广东省广州大学附属中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)

广东省广州大学附中2020-2021学年九年级
上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．﹣5的倒数是（）
A．﹣5B．C．﹣D．5
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．点P（﹣3，2）关于原点O的对称点P′的坐标是（）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）4．在下列运算中，计算正确的是（）
A．a3•a2＝a6B．a8÷a2＝a4C．（a2）3＝a6D．a2+a2＝a4
5．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ABCD一定是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
6．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2+2x+1＝0C．x2+2x+3＝0D．x2+2x﹣3＝0 7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD ＝1，则BE的长是（）
A．5B．6C．7D．8
8．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（）
A．m＜2B．m＝2C．m≤2D．m≥2
9．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C'的位置，若AC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）
A．10πcm B．5πcm C．15πcm D．20πcm
10．如图．已知⊙O的半径为3，OA＝8，点P为⊙O上一动点．以P A为边作等边△P AM，则线段OM的长的最大值为（）
A．14B．9C．12D．11
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）.
11．函数y＝自变量的取值范围是．
12．小亮测得一圆锥模型的底面半径为5cm，母线长为7cm，那么它的侧面积是cm2（结果不取近似值）．
13．半径为R的圆内接正三角形的面积是．
14．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为．
15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D 点重合，AB'交CD于点E，若AB＝3cm，则线段EB′的长为．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；
④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确
的结论是．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2+2x﹣4＝0．
18．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出△ABC的顶点A、顶点B的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在图中画出把△ABC先向左平移5个单位，再向上平移2个单位后所得的△A′B′C′．
19．（7分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
20．（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，OE＝OF
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，求四边形ABCD的周长．
21．（7分）已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x1x2＝0时，求m的值．
22．（9分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O恰好经过A、C两点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）如果CF＝2，CP＝3，求⊙O的直径EC．
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD，连接BD和AE，再将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，再连接DF．
（1）判断四边形ABDF的形状并证明；
（2）当S四边形ABDF＝BD2时，求∠AEC的度数；
（3）连接EF，G为EF中点，BC＝4，当D从C运动到A点的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出G点所经过的路径长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，且与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．
①过点P作PE⊥BC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h取
得最大值时，点P的坐标．
②在①的条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l
的解析式．
四、附加题
26．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝5，AB＝BC＝6，M为AB边上一个动点，连接CM，以BM为直径的圆交CM于Q，点P为AB上的另一个动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为．
27．在△ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，AE＝6，把AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，则AC＝．
28．（14分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与y轴垂直，则称该等腰三角形为点P，Q的“伴随等腰三角形”．
（1）若P，Q为抛物线y＝﹣x2+2x+3上的点，它的“伴随等腰三角形”记为△PQM，且
底边PM＝2，点M，Q均在点P的右侧，设点P的横坐标为m．
①若点M在这条抛物线上，求△PQM的面积；
②设P，Q两点的纵坐标分别为了y1，y2，比较y1与y2的大小；
③当△PQM底边上的高等于底边长的2倍时，求点P的坐标；
（2）若P，Q是抛物线y＝﹣x2+2nx+3n上的两点，它的“伴随等腰三角形PQN”以PN 为底，且点N，Q均在点P的同侧（左侧或右侧），点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍，过点P，N分别作垂直于x轴的直线l1，l2．设点P的横坐标为n﹣1，该抛物线在直线l1，l2之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．﹣5的倒数是（）
A．﹣5B．C．﹣D．5
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣5的倒数是﹣；
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．点P（﹣3，2）关于原点O的对称点P′的坐标是（）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴P（﹣3，2）关于原点过对称的点的坐标是（3，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
4．在下列运算中，计算正确的是（）
