2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级(上)期中数学试题及答案解析

2021-2022学年河南省三门峡市陕州区九年级（上）期中数学试
卷
1.下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知1是关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是( )
A. 1
B. −1
C. 0
D. 无法确定
3.若A(a,b)，B(a2,c)两点均在函数y=(x−1)2−2019的图象上，且1≤a<2，则b与c的
大小关系为( )
A. b<c
B. b≤c
C. b>c
D. b≥c
4.方程x2+x−12=0的两个根为( )
A. x1=−2，x2=6
B. x1=−6，x2=2
C. x1=−3，x2=4
D. x1=−4，x2=3
5.用配方法解方程x2−6x−8=0时，配方结果正确的是( )
A. (x−3)2=17
B. (x−3)2=14
C. (x−6)2=44
D. (x−3)2=1
6.下列关于二次函数y=ax2−2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是( )
A. 没有交点
B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
7.关于抛物线y=−2(x−1)2说法正确的是( )
A. 顶点坐标为(−2,1)
B. 当x<1时，y随x的增大而增大
C. 当x=0时，y有最大值1
D. 抛物线的对称轴为直线x=−2
8.如图，AB为⊙O的切线，切点为A.连结AO，BO，BO与⊙O交于点
C，延长BO与⊙O交于点D，连结AD.若∠ABC=36°，则∠ADC的度数
为( )
A. 27°
B. 32°
C. 36°
D. 54°
9.若A(−3,y1)、B(−2,y2)、C(−4,y3)为二次函数y=(x+2)2−1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y2<y1<y3
B. y2<y3<y l
C. y3<y l<y2
D. y l<y3<y2
10.下列命题中，真命题的个数是( )
①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
11.一元二次方程x(x−1)=2(1−x)的一般形式是______．
12.方程x(x−5)=2x的根是______．
13.抛物线y=x2−6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是______．
14.方程2x2+3x−1=0的两个根为x1、x2，则1
x1+1
x2
的值等于______．
15.二次函数y=−2x2+1的图象的顶点坐标为______ ．
16.(1)抛物线的顶点为(−1,−5)，且过点(2,−17)，求它的函数解析式．
(2)已知关于x的方程(k+1)x k2+1+(k−3)x−1=0．
①当k取何值时，它是一元一次方程？
②当k取何值时，它是一元二次方程？
17.如图，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
18.平面直角坐标系中，点A(2,9)、B(2,3)、C(3,2)、D(9,2)在⊙P上．
(1)在图中清晰标出点P的位置；
(2)点P的坐标是______ ．
19.为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
20.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
(1)如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；
(2)如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
21.如图，已知矩形OABC的顶点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，二次函数y=−2
5x²+8
5
x+
2的图象经过点B和点C．
(1)求点A的坐标；
(2)结合函数的图象，探索当y≥0时x的取值范围．
22.毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
(2)如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
23.根据三门峡市统计局发布的2011年三门峡市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①，2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②，根据图中信息回答下列问题：
(1)图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是多少度，乡村消费品销售额为多少亿元；
(2)2010年到2011年间，批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是______；
(3)预计2013年我市的社会消费品总销售额到达504亿元，求我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得：(m−1)+1+1=0，
解得：m=−1．
故选：B．
把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵函数y=(x−1)2−2019，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
∵1≤a<2，
∴a2−a=a(a−1)≥0
∴a2≥a，
∴b≤c．
故选：B．
先根据二次函数的解析式判断出函数图象开口方向和对称轴，再由二次函数的性质进行判断即可．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是将x2+x−12分解成(x+4)(x−3)．
本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记因式分解法解一元二次方程的一般步骤是关键．
【解答】
解：x2+x−12=0，
∴(x+4)(x−3)=0，
则x+4=0，或x−3=0，
解得：x1=−4，x2=3．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】
解：∵x2−6x−8=0
∴x2−6x=8
∴x2−6x+9=8+9
∴(x−3)2=17
故选：A
6.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．
【解答】解：当y=0时，ax2−2ax+1=0，
