2019-2020高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式优化总结课件新人教A版选修4_5

在△ABC 中，证明：π3≤aAa＋＋bbB＋＋ccC<π2.
[证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C，由排序不等式，得：
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，
相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，
7.如图，等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1. 在此三角形中任取点 P，过 P 分别引三边的平行线，与各边围 成以 P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形 的面积和的最小值，以及达到最小值时 P 的位置．
解析：分别取 OA，OB 为 x 轴、y 轴，则 AB 的方程为 x＋y＝1， 记 P 点坐标 P(xP，yP)，则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和为 S＝12x2P＋12y2P＋12(1－xP－yP)2，则 2S＝x2P＋y2P＋(1－xP－yP)2. 由柯西不等式，得 [x2P＋y2P＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)≥[xP＋yP＋(1－xP－yP)]2， 即 2S×3＝6S≥1，所以 S≥16. 当且仅当x1P＝y1P＝1－x1P－yP时，等号成立， 即 xP＝yP＝13时，面积 S 最小，且最小值为16.
因为 a＋b＋c>0，
所以ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
1．已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：a12＋b12＋c12＋d12>
证明：由柯西不等式 a12＋b12＋c12＋d12b12＋c12＋d12＋a12≥a1b＋b1c＋
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a
得aAa＋＋bbB＋＋ccC≥π3，
①
又由 0<b＋c－a,0<a＋b－c,0<a＋c－b，
有 0<A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)，
再次由排序不等式：反序和≤乱序和得 aa11＋bb11＋cc11≤ab11＋bc11＋ca11.② 由①②得 ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋b10＋c10，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立
专题三 利用不等式求最值 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有 件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排 往往比较容易． (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条
得aAa＋＋bbB＋＋ccC<π2.
②
由①②得原不等式成立．
3．设 a，b，c 为正数，求证：2b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥bb2＋ ＋cc2＋cc2 证明：由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a＋b≥a＋c≥b＋c，故 a2≥b2≥c2，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b， 由排序不等式得： b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥b＋c2 c＋c＋a2a＋a＋b2 b b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥b＋b2 c＋c＋c2a＋a＋a2 b 以上两式相加得：2b＋a2 c＋c＋b2a＋a＋c2 b≥bb2＋＋cc2＋cc2＋＋aa2＋aa2＋＋
又由柯西不等式，有n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
<
12＋12＋…＋12n＋1 12＋n＋1 22＋…＋21n2
<
nn1－21n＝
2 2.
专题二 利用排序不等式证明不等式 (1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的 根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及特征不等 进行合理选择． (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式 不等式解决往往很简捷．
[证明]
设 a，b，c 均为正数，证明：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 由柯西不等式，得

ab· b＋
bc· c＋
ca· a2
≤[( ab)2＋( bc)2＋( ca)2]·[( b)2＋( c)2＋( a)2]，
即(a＋b＋c)2≤ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)．
则 3a＋ 2b＋ c≤133 3，
当且仅当
a＝ 3
12b＝
13c时取等号．
3
又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝32，c＝13时，
3a＋
2b＋
c有最大值133
3 .
专题四 利用不等式解决实际问题 数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，将实际问 用题的关键，通过阅读分析题目，建立恰当的数学模型．确Baidu Nhomakorabea考 柯西不等式或排序不等式便可使问题迎刃而解．
[解析]
已知正实数 u，v，w 满足 u2＋v2＋w2＝8，求u94＋1v64＋ ∵u2＋v2＋w2＝8.
∴82＝(u2＋v2＋w2)2
＝u32·3＋v42·4＋w52·52≤u94＋1v64 ＋w254(9＋16＋25)， ∴u94＋1v64＋w254≥6540＝3225.
①
1111 等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d.
bcda
又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．
即a12＋b12＋c12＋d12>a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
2．若 n 是不小于 2 的正整数，求证：47<1－12＋13－14＋…＋2n1－ 证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n
如何把一条长为 m 的绳子截成 3 段，各围成一个正方 方形的面积和最小？ [解析] 设这 3 段的长度分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝m，且 3 个正方形的面积和 S＝x42＋4y 2＋4z 2＝116(x2＋y2＋z2)． 因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2， 当且仅当 x＝y＝z＝m3 时，等号成立． 所以 x2＋y2＋z2 有最小值m32，从而 S 有最小值m482. 即把绳子三等分后，这 3 段所围成的 3 个正方形的面积和最小．
6．设 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c
解析：根据柯西不等式，知
(a＋2b＋3c)
32＋12＋
1 2 3
≥
3·
a＋1·
2b＋
1 3·
3c2
＝( 3a＋ 2b＋ c)2，
∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤1332，
优化总结
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专题一 利用柯西不等式证明不等式 (1)证题技巧：①柯西不等式的一般形式为(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22 (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美 活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎 ②利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯 进行转化，运用时要注意体会． (2)注意事项：利用柯西不等式证明时要注意等号是否成立．
当且仅当u32÷3＝v42÷4＝w52÷5，即 u＝65，v＝85，w＝2 时取到“＝
∴当 u＝65，v＝85，w＝2 时u94＋1v64＋w254的最小值为3225.
5．已知|x|≤1，|y|≤1，试求 x 1－y2＋y 1－x2的最大值．
解析：由柯西不等式得 x 1－y2＋y 1－x2≤ x2＋ 1－x22× 1，当且仅当 xy＝ 1－x2× 1－y2，即 x2＋y2＝1 时，等号成立， y 1－x2的最大值为 1.
＝1＋12＋13＋…＋21n－212＋14＋…＋21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21 所以求证式等价于
47<n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n<
2 2.
由柯西不等式，有
n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n[(n＋1)(n＋2)＋…＋2n]≥n2， 于是n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n≥n＋1＋n＋n22＋…＋2n＝3n2＋n 1＝3＋
4．设 a，b，c 为正实数，求证：ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋b10＋c10.
证明：由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， 于是 a12≥b12≥c12，b1c≥c1a≥a1b. 由排序不等式：顺序和≥乱序和得 ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥aa1b2＋bb1c2＋cc1a2＝ab11＋bc11＋ca11.① 又因为 a11≥b11≥c11，1a≤1b≤1c，