A．a3•a2＝a6B．a8÷a2＝a4C．（a2）3＝a6D．a2+a2＝a4
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a3•a2＝a3+2＝a5，故本选项错误；
B、应为a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项错误；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，正确；
D、应为a2+a2＝2a2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
5．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ABCD一定是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
【分析】根据圆的直径相等，且圆心为直径的中点，得到圆心到A、B、C及D四点的距离相等，根据对角线互相平分且对角线相等，得到四边形ACBD为矩形．
【解答】解：连接AC、BC、BD、AD，
∵AB、CD为圆O的直径，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ACBD为矩形．
故选：A．
【点评】此题考查学生掌握圆中的一些简单性质，掌握矩形的判别方法，考查了数形结合的数学思想，是一道基础题．
6．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2+2x+1＝0C．x2+2x+3＝0D．x2+2x﹣3＝0【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【解答】解：A、x2+1＝0中△＜0，没有实数根；
B、x2+2x+1＝0中△＝0，有两个相等的实数根；
C、x2+2x+3＝0中△＜0，没有实数根；
D、x2+2x﹣3＝0中△＞0，有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD ＝1，则BE的长是（）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝DB＝AB＝，
在Rt△AOD中，OA2＝（OC﹣CD）2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+（）2，
解得，OA＝4
∴OD＝OC﹣CD＝3，
∵AO＝OE，AD＝DB，
∴BE＝2OD＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（）
A．m＜2B．m＝2C．m≤2D．m≥2
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣mx+5的开口向上，对称轴是x＝，
∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴≤1，
解得，m≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数的对称轴、掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C'的位置，若AC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）
A．10πcm B．5πcm C．15πcm D．20πcm
【分析】利用互补计算出∠ACA′＝120°，根据旋转的性质，得到顶点A从开始到结束所经过的路径为以点C为圆心，CA为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据弧长公式
计算．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴顶点A从开始到结束所经过的路径长＝＝10π（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式；解题的关键是理解题意，记住弧长公式l＝．
10．如图．已知⊙O的半径为3，OA＝8，点P为⊙O上一动点．以P A为边作等边△P AM，则线段OM的长的最大值为（）
A．14B．9C．12D．11
【分析】如图，以OP为边向下作等边△POH，连接AH．由△HP A≌△OPM（SAS），推出AH＝OM，由AH≤OH+AO，即AH≤11即可解决问题；
【解答】解：如图，以OP为边向下作等边△POH，连接AH．
∵△POH，△APM都是等边三角形，
∴PH＝PO，P A＝PM，∠HPO＝∠APM＝60°，
∴∠HP A＝∠OPM，
∴△HP A≌△OPM（SAS），
∴AH＝OM，
∵AH≤OH+AO，即AH≤11，
∴AH的最大值为11，
∴OM的最大值为11，
故选：D．
【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）.
11．函数y＝自变量的取值范围是x＞3．
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可知：x﹣3＞0，可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3＞0，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．小亮测得一圆锥模型的底面半径为5cm，母线长为7cm，那么它的侧面积是35πcm2（结果不取近似值）．
【分析】利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，母线为7cm，
∴圆锥的侧面积＝π×5×7＝35πcm2．
故答案为：35π．
【点评】此题考查了圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧
面积公式是解决本题的关键．
13．半径为R的圆内接正三角形的面积是R2．
【分析】根据题意画出图形，先求出正三角形的中心角及边心距，再根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC＝＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠BOD＝×120°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∵OB＝R，
∴OD＝，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2BD＝2×＝R，
∴S△BOC＝BC•OD＝•＝R2，
∴S△ABC＝3×R2＝R2．
故答案为：R2．
【点评】本题考查圆的内接正三角形的性质及等边三角形的面积的计算，掌握正三角形的相关性质则是解决问题的关键．
14．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为．
【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC﹣S菱形ABCO可得答案．
【解答】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，AC＝2CD＝2，
∵sin∠COD＝＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝OB×AC＝×2×2＝2，
S扇形AOC＝＝，
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积和扇形的面积，有一定的难度．
15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D 点重合，AB'交CD于点E，若AB＝3cm，则线段EB′的长为1cm．
【分析】根据旋转后AC′的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD 中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而求出AD，DE，AE的长，则EB′的长可求出．