∵a>1，
∴△=(−2a)2−4a=4a(a−1)>0，
∴方程ax2−2ax+1=0有两个不相等的实数根，即函数y=ax2−2ax+1与x轴有两个交点，
又x1=2a+√4a(a−1)
2a >0，x2=2a−√4a(a−1)
2a
=1−√a(a−1)
a
>0，
∴两个交点都在y轴右侧，
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：A，抛物线的顶点坐标是(1,0)，故错误．
B，由于开口方向向下，对称轴为x=1，x<1时y随x的增大而增大，故正确；
C，由于开口方向向下，顶点坐标是(1,0)，所以当x=1时，y有最大值0，故错误；
D，抛物线的对称轴是x=1，故错误；
故选：B．
抛物线y=−2(x−1)2，开口方向由a的大小判定，a<0，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线．
本题考查的是二次函数的性质，需掌握对称轴及顶点坐标的求法．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB为⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAB=90°，
∵∠ABC=36°，
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠ABC=54°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADC，
∵∠AOB=∠ADC+∠OAD=2∠ADC=54°，
∴∠ADC=27°，
故选：A．
根据切线的性质求出∠OAB=90°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出即可．
本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠OAB=90°是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=(x+2)2−1，
∴开口向上，对称轴为x=−2，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
因为−4<−3<−2，故y2<y1，
于是y2<y1<y3．
故选：A．
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=−2，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，即可判断．本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
10.【答案】D
【解析】解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；
真命题有1个，
故选：D．
利用圆的有关性质和定义进行逐一判断即可得到正确的答案．
本题考查了命题与定理的知识，解决本题的关键是了解圆的有关性质及定义．
11.【答案】x2+x−2=0
【解析】，解：x(x−1)=2(1−x)，
x2−x=2−2x，
x2−x+2x−2=0，
x2+x−2=0，
故答案为：x2+x−2=0．
去括号，移项，合并同类项，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键．
12.【答案】x1=0，x2=7
【解析】解：将方程x(x−5)=2x整理成一般式得：x2−7x=0，
则x(x−7)=0，
∴x=0或x−7=0，
解得：x1=0，x2=7，
故答案为：x1=0，x2=7．
将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
13.【答案】y=(x−1)2−1
【解析】解：y=x2−6x+5=(x−3)2−4，即抛物线的顶点坐标为(3,−4)，
把点(3,−4)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点的坐标为(1,−1)，
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x−1)2−1．
故答案是：y=(x−1)2−1．
先把y=x2−6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为(3,−4)，再把点(3,−4)向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,−2)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+
x 2=−b a
，x 1x 2=c a ． 先根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−32，x 1x 2=−12，再通分得到1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：根据题意得x 1+x 2=−32，x 1x 2=−12，
所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−32−12=3．
故答案为3．
15.【答案】(0,1)
【解析】解：∵y =−2x 2+1，
∴其图象关于y 轴对称，
∴其顶点坐标为(0,1)．
故答案为：(0,1)．
根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称，可得出其顶点坐标．
本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y =ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键．
16.【答案】解：(1)设 y =a(x +1)2−5，
将点(2,−17)代入得−17=a(2+1)2−5，
解得 a =−43，
所以 y =−43
(x +1)2−5； (2)①由关于x 的(k +1)x k
2+1+(k −3)x −1=0一元一次方程，得：{k +1=0k −3≠0
或{k 2+1=1k +1+k −3≠0， 解得：k =−1或k =0，
∴当k =−1或k =0时，关于x 的(k +1)x k
2+1+(k −3)x −1=0的方程是一元一次方程； ②由关于x 的(k +1)x k
2+1+(k −3)x −1=0一元二次方程，得{k 2+1=2k +1≠0， 解得：k =1，
当k =1时，关于x 的(k +1)x k 2+1+(k −3)x −1=0的方程是一元二次方程．
【解析】(1)设顶点式y=a(x+1)2−5，然后把(2,−17)代入求出a即可．
(2)①根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；
