2021年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷(学生版+解析版)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2021年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷
一、选择题(本题共有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分.) 1.(4分)比0大的数是( ) A .1-
B .1
2
-
C .0
D .1
2.(4分)台湾岛是我国最大的岛屿,总面积为35882.6258平方公里.用科学记数法应表示为(保留三个有效数字)( ) A .43.5810⨯平方公里 B .43.5910⨯平方公里 C .63.5810⨯平方公里
D .63.5910⨯平方公里
3.(4分)如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体,则其左视图是( )
A .
B .
C .
D .
4.(4分)点(3,5)P -关于y 轴对称的点的坐标为( ) A .(3,5)
B .(3,5)-
C .(3,5)--
D .(5,3)-
5.(4分)小茜课间活动中,上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动,下午课外活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动.则小茜上、下午都选中球类运动的概率是( ) A .19
B .13
C .
23
D .
29
6.(4分)双十一来临前,某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升,双十一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格,最终,衬衫的价格为原价的84%,则这个给定的百分比为( )
A .16%
B .36%
C .40%
D .50%
7.(4分)如图,在矩形ABCD 中,22AB =2AD =,点E 是AD 的中点,连接CE ,将DCE ∆沿直线CE 折叠,使点D 落在点F 处,则线段AF 的长度是( )
A .
23
B .
22
C .1
D .
23
8.(4分)已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -,22(1,)P
y -,33(1,)P y ,44(3,)P y 四点,若324y y y <<,则1y ,2y ,3y ,4y 的最值情况是( )
A .3y 最小,1y 最大
B .3y 最小,4y 最大
C .1y 最小,4y 最大
D .无法确定
9.(4分)如图,点A 在半径为6的O 内,23OA =,P 为O 上一动点,当OPA ∠取最大值时,PA 的长等于( )
A .3
B .26
C .
3
D .23
10.(4分)如图1,矩形的一条边长为x ,周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中,直线1x =,3y =将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是( )
A .点A 的横坐标有可能大于3
B .矩形1是正方形时,点A 位于区域②
C.当点A沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小D.当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等二、填空题:(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.(5分)若分式
1
1
x+
的值等于1,则x=.
12.(5分)把多项式36
mx my
-分解因式的结果是.
13.(5分)已知a、b为两个连续的整数,且19
a b
<<,则a b
+=.
14.(5分)如图,曲线AMNB和MON是两个半圆,//
MN AB,大半圆半径为2,则阴影部分的面积是.
15.(5分)如图,(1,0)
A,(3,0)
B,M(4,3),动点P从点A出发,以每秒1个单位长的速度向右移动,且经过点P的直线:l y x b
=-+也随之移动,设移动时间为t秒,若l与线段BM有公共点,则t的取值范围为.
16.(5分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A、B、C三点的坐标为(30)、(330)、(0,5),点D在第一象限,且60
ADB
∠=︒,则线段CD的长的最小值为.三、解答题:(本题共8小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)先化简,再求值:
2
2
2
(1)
169
x x
x x x
-
-
--+
,其中x是从1,2,3中选取的一个合
适的数.
18.(9分)如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.如图(一)中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)求图中四边形ABCD的面积等于;
(2)在图(二)中,作出ABC
∆绕点B顺时针旋转90︒后的△A BC
'';
(3)在图(三)中,画一个格点BDE
∆的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对
∆,使BDE
称图形.(只需要作出1个即可)
19.(10分)为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数,命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测,将考试成绩分布情况进行处理分析,制成如图表(成绩得分均为整数):
组别成绩分组频数
A47.5~59.52
B59.5~71.54
C71.5~83.5a
D83.5~95.510
E95.5~107.5b
F107.5~1206
根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)频数分布表中的a=,b=;扇形统计图中的m=,n=;
(2)已知全区八年级共有200个班(平均每班40人),用这份试卷检测,108分及以上为
优秀,预计优秀的人数约为 人,72分及以上为及格,预计及格的人数约为 人; (3)补充完整频数分布直方图.