【解答】解：由旋转的性质可知：AC＝AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD＝AC，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝30°，
∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
∴∠DAE＝30°，
∵AB＝CD＝3cm，
∴AD＝cm，
∴DE＝1cm，
∴AE＝2cm，
∵AB＝AB'＝3cm，
∴EB'＝3﹣2＝1cm．
故答案为：1cm．
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；
④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确
的结论是①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
∴x＝﹣＝2，与x轴的另一个交点为（5，0），
即，4a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，
∴25a+7b+2c＞0，
又∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程：x2+2x﹣4＝0．
【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2+2x＝4，
配方得x2+2x+1＝4+1，
即（x+1）2＝5，
开方得x+1＝±，
∴x1＝，x2＝﹣．
【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
18．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出△ABC的顶点A、顶点B的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在图中画出把△ABC先向左平移5个单位，再向上平移2个单位后所得的△A′B′C′．
【分析】（1）由△ABC在平面直角坐标系中的位置可得答案；
（2）利用割补法求解可得答案；
（3）将三个顶点分别向左平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，继而首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）A（4，3）、B（3，1）；
（2）△ABC的面积为2×3﹣×1×2×2﹣×1×3＝2.5；
（3）如图所示，△A′B′C′即为所求，
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
19．（7分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
【分析】（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，根据“160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同”列方程求解可得；
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，列不等式组：300≤20•a+50•（10﹣a）≤380，解之求出a的整数解，从而得出答案．
【解答】解：（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，
根据题意，得：，
经检验：x＝20是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，
列不等式组：300≤20•a+50•（10﹣a）≤380，
解得：4≤a≤6.7，
a取整数：4，5，6．
有三种方案：
①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50＝380，
②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50＝350，
③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50＝320，
所以方案③费用最低．
【点评】本题主要考查分式方程与不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出方程和不等式组．
20．（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，OE＝OF
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，求四边形ABCD的周长．
【分析】（1）由“SAS”可证△AOE≌△COF，可得∠OAE＝∠OCF，由“AAS”可证△EOD≌△FOB（AAS），可得OB＝OD，即可证四边形ABCD是平行四边形；
（2）由线段中垂线的性质可得AF＝AE，可得AB+BF+AF＝AB+BC＝15，即可求四边形ABCD的周长．
【解答】证明：（1）∵AO＝CO，OE＝OF，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠OAE＝∠OCF
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO
又∵OE＝OF，∠EOD＝∠FOB
∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴OB＝OD，且OA＝OC
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵EF⊥AC，AO＝CO，
∴AF＝FC
∴AB+BF+AF＝AB+BF+FC＝15
即AB+BC＝15
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝15×2＝30
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
21．（7分）已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x1x2＝0时，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m﹣1）2﹣4m2＝4m+1≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，再利用x12+x1x2＝0得到x1＝0或x1+x2＝0当x1＝0时，x1x2＝m2＝0；当x1+x2＝0时，即﹣（2m+1）＝0，然后分别解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1≥0
∴m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2，
∵x12+x1x2＝0
∴x1（x1+x2）＝0
∴x1＝0或x1+x2＝0
当x1＝0时，x1x2＝m2＝0，解得m＝0，
当x1+x2＝0时，即﹣（2m+1）＝0，解得m＝﹣，
又∵m≥﹣，
∴m＝不符合题意，舍去，
综上所述，m的值为0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
22．（9分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间
的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
【解答】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x ﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，W随着x的增大而增大，
∴当x＝32时，W＝2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000
