概率统计(新课本) 第三章

§ 3.2二维离散型随机变量
例2(同类型)袋中装有四个球, 每个球上编号分别是1， 2，2，3 . 今随机从中一次取一球不放回的取两次，以 X 和 Y 分别记第一次和第二次所取球的编号，求( X ,Y ) 的分布律。 解: X 所有可能的取值： 2,3； 1,
Y所有可能的取值： 2,3. 1,
p11 = P ( X = 1, Y = 1) = 0
(该性质很重要)
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
⎧ 0, x + y <1 例1 设 F(x, y) = ⎨ ⎩ 1, x + y ≥1
讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？ 解 F ( 2, 2 ) − F (0, 2) − F ( 2, 0) + F (0, 0) y (0,2) • • (2,2) = 1−1−1+ 0
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§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
2. 二元分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组 可能的取值，则 F(x , y) =P(X≤x , Y≤y)表示 (X , Y ) 的取 值落入图所示角形区域的概率. 已知、给定 v (x, y) •
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§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
2.定义：设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 Ω={ω}，设 X=X(ω) 和 Y=Y(ω) 是定义在 Ω上的随机变 量。由它们构成的一个有序随机变量对 (X, Y) ，叫做 二维随机变量，或二维随机向量。 X(ω)
ω
Y(ω)
Ω
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§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
(x, y) u
i( x, y )
(−∞,−∞)
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
y →−∞
lim F ( x , y ) = 0
v
(x, y)
即：F ( x , − ∞) = 0
u
x →−∞
li m F ( x , y ) = 0
−∞
v
−∞
(x, y)
即：F (−∞ , y) = 0
u
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
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§3.1 二维变量的联合分布函数
1. 定义: 设( X,Y )是二维随机变量，二元实值函数 F(x , y) =P(X≤x , Y≤y) x∈(-∞,+∞), y∈(-∞,+∞) 称为二维随机变量( X,Y )的联合分布函数，或称X与Y 的分布函数。 即F(x , y)为事件{X≤ x}与{Y≤y}同时发生的概率。
1 2 1 = P ( X = 1) ⋅ P (Y = 2 X = 1) = ⋅ = 4 3 6 p13 = P ( X = 1,Y = 3)
p12 = P ( X = 1,Y = 2)
1 1 1 = P ( X = 1) ⋅ P (Y = 3 X = 1) = ⋅ = 4 3 12 类似 , 依次计算 .可得( X , Y )分布律为
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
♣ 二维随机变量的概念 ♣ 二维随机变量的联合分布函数 ( )
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§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
一、二维随机变量的概念
⒈ 考察科院全体男同学的身体状况，令
X：我院男同学的身高； 一维随机变量 Y：我院男同学的体重． 一维随机变量
则 ( X， Y )就是一个二维随机变量 ．
X：第一次掷出的点数； Y：第二次掷出的点数； 求( X , Y )的分布律。
解：
X 1 2 3 4 5 6
Y 1 2 3 4
5 6
136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136
曾经： P ( X > a ) = 1 − P ( X ≤ a ) = 1 − F ( a ) 问题： 对于二维 r.v. P ( X > a, Y > c ) = 1 − P ( X ≤ a, Y ≤ c )
？
= 1 − F (a , c )
(a,+∞) (+∞,+∞)
P( X > a,Y > c) = P(a < X <+∞, c < Y < +∞) y
•
P ( X = 3, Y = 2) = P ( X +Y = 8) = P ( X ≤ 3，Y
5 36
1 36
6 1 ≤ 2) = = 36 6
P( X ≤ 3.5，Y ≤ 2.5) =
6 1 = 36 6
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§3.1二维随机变量及其联合分布函数
3. 小 结
(1)从几何上看，(一维) 随机变量可视为直线上的 “随机点”。二维随机变量可视为平面上的“随机点 ”。即二维随机变量(X, Y )的取值，可看成是平面上 随机点的坐标。 (2)我们之所以要把两个随机变量X, Y作为一个整 体(X, Y )加以研究，而不去分别研究两个一维随机变量 X 及Y，其目的在于要探索X 和Y 二者之间的关系。
3. 联合分布函数的性质 ① 0 ≤ F( x, y) ≤ 1
x →+∞ y →+∞
v
i( x, y )
(+∞,+∞)
i( x, y ) i( x, y )
lim F ( x , y ) = 1
(−∞, −∞)
i( x, y )
u v
即：F(+∞ , +∞) = 1
同理：F ( −∞ , − ∞ ) = 0
) ) ) )
§ 3.2二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量的联合分布律
1.定义 若二维r.v.(X,Y)的所有可能取值是有限多对 或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型r.v.。 2.定义 设二维离散型随机变量的所有可能取值为 ( xi , y j ), i , j = 1, 2, 且
P( X = xi ,Y = y j ) = pij , i , j = 1, 2,
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) ≤ F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) ≤ F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
一维离散型r.v.X的分布律
P( X = xk )= pk , k=1,2, …
⎧ pk ≥ 0, k=1,2, … ⎨ ⎩ ∑ pk =1
k
1 满足 ： p ij ≥ 0 , i , j = 1 , 2 ,
2
∑∑ pij = 1.
i =1 j =1
∞
∞
则称其为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率 分布律或分布律。
F ( +∞, y ) = P ( X ≤ +∞,Y ≤ y )
= P (Y ≤ y ) = FY ( y )
称为关于Y的边缘分布函数(即Y的分布函数)。 注: 若F ( x, y ) 已知，则可得到各自的分布函数：FX ( x)、
FY ( x) )；但反之不可。
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
§ 3.2二维离散型随机变量
Y X
1 2 3
1 0 1 6 1 12
2 1 6 1 6 1 6
3 1 12 1 6 0
显然 , 满足 Pij ≥ 0 (i , j = 1, 2 ,3 ),
∑∑P
i =1 j =1
3
3
ij
= 1.