20.(8分)某校计划购进A ,B 两种树木共100棵进行校园绿化,经市场调查:购买A 种树木2棵,B 种树木5棵,共需600元;购买A 种树木3棵,B 种树木1棵,共需380元. (1)求A ,B 两种树木每棵各多少元?
(2)因布局需要,购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍.实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用. 21.(8分)如图,Rt ABC ∆中,90ABC ∠=︒,以AB 为直径作半圆O 交AC 与点D ,点E 为BC 的中点,连接DE .
(1)求证:DE 是半圆O 的切线. (2)若30BAC ∠=︒,2DE =,求AD 的长.
22.(10分)为加强对市内道路交通安全的监督,王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB (如图所示),当无人机在限速道路的正上方C 处时,测得限速道路的起点A 的俯角是37︒,无人机继续向右水平飞行220米到达D 处,此时又测得起点A 的俯角是30︒,同时测得限速道路终点B 的俯角是45︒(注:即四边形ABDC 是梯形). (1)求限速道路AB 的长(精确到1米);
(2)如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1分20秒,请判断他是否超速?并说明理由. (参考数据:sin370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan370.75︒≈,3 1.73)≈
23.(14分)定义:由两条与x 轴有着相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.如图,抛物线1C 与抛物线2C 组成一个开口向上的“月牙线”,抛物线1C 与抛物线2C 与x 轴有相同的交点M ,N (点M 在点N 的左侧),与y 轴的交点分别为
A ,
B 且点A 的坐标为(0,3)-,抛物线2
C 的解析式为2412y mx mx m =+-,(0)m >.
(1)请你根据“月牙线”的定义,设计一个开口向下的“月牙线”,直接写出两条抛物线的解析式;
(2)求M ,N 两点的坐标;
(3)在第三象限内的抛物线1C 上是否存在一点P ,使得PAM ∆的面积最大?若存在,求出
PAM ∆的面积的最大值;若不存在,说明理由.
24.(14分)如图1,已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点D 、E 在边AB 上,45DCE ∠=︒,过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ,连接MD . (1)求证:2CE BE DE =⋅;
(2)当3AC =,2AD BD =时,求DE 的长;
(3)如图2,过点M 作射线CD 的垂线,垂足为点F ,设BD
x BC
=,tan FMD y ∠=,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.
2021年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分.) 1.(4分)比0大的数是( ) A .1-
B .1
2
-
C .0
D .1
【解答】解:4个选项中只有D 选项大于0. 故选:D .
2.(4分)台湾岛是我国最大的岛屿,总面积为35882.6258平方公里.用科学记数法应表示为(保留三个有效数字)( ) A .43.5810⨯平方公里 B .43.5910⨯平方公里 C .63.5810⨯平方公里
D .63.5910⨯平方公里
【解答】解:4435882.6258 3.5882625810 3.5910=⨯≈⨯(平方公里). 故选:B .
3.(4分)如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体,则其左视图是( )
A .
B .
C .
D .
【解答】解:从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为:2,3,1. 故选:B .
4.(4分)点(3,5)P -关于y 轴对称的点的坐标为( ) A .(3,5)
B .(3,5)-
C .(3,5)--
D .(5,3)-
【解答】解:点(3,5)P -关于y 轴对称的点的坐标为(3,5)--, 故选:C .
5.(4分)小茜课间活动中,上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动,下午课外活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动.则小茜上、下
午都选中球类运动的概率是()
A.1
9
B.
1
3
C.
2
3
D.
2
9
【解答】解:画树状图为:
共有9种等可能的结果数,其中小茜上、下午都选中球类运动的结果数为1,
所以小茜上、下午都选中球类运动的概率
1
9 =.
故选:A.
6.(4分)双十一来临前,某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升,双十一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格,最终,衬衫的价格为原价的84%,则这个给定的百分比为()
A.16%B.36%C.40%D.50%
【解答】解:这个给定的百分比为x,由题意得,
(1)(1)84%
x x
-+=,
0.4
x
∴=(负值舍去),
即这个给定的百分比为40%.
故选:C.