②根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
17.【答案】解：所作图形如下所示：
【解析】根据旋转角为90°，旋转中心为O可找出各点的对应点，然后连接即可．
本题考查旋转作图的知识，要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
18.【答案】(6,6)
【解析】解：弦AB的垂直平分线是y=6，弦CD的垂直平分线是x=6，
因而交点P的坐标是(6,6)．
点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点，据此可以得到答案．
本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，理解圆心
是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．
19.【答案】解：∵25人的费用为2500元<2800元，
∴参加这次春游活动的人数超过25人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名．
根据题意，得[100−2(x−25)]x=2800，
整理，得x2−75x+1400=0，
解得：x1=40，x2=35，
x1=40时，100−2(x−25)=70<75，不合题意，舍去；
x2=35时，100−2(x−25)=80>75，
答：该班共有35人参加这次春游活动．
【解析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
20.【答案】(1)解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵∠P=35°，
∴∠AB=90°−35°=55°．
(2)证明：如图，连接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)，
∴∠ACP=90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD=CD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)；
在△OAD和△OCD中，
{OA=OC OD=OD AD=CD
，
∴△OAD≌△OCD(SSS)，
∴∠OAD=∠OCD(全等三角形的对应角相等)；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．
【解析】(1)首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后根据三角形内角和定理即可解决问题；
(2)连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知
∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和三角形全等的判定与性质．熟记这些定理是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)当x=0时，函数y=−2
5x²+8
5
x+2的值为2，
∴点C的坐标为(0,2)．
∵四边形OABC为矩形，
∴OA=CB，AB=CO=2．
当y=2时，−2
5x²+8
5
x+2=2，解得x1=0，x2=4．
∴点B的坐标为(4,2)．∴点A的坐标为(4,0)．
(2)当y=0时，−2
5x²+8
5
x+2=0，解得x1=−1，x2=5．
由图像可知，当y≥0时，x的取值范围是−1≤x≤5．
【解析】(1)根据矩形的性质可得出：B(4,2)，C(0,2)，由BA⊥x轴于A即可得出答案；
(2)令y=0，求得x1=−1，x2=5，结合图象当y≥0时，图象位于x轴上方(包括x轴)，即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，矩形的性质，抛物线与坐标轴的交点，二次函数与不等式等知识，解题关键是熟练掌握二次函数图象和性质，理解抛物线在x轴上方对应的x的取值范围．
22.【答案】解：(1)设学生纪念品的成本为x元，根据题意得：
50x+10(x+8)=440，
解得：x=6，
∴x+8=6+8=14;
答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元;
(2)第二周单价降低x元后，这周销售的销量为400+100x，由题意得出：
400×(10−6)+(10−x−6)(400+100x)+(4−6)[(1200−400)−(400+100x)]=2500，即1600+(4−x)(400+100x)−2(400−100x)=2500，
整理得：x2−2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
则10−1=9元．
答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．
【解析】(1)可设学生纪念品的成本为x元，根据题意列方程即可求解；
(2)第二周销售的销量=400+降低的元数×100；
第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23.【答案】批发业
【解析】解：(1)根据2011年城镇消费品销售额占总额80%，得出“乡村消费品销售额”所占百分比为：1−80%=20%，
则“乡村消费品销售额”所占的圆心角是：360°×20%=72°；
利用条形图可知：消费总额为：50+260+40=350(亿元)，
故乡村消费品销售额为：350×20%=70(亿元)；
(2)利用条形图可得：批发业：35(1+x)=50，
解得：x=3
7
，
零售业：220(1+y)=260，
解得：y=2
11
，
餐饮住宿业：35(1+z)=40，
解得：z=1
7
，
∵3 7>2
11
>1
7
，
∴批发业销售额增长的分数最大；
故答案为：批发业；
(3)根据2011年销售总额为350亿元，设年平均增长率是x．根据题意，得：350(1+x)2=504，
1+x=±1.2，
x1=20%，x2=−2.2(不合题意，应舍去)．
答：我市2011—2013年社会消费品销售总额的年平均增长率是20%．
(1)先求出乡村消费品销售额的百分率，再用360°乘以这个百分率就可以圆心角的度数，由图2求出2011年消费总额×乡村消费品销售额的百分比就可以得出结论；
(2)分别求出批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长率，在比较其大小就可以得出结论；
(3)根据2011年销售总额为350亿元，设年平均增长率是x.由增长率问题建立方程求出其值即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，条形统计图，扇形统计图的运用，在解答时理解统计图上各数据的含义是关键．。