全概率公式及应用

全概率公式及应⽤
【标题】全概率公式及应⽤
【作者】刘媛
【关键词】全概率公式随机事件条件概率
【指导⽼师】林昌盛
【专业】数学与应⽤数学
【正⽂】
⼀、引⾔
在研究实际问题的过程中,除了要考虑事件A的概率P(A)之外,还须考虑在“已知事件B已发⽣”条件事件A发⽣的概率.⼀般地说,后者的概率与前者的概率未必相同.为了清晰起见,第⼆类情况下的概率称为条件概率,记为P(A|B)或PB(A).条件概率是概率论中⼀个重要的基础概念,与之有关的三个重要公式是：乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式,其中以乘法公式为基础的全概率公式在实际中有着⼴泛的应⽤.全概率公式就是把⼀个复杂的事件分解成若⼲个互不相容的简单事件,再由简单事件的概率求得最后的结果.本⽂在具体分析全概率公式的同时还发展出⼏个由全概率公式导出的推论,在分析其中定理的同时还运⽤其公式解决实际⽣活中⽐较典型的例
⼦.
⼆、全概率公式的基本理论
定义设A1,A2,…,An为n个事件,若满⾜：
（1）完全性：A1∪A2∪…∪An＝Ω；
（2）互不相容性：AiAj＝,i≠j,I,j＝1,2,…,n；
（3）P(Ai)＞0,i＝1,2,…,n,
则称A1,A2,…,An为Ω的⼀个完备事件组.
定理1 设A1,A2,…,An为⼀完备事件组,则对任⼀事件B,成
⽴：＝
分析：从形式上看,公式的右边⽐左边复杂.实质上,定理中给出的条件“B是任⼀事件”往往很复杂,要直接求出B的概率很难⼊⼿,若能把事件B分解为许多简单的、互不相容的事件之和,且这些事件的概率可求,则求出就迎刃⽽解了.从下⾯的证明,也可以看出这个思路.
证明：∵＝Ω＝( )＝
由条件（2）AiAj＝,i≠j
∴(BAi)(BAj)＝B(AiAj)＝＝(i≠j)
∴＝( )＝
由于＞0,应⽤乘法公式得：＝.这个公式称为全概率公式.
全概率公式中的条件（1）可推⼴为,得如下定理：
定理2 设（1）A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件；（2）.则对事件有＝. 分析：从形式上看, 是的⼀个⼦集,并且A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件,那么我
们就可以分解为n个互不相容的独⽴事件之和后在相加,就得出了事件的概率.
证明由定理条件知：＝＝,
再由可列可加性知：＝
由条件概率得：＝.
全概率公式中的条件（1）⼜可推⼴为＝1,可得如下定理.
定理3 设A1,A2,…,An,…为两两互不相容事件列且＝1,则对任⼀事件有：＝
分析：从定理3看,由于A1,A2,…,A,,…为两两互不相容事件列且＝1,如果我们从这个⽅⾯不好计算的话, 就可以从事件列的对⽴事件来求其答案.因为的概率为1,那么它的对⽴事件的概率就为0.
证明因＝1,则＝0.故有＝＝＋＝＋0＝
定理4 设ξ是离散型随机变量分布列为：P(ξ＝ai)＝pi i＝1,2, …,则对于任何事件有＝ P(B︱ξ＝ai)pi
分析：本定理主要是⽤来解决离散型随机变量例题的,如遇到有离散型随机变量的分布列,就⽤＝ P(B︱ξ＝ai)pi这个公式来解决.
定理5 设ξ为连续型随机变量,密度为P(x),则对任意事件有＝ P(B︱ξ＝x)P(x)dx. 证明在数轴上取分点x0＜x1＜x2＜…＜xn+1,则随变量落在Δxi＝(xi,xi+1)中的概率为P(ξ∈Δxi)＝ P(x) dx,Δxi同时也表⽰⼦区间长度,当Δxi较⼩时就有
P(ξ∈Δxi)≈P(xi)Δxi,并且这时分布列视为ξ的⼀种近似分布.由定理3知≈
P(B︱ξ＝xi)P(xi) Δxi,再由数学分析知识,上式令‖Δx‖＝maxΔxi→0得＝ P(B︱ξ＝x)P(x)dx
其中P(B︱ξ＝x)为在ξ＝x条件下事件的概率.全概率公式的作⽤在于：直接求复杂事件的概率⽐较困难,但在附加条件Ai或ξ＝xi,ξ＝x下条件⽐较容易,只要把与有关考虑全,并能求出各条件下发⽣的概率或分布,在利⽤本⽂的公式可求,可以说这是⼀种“分情况法”分解复杂事件的⽅法,使⽤本⽂结出的全概率公式,不仅计算简单,⽽且分析问题思路变得⼗分清楚.下⾯就通过⼀些例题,来讨论全概率公式在实际解题中的应⽤.
三、全概率公式的应⽤及分析
（⼀）三个简单问题
问题1 设1000件产品中有200件事不合格产品,依次作不放回抽取两件产品,求第⼆次取到的是不合格产品的概率.