7.(4分)如图,在矩形ABCD中,22
AB=,2
AD=,点E是AD的中点,连接CE,将DCE
∆沿直线CE折叠,使点D落在点F处,则线段AF的长度是()
A.2
3
B
2
C.1D
2
【解答】解:作EH AF
⊥于点H,如图:
在矩形ABCD 中,22AB =2AD =,点E 是AD 的中点.
1ED EA ∴==,223EC ED DC +=,90D ∠=︒.
DCE ∆沿直线CE 折叠为FCE ∆.
1EF EA ∴==,22CF CD AB ===.DEC CEF ∠=∠,90D EFC ∠=∠=︒. EAF ∴∆是等腰三角形,90FEC ECF ∠+∠=︒.
180DEF FEA ∠+∠=︒. 90CEF FEA ∴∠+∠=︒. HEF ECF ∴∠=∠. EFH CEF ∴∆∆∽.

EF EC
HF EF
=
.即:131HF =. ∴1
3
HF =
. ∴223
AF HF ==
. 故选:A .
8.(4分)已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -,22(1,)P
y -,33(1,)P y ,44(3,)P y 四点,若324y y y <<,则1y ,2y ,3y ,4y 的最值情况是( )
A .3y 最小,1y 最大
B .3y 最小,4y 最大
C .1y 最小,4y 最大
D .无法确定
【解答】解:二次函数图象经过11(3,)P y -,
22(1,)P y -,33(1,)P y ,44(3,)P y 四点,且324y y y <<, ∴抛物线开口向上,对称轴在0和1之间,
11(3,)P y ∴-离对称轴的距离最大,33(1,)P y 离对称轴距离最小, 3y ∴最小,1y 最大,
故选:A .
9.(4分)如图,点A 在半径为6的O 内,23OA =,P 为O 上一动点,当OPA ∠取
最大值时,PA 的长等于( )
A .3
B .26
C .
3 D .23
【解答】解:在OPA ∆中,当OPA ∠取最大值时,OA PA ⊥,
PA ∴取最小值,
OA 、OP 是定值,
PA OA ∴⊥时,PA 取最小值,
在Rt OPA ∆中,23OA =,6OP =,
22361226AP OP OA ∴=-=-=. 故选:B .
10.(4分)如图1,矩形的一条边长为x ,周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中,直线1x =,3y =将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是( )
A .点A 的横坐标有可能大于3
B .矩形1是正方形时,点A 位于区域②
C .当点A 沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小
D .当点A 位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等 【解答】解:设点(,)A x y ,
A 、设反比例函数解析式为:(0)k y k x
=≠, 由图形可知:当1x =时,3y <,
3k xy ∴=<,
y x >,
3x ∴<,即点A 的横坐标不可能大于3,
故选项A 不正确;
B 、当矩形1为正方形时,边长为x ,2y x =,
则点A 是直线2y x =与双曲线的交点,如图2,交点A 在区域③,
故选项B 不正确;
C 、当一边为x ,则另一边为y x -,22()S x y x xy x k x =-=-=-,
当点A 沿双曲线向上移动时,x 的值会越来越小,
∴矩形1的面积会越来越大,
故选项C 不正确;
D 、当点A 位于区域①时,
点(,)A x y ,
1x ∴<,3y >,即另一边为:2y x ->,
矩形2落在区域④中,1x >,3y >,即另一边0y x ->,
∴当点A 位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等;
故选项④正确;
故选:D .
二、填空题:(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.(5分)若分式11
x +的值等于1,则x = 0 .
【解答】解:由分式11x +的值等于1,得 111x =+, 解得0x =,
经检验0x =是分式方程的解.
故答案为:0.
12.(5分)把多项式36mx my -分解因式的结果是 3(2)m x y - .
【解答】解:363(2)mx my m x y -=-.
故答案为:3(2)m x y -.
13.(5分)已知a 、b 为两个连续的整数,且19a b <<,则a b += 9 .
【解答】解:
161925<<,
4195∴<<,
19a b <, 4a ∴=,5b =,
9a b ∴+=,
故答案为:9.
14.(5分)如图,曲线AMNB 和MON 是两个半圆,//MN AB ,大半圆半径为2,则阴影部分的面积是 22π- .
