数列存在性问题的分析与解答教案

数列存在性问题的分析与解答教案
1.问题呈现
题目：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S +=
*()n ∈N . （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在非零整数λ
，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<L 一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
2.分析与解答
分析：第（1）问根据数列通项()12n n n a S S n -=-≥很容易求出；关键是第（2）问中根据第（1）问的结论2n a n =，可得11
cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，则可考虑分离参数λ，
令n b =
n b 的单调性以确定n b 的最值.最后，
需要考虑n 为奇数和偶数进行分类讨论. 解（1）由(2)4
n n n a a S +=. 当1n =时，1111(2)4a a a S +==
，解得12a =或10a =（舍去）． 当2n ≥时， 由111(2)(2)44
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=
-22112()n n n n a a a a --⇒-=+， ∵0n a >，∴10n n a a -+≠，则12n n a a --=， ∴{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，故2n a n =．
（2）由2n a n =，得11
cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，
设n b =1(1)n n b λ+-<
. 1n n b b +===
1=>，
∵0n b >，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增.
假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)
n n b λ+-<对一切*n ∈N 都成立，则
① 当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；
② 当n 为偶数时，得min 2()n b b λ-<==λ>.
综上，(λ∈，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件． 3.题后反思 针对这类数列的存在性问题，往往需要进行分类参数并构造数列，判断数列的单调性可用比商法或作差法，题目中出现三角函数往往要考虑其周期性，涉及()1n -往往需要对n 为奇数和偶数进行分类讨论.。