解可令“第⼀次取到的是不合格产品”
“第⼀次取到的是合格产品”
“第⼆次取到的是不合格产品”
由题意＝＝0.2 ＝1- ＝0.8
⼜因是不放回取出,所以＝(在A条件下发⽣B的概率) ＝(在条件下发⽣B的概率)
由于、对试验是相斥、完备的,故由全概率公式可得
＝? ＋?
＝0.2? ＋0.8? ＝0.2
问题2 设仓库中某种产品是由甲、⼄、丙三个⼯⼚⽣产的,且分别是、、,其次品率分别为2%、2%、4%,现从中任取⼀件,求拿到次品率的概率.
解：令A1,A2,A3分别表⽰取到甲、⼄、丙三⼚的产品,B表⽰取到次品的事件.
则＝＝＝
⽽＝2% ＝2% ＝4%(其中表⽰在Ai条件下取到的次品的概率)由全概率公式
＝＋)＋
＝×＋×＋×＝2.5%
问题3 设甲箱中有a个⽩球b个⿊球,（a＞0,b＞0）,⼄箱中有c个⽩球,d个⿊球,⾃甲箱中任意取⼀球放⼊⼄箱,然后再从⼄箱中任意取出⼀球,试求事件A“从⼄箱中取得⼀球为⽩球”的概率.
解：以表⽰“⾃甲箱中取出的球为⽩（⿊）球”,显然, ,
由题意：＝, ＝
若出现,那么⼄箱中有c+1个⽩球,d个⿊球,故＝.类似地,若出现,则⼄箱中有c个⽩球,d+1个⿊球,故＝,由全概率公式得
＝? ＋?
＝? ＋?
＝
（⼆）解题⼀般思路
1) 确定所求事件,并依题意将事件进⾏正确剖分.
例1是这⼀类问题中最为简单的⼀种,不妨以之为例.解应⽤全概率公式的问题,⾸先应分析所求事件.在例1中,第⼆次取到的是不合格品这⼀事件即为事件,依据题意,依次做不放回抽取⼆产品,则第⼀次抽到的产品是否为不合格产品,显然对第⼆次抽取产⽣影响,所以必须将第⼀次可能抽取到的产品进⾏分类.只有两种情形,⼀种是合格产品,另⼀种是不合格产品,这就是对所求事件进⾏剖分.例1中将这两种情形分别设为与表⽰两对⽴事件.由于或事件的发⽣对发⽣的概率都产⽣影响,故发⽣的概率都产⽣影响,故发⽣的概率由⼆者共同决定.因此该题使⽤全概率公式是正确的.
2) 列出已知数据.
根据题意,按照前⾯所设事件,将已知的、的概率、,条件概率、.即若事
件或发⽣时事件发⽣的概率写出或求出,⼀般使⽤古典概率得求法.
3)将已知数据代⼊全概率公式,求出.
将或与对应的条件概率或⽤乘法公式后相加,即求出.
以上只是最简单的应⽤全概率公式例题的解法.其实,例2中解法只是将所求事件剖分成三类的情形,全概率公式也相应的扩充为三项之和,也即是说更复杂的全概率公式问题,其解题过程也是上述三个步骤.只须第⼀步将所求事件分成更多的类,具体分类应依据题意,并且满⾜事件剖分的条件,然后依次完成第⼆、三步.同时事件剖分成⼏类,应⽤的全概率公式即为⼏项之和.
此外,应注意在解题过程中,不要被问题的表象所迷惑.全概率公式的问题中,有许多相似的情况,如：合格产品、⽩球等代表正因素,不合格产品、⿊球代表反因素,⼀定的产品箱⼦、袋⼦代表因素集合或操作范围.该类问题,总是在⼀个范围内取出正或反因素,或在⼀个范围中取出正（反）因素放⼊另⼀范围中,这样的操作进⾏⼀次或进⾏多次后,求从最终操作结束的某个范围内取出⼀正（反）因素的概率.解较抽象问题时,可将其具体化,以期更好的完成.
（三）解决复杂问题
问题4 设甲、⼄⼆⼈⾃a个⽩球,b个⿊球中任取⼀球,从甲开始,然后轮流取,每次取后
不还原,试求甲（或⼄）先取得⽩球的概率P1(或P2).
解为了使甲先取出⽩球,必须使甲第⼀次就取得⽩球（下简记为“⽩”）,或者甲第⼀次取得⿊球,⼄第⼆次也取得⿊球,甲第三次取得⽩球（简记为“⿊⿊⽩”）,因⽽事件A“甲先得⽩球”可表⽰为互不相容的事件：“⽩”,“⿊⿊⽩”,“⿊⿊⿊⿊⽩”,……的和,⽽事
件“⽩”的概率为,事件“⿊⿊⽩”的概率可由乘法公式算出为? ? ,事件“⿊⿊⿊⿊⽩”的概率仍由乘法公式得? ? ? ? ….