【解答】解:连接OM 、ON ,
MN 是小半圆的直径,
90MON ∴∠=︒,
2OM ON OA ===,
222222MN ∴=+=,
2()2
MN S ππ∴=⋅=小半圆,
大圆中扇形OMN 的面积2902360S ππ⨯==, 1122222
MON S OM ON ∆=⋅=⨯⨯=, 22MON OMN S S S S π∆∴=+-=-阴影小半圆扇形,
故答案为22π-.
15.(5分)如图,(1,0)A ,(3,0)B ,M (4,3),动点P 从点A 出发,以每秒1个单位长的速度向右移动,且经过点P 的直线:l y x b =-+也随之移动,设移动时间为t 秒,若l 与线段BM 有公共点,则t 的取值范围为 26t .
【解答】解:当直线y x b =-+过点(3,0)B 时,
03b =-+,
解得:3b =,
0(1)3t =-++,
解得2t =.
当直线y x b =-+过点(4,3)M 时,
34b =-+,
解得:7b =,
0(1)7t =-++,
解得6t =.
故若l 与线段BM 有公共点,t 的取值范围是:26t ,
故答案为26t .
16.(5分)在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,A 、B 、C 三点的坐标为(30)、
(33,0)、(0,5),点D 在第一象限,且60ADB ∠=︒,则线段CD 的长的最小值为 272- . 【解答】解:作圆,使60ADB ∠=︒,设圆心为P ,连接PA 、PB 、PC ,PE AB ⊥于E ,如图所示: (3A ,0)、(33B ,0),
(23E ∴,0)
又60ADB ∠=︒,
120APB ∴∠=︒,
1PE ∴=,22PA PE ==,
(23P ∴,1),
(0,5)C ,
22(23)(51)27PC ∴=+-=,
又2PD PA ==,
∴只有点D 在线段PC 上时,CD 最短(点D 在别的位置时构成)CDP ∆
CD ∴最小值为:272-.
故答案为:272-.
三、解答题:(本题共8小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)先化简,再求值:222(1)169
x x x x x ----+,其中x 是从1,2,3中选取的一个合适的数.
【解答】解:原式2
3(1)1(3)x x x x x --=
-- 3x x =-.
当2
x=时,原式
2
2 23
==-
-

18.(9分)如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.如图(一)中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)求图中四边形ABCD的面积等于15
2

(2)在图(二)中,作出ABC
∆绕点B顺时针旋转90︒后的△A BC
'';
(3)在图(三)中,画一个格点BDE
∆,使BDE
∆的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形.(只需要作出1个即可)
【解答】解:(1)四边形ABCD的面积
1115
5251
222
=⨯⨯+⨯⨯=;
故答案为15
2

(2)如图(二),△A BC
''为所作;
(3)如图(三),BDE
∆为所作.
19.(10分)为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数,命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测,将考试成绩分布情况进行处理分析,制成如图表(成绩得分均为整数):
组别 成绩分组
频数 A 47.5~59.5
2 B 59.5~71.5
4 C 71.5~83.5
a D 83.5~95.5
10 E 95.5~107.5
b F 107.5~120 6
根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)频数分布表中的a = 8 ,b = ;扇形统计图中的m = ,n = ;
(2)已知全区八年级共有200个班(平均每班40人),用这份试卷检测,108分及以上为优秀,预计优秀的人数约为 人,72分及以上为及格,预计及格的人数约为 人;
(3)补充完整频数分布直方图.
【解答】解:(1)被调查的总人数为25%40÷=(人),
4020%8a ∴=⨯=,40(248106)10b =-++++=,
4%100%10%40m =⨯=,10%100%25%40
n =⨯=,即10m =、25n =; 故答案为:8、10、10、25;
(2)预计优秀的人数约为2004015%1200⨯⨯=(人),
预计及格的人数约为20040(15%10%)6800⨯⨯--=(人),
故答案为:1200、6800;
(3)补全频数分布直方图如下:
20.(8分)某校计划购进A ,B 两种树木共100棵进行校园绿化,经市场调查:购买A 种树木2棵,B 种树木5棵,共需600元;购买A 种树木3棵,B 种树木1棵,共需380元.
