高考数学圆锥曲线总复习教案

九、解析几何（2）
三、椭圆
1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
四、双曲线
1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
2、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
五、抛物线
1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
2关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，
1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴221212,;4p x x y y p ==- ⑵2
2;sin p
AB θ= ⑸112.||||FA FB P
+= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为
2
π
； 3、过抛物线的焦点，作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．
六、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02
=++c bx ax 。

①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若0≠a ，设ac b 42
-=∆。

a.0>∆时，直线和圆锥曲线有两个公共点，相交。

b.0=∆时，直线和圆锥曲线有一个公共点，相切。

c.0<∆时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

2.弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线()
k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，
()22y ,x B 时，则AB =2k 1+21x x -=2
k 1+()2
12214x x x x -+
七、模拟题练习
7.1双曲线 7.1.1双曲线的性质
6.（15顺义一理）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2
，则其渐近线方程为
.2A y x =± .4B y x =± 1.2C y x =± 1
.4
D x ±
6．（15朝阳二理）已知双曲线与抛物线
有一个公共
的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ．若
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
12．（15海淀二理）若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是 .
10．（15西城二理）双曲线C ：22
184
x y -=的离心率为____；渐近线的方程为________.
2．（15房山一理）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ） A ．4
B ．2
C ．
12
D ．
14
12．（15东城二理）若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段
长为b ，则a = ．
7.1.2求双曲线的方程
3．（15丰台一理）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是y ，
它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为
(A)
22
126x y -= (B)
22
162
x y -= (C)
2
2
13y x -= (D) 2
213
x y -= 10．（15西城一理）已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点是抛物线28y x
=的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.
7.2抛物线
2．（15海淀一理）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） （A ）4
（B ）2 （C ）1 （D ）
12
8．（15西城一理）已知抛物线214y x =
和21516
y x =-+所围成的封
闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是（ ） 2．（15朝阳一理）已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =（ ）
A.
B. 2
C. D. 4
8．（15丰台二理）抛物线24y x =焦点为F ，经F 的直线与抛物线在x 轴上方相交于
点A ，与准线l 交于点B ，且A K l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是（ ）
(A)
4
(B)
(C) (D) 8
19.（15房山一理）（本小题共14分）
动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为
2
1
. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.
（A ）(1,3) （B ）(2,4) （C ）3
(,3)2
（D ）5(,4)2
7.3椭圆
7.3.1求证
19．（15东城一理）（本小题共13分） 在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等． （Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．
证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．
19．（15海淀二理）（本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C
的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点. （Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M N 。

.求证：∠MQN 为定值.
19．（15西城二理）（本小题满分14分）
设1F ，2F 分别为椭圆22
22 + 1(0)x y E a b a b
=>>：
的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.
（Ⅰ）若椭圆E E 的方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ
为直径的圆经过点1F ，证明：||OP > 19．（15东城二理）（本小题共13分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2
，且椭圆C 上的点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，
过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．
19.（15昌平二理）（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
221(0)+=>>x y a b a b
，右焦点F
，点D 在椭圆上.
（I ）求椭圆C 的标准方程；
(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点.
（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12
PA PB k k ⋅=-
; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相
交于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.
7.3.2求
19.（15丰台一理）（本小题共14分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为，右顶点A 是抛物线28y x =的焦
点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．
7.3.3求最大、最小值
19.（15朝阳一理）（本小题满分14分）
已知椭圆的一个焦点，离心率
过焦点的直线
与椭圆交于两点，的中点为，O 为坐标原点，过O 、D 的直线交椭圆
于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
19.（15顺义一理）（本小题满分14分） 已知椭圆223412.C x y +=： （I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ，求四边形ABMN 的面积的最大值.
2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)F 3F l C AB AB D ,M N C AMBN
7.3.4求存在性
19．（15海淀一理）（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>过点(0,1)-
，且离心率e =.
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：
①点A 在直线2y =上； ②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1. 如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.
19．（15西城一理）（本小题满分14分）
设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点，点在椭圆E 上，且
点P 和1F 关于点对称.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过右焦点2F 的直线与椭圆相交于，两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.
19．（15石景山一理）（本小题满分14分）
已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b +=>>
离心率2
e =，
短轴长为
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关），请证明你的结论．
)23,1(P )4
3
,0(C l A B
19.（15延庆一理）（本小题满分14分） 已知椭圆G
，其短轴的两端点分别为(01),(01)A B -，，. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线
,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .试判断以MN 为直径的圆是
否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
18．（15朝阳二理）（本小题共13分） 已知点M 为椭圆
的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点（均异
于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为
14
．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；
（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．
19．（15丰台二理）（本小题共14分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三
角形的三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，
N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果
存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．。