB BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，且
1AA x 轴1BB ，由平面几何知识，可求得
01190A FB ∠=（也可通过设点的坐标，证明111A F FB k k =-），故选A 。

7．解析：取特殊位置验证即可知：选D 。

8．解析：设直线方程1x my =+，代入抛物线方程
得2
440y my --=，
()26A B A B x x m y y +=++=，∴1m =±，则
1k =±。

9．解析：中心为()0,0，左准线为25
3
x =-
，抛物线方程为21003y x =
，右准线为25
3
x =
，代入得503y =±，∴100
3
AB =。

10．解析：（1）化圆的方程为()2
224x y -+=，
可知()2,0F 是圆心，2r =，即知2p =，则抛物线的方程为2
4y x =。

（2）由焦点弦的公式
22sin p
AB θ
=
，则2AB CD AF FB r
+=+-22
88
446sin 25θ=
-=-=⎛⎫
⎪⎝⎭。

11．解析：设112(,),(,)A x y B x y ，则2211222,2y px y px ==，∵O A O B ⊥
，∴
1212
0x x y y +=，
∴
()222
121
44y y p x x p y y ==-，∴2124y y p =-
为定值，2
12124x x y y p =-=也为定值。

（2）∵
()2212122y y p x x -=-，∴
121212
2y y p
x x y y -=
-+，∴直线AB 为：()12
22p
y x p y y =-+过定点()2,0p 。

12．解析：由抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，P 到准线的距离为
02p y +，∴P 点到焦点的距离为02
p y +。

13．解析：圆()2
231x y -+=的圆心为()3,0A ，
1
PQ AQ AP AQ ≥-=-，∵
()2
2
2511
324AQ x y x ⎛
⎫=-+=-+
⎪⎝⎭
112≥。

∴PQ 的最小值为
11
12
-。

14．解析：（1）设直线y x a =-，代入抛物线
22y px =，得()2
2x a px -=，∴22220x ax a px -+-=，即
()22220x a p x a -++=，∴()822AB p p a p =+≤，即
()20824p p a p <+≤，又∵0p >，∴
24
p p
a -
<≤-。

（2）设直线AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为11(,)x y ，则由中点的坐标公
式得：11,x a p y p =+=，∴
()()222
202QM a p a p p =+-+-=。

又MNQ ∆为等腰三角形，∴2QN QM p ==，
∴2122222
NAB S AB QN p p ∆=
==，即NAB ∆的最大面积为22p 。

15．解析：设两端点为1122(,),(,)x y x y ，则
2118y x =-，2228y x =-，两式相减得
()
1212128y y y y x x -+=--，把12
12
y y +=代入得
4k =-，经检验知其适合题意。

16．解析：设抛物线的方程为()2
0y ax a =≠，把
21y x =+代入得()24410x a x +-+=，由弦长公式计算得2a =或4a =-时的弦长为15，∴所求
抛物线方程为2
12y x =或2
4y x =-。

17．解析：设M 到准线的距离为d ，则
M A M F M A d +=+，∴MA MF +取最小值
时，点M 的纵坐标为2-，所以点M 的坐标为
1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭。

18．解析：设两个端点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，
则2
11222,2y x y x ==，两式相减得：
()
1212122y y y y x x -+=-，把22
2
y y y +=，
12120(2)
y y y x x x --=---代入后化简得：弦中点的轨迹的
方程为：2
2
2(2)y x y x =+<。

19．解析：（1）
()()2
2
2
22PA x a y x a x
=-+=-+()2
121x a a =--+-⎡⎤⎣⎦，∴
21(1)()(1)a a f a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，（2）当113a ≤<时，
1(),13f a a ⎡⎫
=∈⎪⎢⎣⎭
；当15a ≤≤，
[]()211,3f a a =-∈，∴1
53a ≤≤时，
1(),33f a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴()f a 的最大值为3，最小值为
13。

20．解析：根据已知条件，求出双曲线的方程，进
而求出交点的坐标。

依题意，设双曲线的方程为
22221(0,0)x y a b a b -=>>，21a c =，3c
a
=，解得3,3,a c ==2226b c a =-=，∴双曲线的方程
为2
2
136x y -=，由22
21364x y y x
⎧-=⎪⎨⎪=⎩
得3
23x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以交点()
3,23P 到原点的距离为
223(23)21OP =+=。

故选B 。

21．解析：（略）
22．解析：（1）当2p y =
时，8
p
x =，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2
p
x =-，由抛物线
的定义得：所求距离为
5828
p p p
⎛⎫--=
⎪⎝⎭。

（2）设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由
221100
2,2y px y px ==，两式相减得()()()
1010102y y y y p x x -+=-。

故
10101010
2()PA y y p
k x x x x y y -=
=≠-+，同理可得
2020
2()PB p
k x x y y =
≠+，由PA 与PB 的斜率存在
且倾斜角互补知：PA PB k k =-，即
1020
22p p
y y y y
=-
++，∴120
2y y y +=-，故12
02y y y +=-，设直线AB 的斜率为AB k ，由221122
2,2y px y px ==，
两式相
减得
()()()
2121212y y y y p x x -+=-，∴21122112
2()AB y y p
k x x x x y y -=
=≠-+，
将
122y y y +=-代入得120
2AB p p
k y y y =
=-+，所以
AB k 为非零常数。