(1)求A ,B 两种树木每棵各多少元?
(2)因布局需要,购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍.实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.
【解答】解:(1)设A 种树每棵x 元,B 种树每棵y 元,
依题意得:256003380x y x y +=⎧⎨+=⎩
, 解得10080x y =⎧⎨=⎩
. 答:A 种树每棵100元,B 种树每棵80元;
(2)设购买A 种树木为a 棵,则购买B 种树木为(100)a -棵,
则3(100)a a -,
解得75a .
设实际付款总金额是y 元,则
0.9[10080(100)]y a a =+-,即187200y a =+.
180>,y 随a 的增大而增大,
∴当75a =时,y 最小.
即当75a =时,187572008550y =⨯+=最小值(元).
答:当购买A 种树木75棵,B 种树木25棵时,所需费用最少,最少为8550元.
21.(8分)如图,Rt ABC ∆中,90ABC ∠=︒,以AB 为直径作半圆O 交AC 与点D ,点E 为BC 的中点,连接DE .
(1)求证:DE 是半圆O 的切线.
(2)若30BAC ∠=︒,2DE =,求AD 的长.
【解答】(1)证明:连接OD ,OE ,BD , AB 为圆O 的直径,
90ADB BDC ∴∠=∠=︒,
在Rt BDC ∆中,E 为斜边BC 的中点,
DE BE ∴=,
在OBE ∆和ODE ∆中,
OB OD OE OE BE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩

()OBE ODE SSS ∴∆≅∆,
90ODE ABC ∴∠=∠=︒,
则DE 为圆O 的切线;
(2)在Rt ABC ∆中,30BAC ∠=︒,
12
BC AC ∴=, 24BC DE ==,
8AC ∴=,
又60C ∠=︒,DE CE =,
DEC ∴∆为等边三角形,即2DC DE ==,
则6AD AC DC =-=.
22.(10分)为加强对市内道路交通安全的监督,王警官利用无人机进行检测.某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB(如图所示),当无人机在限速道路的正上方C处时,测得限速道路的起点A的俯角是37︒,无人机继续向右水平飞行220米到达D处,此时又测得起点A的俯角是30︒,同时测得限速道路终点B的俯角是45︒(注:即四边形ABDC是梯形).(1)求限速道路AB的长(精确到1米);
(2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒,请判断他是否超速?并说明理由.(参考数据:sin370.60

︒≈,3 1.73)
︒≈,tan370.75
︒≈,cos370.80
【解答】解:(1)根据题意,得37
DBA
∠=︒,45
∠=︒,
∠=︒,220
CAB
CD=米,30
DAB
如图,过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F,
//
CD AB,
∴四边形CDFE是矩形,
=,
∴=,CD EF
CE DF
∠=︒,
45
DBA
∴=,
DF BF
设DF BF CE x
===米,
在Rt ADF
=米,
∠=︒,DF x
∆中,30
DAF
∴=(米),
33
AF DF x
220)AE AF EF ∴=-=-米,
在Rt AEC ∆中,37CAE ∠=︒,
tan37CE AE =⋅︒,
220)0.75x ∴=-⨯,
解得4)240)x ==米,
220(320AE ∴=-=+米,
240)FB x ==(米),
AB AE EF FB ∴=++
320220240=++
780=+
1507≈(米),
答:限速道路AB 的长约为1507米;
(2)1分20秒145
=小时, ∴该汽车的速度约为:1150767.8/60/45km h km h ÷
≈>, ∴该车超速.
23.(14分)定义:由两条与x 轴有着相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.如图,抛物线1C 与抛物线2C 组成一个开口向上的“月牙线”,抛物
线1C 与抛物线2C 与x 轴有相同的交点M ,N (点M 在点N 的左侧),与y 轴的交点分别为A ,B 且点A 的坐标为(0,3)-,抛物线2C 的解析式为2412y mx mx m =+-,(0)m >.
