《一元二次方程的根与系数的关系》教案

21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系

教学内容

由一元二次方程的求根公式推导一元二次方程根与系数的关系，并用根与系数的关系求方程另一根及字母系数的值及一些代数式的值等运用．

教学目标

1．知识与技能：会用求根公式推导根与系数的关系，并利用它不解方程，解决一些与方程的根有关的问题．

2．过程与方法：不解方程，直接用根与系数的关系求方程的另一根，及有关x 1、x 2的对称式的代数式的值．

教学重难点

熟练用求根公式，不解方程而直接解决与方程的根有关的问题． 教学过程

一、教师导学

问题：方程x 2＋x －6＝0的两个根．x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0)的两个根x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．

二、合作与探究

由上面的问题可知，x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，两根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．

分析：∵x 1＝－b ＋b 2－4ac

2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，∴x 1＋x 2＝－b

a

，

x 1x 2＝c a

这就是一元二次方程根与系数的关系． 【例1】若x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值：

(1)1x 1＋1x 2

(2)x 21＋x 22 (3)(x 1－x 2)2 (4)(x 1＋1)(x 2＋1)

分析：利用根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，再将所有式子用x 1＋x 2，x 1x 2表示，再整体代入求解即可．

解：略．

【例2】已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两实根

为α，β，且1α＋1β＝－1，求m 的值．

分析：1α＋1β＝α＋βαβ，由根与系数关系代入求出m 的值，但是m 的值必须满足一元二次方程有两实根，即满足Δ＝b 2－4ac ≥0.

解：m ＝3.

三、巩固练习

1．已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝__12

__． 2．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和

是29

4

，求m的值．

解：m1＝－11(舍去)，m2＝3.

3．关于x的方程x2－23x＋m＝0的一个根为3＋1，求方程的另

一根，及m的值．

解：另一根为3－1，m＝2.

四、能力展示

已知x1，x2是关于x的方程x2＋(2a－1)x＋a2＝0的两个实数根，且(x1＋2)(x2＋2)＝11，求a的值．

解：a1＝5(舍去)，a2＝－1.

五、总结提升

本节课应掌握不解方程，利用根与系数的关系解决关于x1＋x2与x1x2有关代数式值的问题或求方程的根或字母系数的值．

六、布置作业

教材P16练习