高考数学异构异模复习第十八章不等式选讲18.2不等式的证明课件理
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十八章 不等式选讲
考点二 不等式的证明
撬点·基础点 重难点
1 不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法：要证明 a>b，只需证___a_－__b_>_0____.
a ②作商法：要证明 a>b，b>0，只要证__b_>_1____. (2)综合法 从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．
(3)分析法 从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的_充__分__条__件___，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事 实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫分析法．
(4)反证法 先假设要证的命题_不__成__立__，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) ___矛__盾__的__结__论__，以说明假 设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．
(5)放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这
种证明方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叫放缩法．
2 柯西不等式与排序不等式 (1)二维形式的柯西不等式 定理 1 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当__a_d_＝__b_c___时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式 定理 2 设 α，β 是两个向量，则_|α__·β_|≤__|_α_|·_|β_|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等 号成立．
(3)二维形式的三角不等式 定理 3 设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥___x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2__. (4)一般形式的柯西不等式 定理 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1 ＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当_b_i＝__0__ (i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得_a__i＝__k_b_i (i＝1,2，…，n)时，等 号成立．
≥
1 a·
＋
a
1 2b·
＋
2b
3c·13c2＝9.
(2)证明：因为 3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，
从而 3|y|<23＋16＝56，所以|y|<158.
【解题法】 1.柯西不等式的应用规律 在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、 对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题． 2．放缩法证明不等式的常用方法 (1)添加或舍去一些项，如 a2＋a＋1＝a＋212＋34>a＋212. (2)将分子或分母放大(或缩小)，如 k12<kk－1 1＝k－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1. (3)利用真分数的性质：若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm. (4)利用基本不等式，如 a2＋b2≥2ab. (5)利用绝对值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (6)利用函数的单调性．
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 不等式的各种证明方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、柯西不等式法 等．在应用柯西不等式时，注意常数的巧拆、结构的巧变、巧设数等．
命题法 不等式的证明 典例 (1)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． ①求 m 的值； ②若 a，b，c∈R＋，且1a＋21b＋31c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (2)已知实数 x，y 满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<158.
2019/5/23
最新中小学教学课件
16
thank you!
注意点 利用柯西不等式证明时的注意事项
利用柯西不等式证明时，一定要注意等号成立的条件.
1．思维辨析 (1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时假设为“a，b，c 全不为 0”．( × ) (2)若实数 x、y 适合不等式 xy>1，x＋y>－2，则 x>0，y>0.( √ ) (3)不等式(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 仅当 bi＝0 时，等号成立．( × ) (4)设 α、β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．( × )
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
[解] (1)①因为 f(x＋2)＝m－|x|，
所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m，
由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为 {x|－m≤x≤m}．
又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1.
②证明：由(1)知1a＋21b＋31c＝1，又 a，b，c∈R＋，故由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)a1＋21b＋31c
已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且1a＋2b＋3c＝2，求 a＋2b＋3c 的最小值．
[正解] (a＋2b＋3c)a1＋2b＋3c×12 ＝1214＋2ab＋2ba＋3ca＋3ac＋6bc＋6cb ≥12×(14＋4＋6＋12)＝18， (当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立) ∴当 a＝b＝c＝3 时，a＋2b＋3c 取得最小值 18.
[错解]
[错因分析] 一是给原式乘以a1＋2b＋3c时改变了原式的大小，二是没有写出等号成立的条件． [心得体会]
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
(5)排序不等式(排序原理) 定理 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列， 即 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2 ＝…＝bn 时，反序和等于顺序和．
2．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是( )
A．a<b＋c
B．a>c－b
C．|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c|
解析 |a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|.故选 D.
3．已知 a>2，b>2，则 a＋b 与 ab 的大小关系是_a_＋__b_<_a_b_． 解析 ∵ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1>0.∴ab>a＋b.故填 a＋b<ab.
考点二 不等式的证明
撬点·基础点 重难点
1 不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法：要证明 a>b，只需证___a_－__b_>_0____.
a ②作商法：要证明 a>b，b>0，只要证__b_>_1____. (2)综合法 从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．
(3)分析法 从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的_充__分__条__件___，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事 实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫分析法．
(4)反证法 先假设要证的命题_不__成__立__，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) ___矛__盾__的__结__论__，以说明假 设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．
(5)放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这
种证明方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叫放缩法．
2 柯西不等式与排序不等式 (1)二维形式的柯西不等式 定理 1 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当__a_d_＝__b_c___时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式 定理 2 设 α，β 是两个向量，则_|α__·β_|≤__|_α_|·_|β_|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等 号成立．
(3)二维形式的三角不等式 定理 3 设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥___x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2__. (4)一般形式的柯西不等式 定理 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1 ＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当_b_i＝__0__ (i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得_a__i＝__k_b_i (i＝1,2，…，n)时，等 号成立．
≥
1 a·
＋
a
1 2b·
＋
2b
3c·13c2＝9.
(2)证明：因为 3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，
从而 3|y|<23＋16＝56，所以|y|<158.
【解题法】 1.柯西不等式的应用规律 在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、 对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题． 2．放缩法证明不等式的常用方法 (1)添加或舍去一些项，如 a2＋a＋1＝a＋212＋34>a＋212. (2)将分子或分母放大(或缩小)，如 k12<kk－1 1＝k－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1. (3)利用真分数的性质：若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm. (4)利用基本不等式，如 a2＋b2≥2ab. (5)利用绝对值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (6)利用函数的单调性．
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 不等式的各种证明方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、柯西不等式法 等．在应用柯西不等式时，注意常数的巧拆、结构的巧变、巧设数等．
命题法 不等式的证明 典例 (1)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． ①求 m 的值； ②若 a，b，c∈R＋，且1a＋21b＋31c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (2)已知实数 x，y 满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<158.
2019/5/23
最新中小学教学课件
16
thank you!
注意点 利用柯西不等式证明时的注意事项
利用柯西不等式证明时，一定要注意等号成立的条件.
1．思维辨析 (1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时假设为“a，b，c 全不为 0”．( × ) (2)若实数 x、y 适合不等式 xy>1，x＋y>－2，则 x>0，y>0.( √ ) (3)不等式(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 仅当 bi＝0 时，等号成立．( × ) (4)设 α、β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．( × )
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
[解] (1)①因为 f(x＋2)＝m－|x|，
所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m，
由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为 {x|－m≤x≤m}．
又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1.
②证明：由(1)知1a＋21b＋31c＝1，又 a，b，c∈R＋，故由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)a1＋21b＋31c
已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且1a＋2b＋3c＝2，求 a＋2b＋3c 的最小值．
[正解] (a＋2b＋3c)a1＋2b＋3c×12 ＝1214＋2ab＋2ba＋3ca＋3ac＋6bc＋6cb ≥12×(14＋4＋6＋12)＝18， (当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立) ∴当 a＝b＝c＝3 时，a＋2b＋3c 取得最小值 18.
[错解]
[错因分析] 一是给原式乘以a1＋2b＋3c时改变了原式的大小，二是没有写出等号成立的条件． [心得体会]
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
(5)排序不等式(排序原理) 定理 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列， 即 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2 ＝…＝bn 时，反序和等于顺序和．
2．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是( )
A．a<b＋c
B．a>c－b
C．|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c|
解析 |a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|.故选 D.
3．已知 a>2，b>2，则 a＋b 与 ab 的大小关系是_a_＋__b_<_a_b_． 解析 ∵ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1>0.∴ab>a＋b.故填 a＋b<ab.