(1)请你根据“月牙线”的定义,设计一个开口向下的“月牙线”,直接写出两条抛物线的解析式;
(2)求M ,N 两点的坐标;
(3)在第三象限内的抛物线1C 上是否存在一点P ,使得PAM ∆的面积最大?若存在,求出
PAM ∆的面积的最大值;若不存在,说明理由.
【解答】解:(1)如图1,抛物线223y x x =-++与抛物线212133
y x x =-++所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”;
(2)在抛物线2C 的解析式2412y mx mx m =+-中,
当0y =时,24120mx mx m +-=,
0m ≠,
24120x x ∴+-=,
解得,16x =-,22x =,
点M 在点N 的左边,
(6,0)M ∴-,(2,0)N ;
(3)存在,理由如下:
如图2,连接AM ,PO ,PM ,PA ,
抛物线1C 和抛物线2C 与x 轴有着相同的交点,并且开口方向相同, ∴可设抛物线1C 的解析式2412(0)y nx nx n n =+->,
抛物线1C 与y 轴的交点为(0,3)A -,
123n ∴-=-,
14
n ∴=, ∴抛物线1C 的解析式为2134y x x =
+-, ∴可设点P 的坐标为21
(,3)4
t t t +-, PAM PMO PAO AOM S S S S ∆∆∆∆∴=+-
211116(3)3()632422
t t t =⨯⨯--++⨯⨯--⨯⨯ 23942
t t =--, 2327(3)44
t =-++, 304
-<,60t -<<, ∴根据二次函数的图象和性质知,当3t =-时,即点P 的坐标为15(3,)4--时,PAM ∆的面积有最大值,最大值为274

24.(14分)如图1,已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点D 、E 在边AB 上,45DCE ∠=︒,过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ,连接MD .
(1)求证:2CE BE DE =⋅;
(2)当3AC =,2AD BD =时,求DE 的长;
(3)如图2,过点M 作射线CD 的垂线,垂足为点F ,设
BD x BC
=,tan FMD y ∠=,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.
【解答】(1)证明:如图1,90
ACB
∠=︒,AC BC
=,
45
B CAB
∴∠=∠=︒,
45
DCE
∠=︒,
B DCE
∴∠=∠,
CED CEB
∠=∠,
CDE BCE
∴∆∆
∽,
∴CE DE
BE CE
=,
2
CE BE DE
∴=⋅.
(2)解:如图2,过D作DN AC
⊥于N,
90
AND
∴∠=︒,
45DAN ∠=︒,
ADN ∴∆是等腰直角三角形,
//DN BC ,2AD BD =, ∴23
AD AN AB AC ==, 3AC =,
AB ∴=2AN DN ==,1CN =,
2AD BD =,
BD ∴
由勾股定理得:DC =
由(1)知:CDE BCE ∆∆∽,
∴DE CE DC CE BE BC ===
设DE =,3CE x =,

=,
x ∴,
4DE ∴=
(3)解:如图3,过点C 作CP CM ⊥,交AB 的延长线于点P ,
45DCE ∠=︒,90ACB ∠=︒
45ACM BCD BCD BCP ∴∠+∠=︒=∠+∠,
BCP ACM ∴∠=∠,
18045135CBP CAM ∠=︒-︒=︒=∠,AC BC =,
()AMC BPC ASA ∴∆≅∆,
CM CP ∴=,
45DCM DCP ∠=∠=︒,CD CD =,
()MCD PCD SAS ∴∆≅∆,
MDC PDC BDC ∴∠=∠=∠,
45ABC MCD ∠=︒=∠,
BCD CMD ∴∆∆∽, ∴BD BC CD CM =,即BD CD BC CM
=, FM FC ⊥,45DCE ∠=︒,
CFM ∴∆是等腰直角三角形,
2CM FM ∴=,
tan y FMD ∴=∠
22()221212DF DF CF CD CF CD BD x MF BC --=====-=. Rt ABC ∆中,AC BC =,
2AB BC ∴,
D ,
E 是AB 上一点,45DCE ∠=︒, ∴当点E 与A 重合时,BD 最大为12AB , BD x BC =,
0x ∴<,
1(0)2y x ∴=<<
.。

相关文档
最新文档