B4
1．解析：2
23,22,2,6a a b c c
====。

故选B 。

2．解析：22544a c c +=+414
=，故选C 。

3．解析：焦点在y 轴的负半轴上，4p =。

故选B 。

4．解析：4,3,a b ==∴5c =，54
e =。

5．解析：画出图形，观察可得：F 是左焦点，同l
是左准线，由椭圆的第二定义知：PF
e PD =，又
QF BF ⊥，∴Q 到l 的距离
6．解析：所求的抛物线为2(0)y ax a =≠---①，
直线方程变形为21y x =+----②，设抛物线截直线所得的弦长为AB ，把②代入①，整理得：
()24410x a x +-+=，则AB =2
2
412444a z -⎛⎫
+-⨯ ⎪
⎝⎭
15=，解得：12a =或4a =-。

7．解析：2,1,5a b c ===，285
25a c ⨯=，故
填85
5。

8．解析：右焦点()
23,0，左准线为23
3
x =-
，填83
3。

9．解析：双曲线为
22121y x m m -=--，∴22
a m =-，21
b m =-
，且0m <，∴3c m -=，解得43
m =-。

10．解析：∵
()()
1200m PF PF a ex a ex ==+-2
016252525
x =-
≤。

∴m 最大时P 点的坐标为()0,3±。

11．解析：∵2350
,53
c a a c ==，∴10,6a c ==，
∴8b =，∴准线的方程为50
3
x =。

12．解析：
()2
221
8
2
x y y ++=
+，化简得22
11216
x y +=，轨迹为椭圆。

13．解析：∵1020,PF a ex PF a ex =+=-，
()()()()
2
2
20012004cos 2a ex a ex c F PF a ex a ex ++--∠=
+-0<，
解得：03535
55
x -
<<。

14．解析：设d 为M 到右准线的距离，过M 作准线的垂线，垂足为'M ，∵12
c e a =
=，112
2MF MF
d d ===，即2d M F =，故
'
2
M P M F P M
M M
+=
+为最小，显然，当',,P M M 三点共线时为最小，从而求得
26,13M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭。

15．解析：设弦AB 中点为(,)M x y ，并设
1122(,),(,)A x y B x y ，则由题意得：
2112
22
1212
2222y px y px x x x y y y ⎧=⎪=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩，①-②得：()2212122y y p x x -=-，∴
12121
y y x x y
-=-，又12121
2y y y x x x --=--，∴
112y x y
-=-，即22y y x -=-，∴弦AB 中点的轨迹方程为
2
1724y x ⎛
⎫-=- ⎪
⎝
⎭。

16．解析：联立22
14
y kx x y =-⎧⎨-=⎩消去y 得方程：()2
2
1250k x
kx -+-=，
由题意，这个方程有两个不等的正根，∴()2
2
2
2420102015
01k k k
k k
⎧+->⎪⎪
⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，即55
2211011
k k k k k ⎧-<<⎪⎪⎪
>-<<⎨⎪><-⎪⎪⎩
或或，解得：512k <<。

17．解析：由题意，24a =，23b =，∴21c =，
1
2
e =
，左准线的方程是4x =-，假设存在满足条件的点(),M x y ，则1M F eM N ==()1
42
x +，∴
211
222MF a MF x =-=-。

由
2
12MN MF MF =得
()
()2
1144222x x x ⎛⎫
+=
+-
⎪⎝⎭
，解得14x =-，212
5
x =-，∵22143x y +
=上所有点的横坐标满足22x -≤≤，但是[]42,2-∉-，[]12
2,25
-
∉-，故不存在点M ，使2
12MN MF MF =。

18．解析：∵OA OB ⊥，∴应该将1OA OB k k =-坐
标化，再结合韦达定理来求解。

（1）由22
1
31
y ax x y =+⎧⎨
-=⎩消去y 得：()
223220a x ax ---=，依题意得：
230
a ⎧-≠⎨
∆>⎩，即66,3a a -<<≠±且。

（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则122
1222323a x x a x x a ⎧
+=⎪⎪-⎨-⎪=
⎪-⎩
，∵以
AB 为直径的圆过原点，∴OA OB ⊥，∴
12120x x y y +=，即()()1212110x x ax ax +++=，
即()
()21212110a x x a x x ++++=，∴
()2
222211033a
a a a a +++=--，∴1a =±，满
足2030a ∆>-≠和。

19．解析：当0k =时，显然不成立，∴当0k ≠时，
由l AB ⊥，可设直线AB 的方程为1
y x b k
=-+，
代入2
2
13
y x -=中得：()()2
2
2
2
31230k
x kbx b k -+-+=，显然
2310k -≠，∴
()()()2222
243130kb k b k ⎡⎤∆=---+>⎣⎦
，即222310k b k +->-----①，由根与系数的关
系，得中点()00,M x y 的坐标：022
0231
331kb x k k b y k -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，∵()00,M x y 在直线l 上，∴
2222
343131
k b k b k k -=+--，即22
31k b k =-----②，把②代入①式得：2220k b k b +>，解得：
01b b ><-或。

∴2222
3131
01k k k k
--><-或，即31
032
k k k >
<≠或且。

∴k 的取值范围是3311,,,00,3322⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+∞-∞-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭。

20．解析：画出草图，设2ABF ∆的边长为t ，则有12322F F c t ==
，12322
AF AF a t +==，则23
23
c e a =
=。

21．解析：直线l 关于原点的对称直线为
'
:220l x y +-=，它与椭圆2
2
14
y x +=的交点为
()()0,2,1,0A B ，∴5AB =，由题意可知P 到
AB 的距离55
d =
，设过P 点且与'l 平行且与距'l 的距离为
5
5
的直线只有一条，所以点P 有两个。