解这个方程得：x1＝30，x2＝40．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000
∵k＝﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小．
∴当x＝32时，P的值最小，P最小值＝3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问
题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O恰好经过A、C两点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）如果CF＝2，CP＝3，求⊙O的直径EC．
【分析】（1）若要证明AB是⊙O的切线，则可连接AO，再证明AO⊥AB即可．
（2）连接OP，设OG为x，在直角三角形FCG中，由CF和角ACB为30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出CG的长，即可表示出半径OC和OP的长，在直角三角形CGP中利用勾股定理表示出PG的长，然后在直角三角形OPG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后求出直径即可．【解答】（1）证明：连接AO，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵AO＝CO，
∴∠0AC＝∠OCA＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OP，
∵PF⊥BC，
∴∠FGC＝∠EGP＝90°，
∵CF＝2，∠FCG＝30°，
∴FG＝1，
∴在Rt△FGC中CG＝＝＝．
∵CP＝3．
∴Rt△GPC中，PG＝＝＝．
设OG＝x，则OP＝OC＝x+，
在直角△OPG中，根据勾股定理得：
OP2＝OG2+PG2，即＝x2+
解得x＝．
∴⊙O的直径EC＝EG+CG＝2x++＝3．
【点评】本题考查了圆的切线的判定和相似三角形的判定既性质，常用的切线的判定方法是连接圆心和某一点再证垂直；常用的相似判三角形的判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的相似性质：对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方．24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD，连接BD和AE，再将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，再连接DF．
（1）判断四边形ABDF的形状并证明；
（2）当S四边形ABDF＝BD2时，求∠AEC的度数；
（3）连接EF，G为EF中点，BC＝4，当D从C运动到A点的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出G点所经过的路径长．
【分析】（1）延长BD交AE于点H，由“SAS”可证△BCD≌△ACE，由旋转的性质和全等三角形的性质可得BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，∠EAF＝90°，由余角的性质可
得∠AHB＝90°＝∠F AE，可得AF∥BH，可得结论；
（2）由三角形的面积公式可得AH＝BD＝，可得BH垂直平分AE，由等腰三角形的性质可求解；
（3）先求出点G在∠ACE的角平分线上运动，即可求解．
【解答】解：（1）四边形ABDF是平行四边形，
理由如下：如图1，延长BD交AE于点H，
∵将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝AF，∠CAE＝∠CBD，
∵∠E+∠CAE＝90°，
∴∠E+∠CBD＝90°，
∴∠AHB＝90°＝∠F AE，
∴AF∥BH，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∵S四边形ABDF＝BD2，
∴BD，
∴AH＝，
∴BH垂直平分AE，
∴BA＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝45°，
又∵BA＝BE，
∴∠AEC＝67.5°；
（3）如图2，连接AG、CG，过点G作GM⊥CE交CE延长线于M，GN⊥AC于N，
∵GM⊥CE，GN⊥AC，∠ACM＝90°，
∴四边形CMGN是矩形，
∵AF＝AE，∠EAF＝90°，G是EF中点，
∴AG＝GE，AG⊥EF，
∵∠CAG+∠ACM+∠CEG+∠AGE＝360°，
∴∠CAG+∠CEG＝180°，
∵∠CEG+∠GEM＝180°，
∴∠CAG＝∠GEM，
又∵∠ANG＝∠GME＝90°，
∴△ANG≌△EMG（AAS），
∴NG＝GM，
∴四边形CMGN是正方形，
∴CG平分∠ACE，
∴点G在∠ACE的角平分线上运动，
∴当D从C运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半，即为AC＝2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，直
角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，且与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．
①过点P作PE⊥BC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h取
得最大值时，点P的坐标．
②在①的条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l
的解析式．
【分析】（1）求出B、C两点坐标并代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求二次函数的解析式；
（2）①过点E作EM⊥PG于点M，能证明△PEG是等腰直角三角形，所以PE＝GP，设点P（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3），可求h＝PE＝PG＝﹣（m﹣）2+即可求h的最大值和P点坐标；②直线l与直线BC平行，过点C作CS⊥l交于点S，直线l与y轴交于点T，可知△CST是等腰三角三角形，CT＝，则可求OT＝+3＝，同时在直线BC的下方仍有与BC平行的直线l，此时OT＝3﹣＝，由此可求直线l的解析式．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3与x轴交点B（3，0），与y轴交点（0，3），
把点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①如图，过点E作EM⊥PG于点M，
∴EM∥AB，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠MEG＝45°，
∵EM⊥PG，
∴∠EGM＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEG是等腰直角三角形，
∴PE＝GP，
设点P（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3），
∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，则PE＝PG＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），
即h＝PG＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，h取最大值，
此时P（，）；
②由①可知PE＝，
如图：直线l与直线BC平行，
过点C作CS⊥l交于点S，直线l与y轴交于点T，
∵线l到直线BC的距离等于PE，
∴CS＝，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠STC＝45°，
∴△CST是等腰三角三角形，。