§ 3.2二维离散型随机变量
例3 已知 ( X , Y )的分布律。 X 求: P{X+Y≤1} −1 解：
u
(−∞, −∞)
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§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
比如：
1 P ( X ≤ 3，Y ≤ 2) = 6 1 ∴ F (3, 2) = 6
(3, 2) (3.5, 2.5)
1 ∴ F (3.5, 2.5) = 6
P( X ≤ 3.5，Y ≤ 2.5) = 1 6
•
•
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§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
§ 3.2二维离散型随机变量
( X， Y )的联合分布律也可以由 下表表示
Y X x1
y1 p11 p 21
p i1
y2 p12 p 22
pi 2
… … … …
yj p1 j p2 j pij
… … … …
一维离散型r.v.X的分布律
X
x
1
x
p
2
2
x
p
k
k
x2
xi
P
p1
说明1：要想表达分布律，必须讲清楚： (1) ( X , Y )所有可能的取值; ⑴ 利用古典概型直接求； (2)取每个值的概率。
P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B | A)
说明2：pij = P( X = xi , Y = y j ) 的求法
⑵ 利用乘法公式: pij = P(X = xi ,Y = yj ) = P(X = xi ) ⋅ P(Y = yj X = xi ).
§ 3.2二维离散型随机变量
例1. 掷骰子试验：一颗质地均匀的骰子独立地掷两次，
= 1 − F (+∞, c) − F (a, +∞) + F (a, c)
= 1 − FY (c ) − FX (a ) + F (a , c )
c
(a,c)
(+∞,c)
a
x
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
例2. 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 x⎞⎛ y ⎞ −∞ < x < +∞, ⎛ F ( x , y ) = A ⎜ B + arctan ⎟ ⎜ C + arctan ⎟ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ −∞ < y < +∞. ⎝ 其中A , B , C 为常数. (1)确定A , B , C ；（2）求X 和Y 的边缘分布函数； (3)求P (X > 2). ⎛ B + π ⎞⎛ C + π ⎞ = 1 解 (1) F (+∞,+∞) = A⎜ ⎟ ⎟⎜ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ ⎛ B − π ⎞⎛ C + π ⎞ = 0 F (−∞,+∞) = A⎜ ⎟ ⎟⎜ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ ⎛ B + π ⎞⎛ C − π ⎞ = 0 F (+∞,−∞) = A⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
④
对于任意 a < b , c < d F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ≥ 0（相容性）
事实上 F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c)
d
c a b
= P ( a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) ≥ 0
2. 二维随机变量的例子
例：掷骰子试验：一颗质地均匀的骰子独立地掷两次， 令 ：
X：第一次掷出的点数；
Y：第二次掷出的点数；
则 ( X， Y )就是一个二维随机变量 ．
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§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
显然，( X,Y ) 所有可 能的取值有36个。 一句话，( X,Y )是平 面上的随机点。 并且，
P
Y
0 0 1 8 1 8
1 1 8 0 1 8
2 1 8 1 8 0
3 1 8 1 8 0
{X
+ Y ≤ 1} =
xi + y
∑
j
1
≤1
P ij
= P { X = −1 Y = 0} + P { X = −1 Y = 1} + ， ， P { X = −1 , Y = 2} + P { X = 1 , Y = 0}
(3) P(X > 2) =1− P(X ≤ 2) =1− FX (2)
⎛ 1 + 1 arctan 2 ⎞ = 1− ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝2 π = 1/ 4.
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
作
作业：P82(B) 23;
业
§3.2 二维离散型随机变量
• • • • 二维离散型随机变量的联合分布律 ( 二维离散型随机变量的联合分布函数 ( 二维离散型随机变量的边缘分布律 ( 二维离散型随机变量的条件分布律 (
= −1 < 0
故F(x, y)不能作为某 二维 r.v.的分布函数.
(0,0)
•
(2,0) •
1
x+ y=
x
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
⑤ F ( x , +∞ ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ +∞ ) y y
= P ( X ≤ x ) = FX ( x )
称为关于X的边缘分布函数(即X的分布函数)；
§3.1 二维随机变量及其联合分布函数
B=
π
2
,C =
π
2
,A=
1
π2
(2) FX ( x ) = F ( x,+∞ ) 1 1 x = + arctan , 2 π 2 FY ( y ) = F ( +∞, y )
− ∞ < x < +∞ .
1 1 y = + arctan , − ∞ < y < +∞ . 2 π 2