所以P1＝〔1＋＋＋…〕
同理 P2＝〔＋＋…〕
问题5 ⾃a个⽩球,b个⿊球中同时任取n个球（a＋b＞n）,试求⾄少取出⼀个⽩球的概率P.
解同时取出n个球,可看成不还原地连取n次,每次取⼀球,为了使n次中⾄少取出⼀⽩球,必须第⼀次就取得⽩球（概率为）,或者第⼀次取得⿊球,第⼆次取得⽩球（概率
为? ）,…,这些事件互不相容,由全概率公式有：
P＝＋? ＋…＋? ?…??
四、全概率公式解决典型问题
在利⽤全概率公式解题时常遇到的就是关于求取到次品的概率或者射击的概率的问题,下⾯将重点介绍以下⼏个例⼦：
问题6 飞机有三个不同的部分遭到射击,在第⼀部分被击中⼀弹,或第⼆部分被击中两弹,或第三部分被击中三弹时,飞机才能被击落,其命中率与每⼀部分的⾯积成正⽐.设三个部分的⾯积的百分⽐为0.1,0.2,0.7,若已被击中两弹,问飞机被击落的概率.
解设B＝“飞机被击落”,B是⼀个复杂的事件,问P(B)等于多少.要构造⼀个完备事件组,从飞机已被“中两弹”⼊⼿,这两弹击中飞机三个部位的所有结果,便是⼀个完备事件组.
设ωij＝｛第⼀弹击中飞机的第i部分,第⼆弹击中飞机的第j部分｝,i,j＝1,2,3,所有的结果为：
ω11,ω12,ω13,ω21,ω22,ω23,ω31,ω32,ω33.
设A1＝｛飞机第⼀部分中两弹｝,A1＝｛ω11｝
A2＝｛飞机第⼆部分中两弹｝,A2＝｛ω22｝
A3＝｛飞机第⼀部分只中⼀弹｝,A3＝｛ω12,ω13,ω21,ω31｝
A4＝｛其他情况｝＝｛第⼆部分最多中⼀弹｝＝｛ω33,ω23,ω32｝,A1,A2,A3,A4是⼀个完备事件组.
因为命中率与每⼀个部分的⾯积成正⽐,所以
P(A1)＝P(ω11)＝0.1×0.1＝0.01
P(A2)＝P(ω22)＝0.2×0.2＝0.04
P(A3)＝P(ω12,ω13,ω21,ω31,)＝P(ω12)＋P(ω13)＋P(ω21)＋P(ω31)＝0.1×0.2＋0.1×0.7＋0.2×0.1＋0.7×0.1＝0.18
P(A4)＝1－〔P(A1)＋P(A2)＋P(A32)〕＝0.77
或P(A4)＝P(ω33,ω23,ω32)＝P(ω33)＋P(ω23)＋P(ω32)＝0.7×0.7＋0.2×0.7＋0.7×0.2＝0.77
由题意
P(B︱A1)＝1,P(B︱A2)＝1,P(B︱A3)＝1,P(B︱A4)＝0
∴P(B)＝ P(B︱Ai)＝0.01＋0.04＋0.18＝0.23
即飞机被击中两弹,被击落的概率为0.23.
问题7 设甲袋中有2只红球3只⽩球,从甲袋中任意摸出2球放⼊⼄袋.现就⼄袋⽽⾔,有放回地摸出3球,求摸出红球数的概率分布及其数学期望.
分析从⼄袋摸出的红球概率数X的可能取值为0、1、2、3,它们的概率是与⼄袋中的红⽩球数的分布情况有关的.我们可以将⼄袋中的红⽩球的分布情况划分成若⼲不相容的事件,就每种情况求出X＝0、X＝1、X＝2、X＝3的条件概率,然后由全概率公式就可解决问题. 解⽤Ai（i＝0,1,2）表⽰甲袋摸出的2球中红球数为i的事件,
P(A0)＝＝ P(A1)＝＝ P(A2)＝＝
1) 当A0发⽣时,在⼄袋中摸出⼀球时红球的概率为0,
则 P(X＝0︱A0)＝1 P(X＝1︱A0)＝0 P(X＝2︱A0)＝0 P(X＝3︱A0)＝0
2) 当A1发⽣时,在⼄袋中摸出⼀球时红球的概率为,
则 P(X＝0︱A1)＝C 〔〕3＝ P(X＝1︱A1)＝C 〔〕3＝
P(X＝2︱A1)＝C 〔〕3＝ P(X＝3︱A1)＝C 〔〕3＝
3) 当A2发⽣时,在⼄袋中摸出⼀球时红球的概率为1,
则 P(X＝0︱A2)＝0 P(X＝1︱A2)＝0 P(X＝2︱A2)＝0 P(X＝3︱A2)＝1
因为Ai（i＝0,1,2）两两互不相容,且构成样本空间的⼀个分割,故由全概率公式
得
P(X＝0)＝P(A0) P(X＝0︱A0)＋P(A1) P(X＝0︱A1)＋P(A2) P(X＝0︱A2)
＝1×＋×＋×0
＝
P(X＝1)＝P(A0) P(X＝1︱A0)＋P(A1) P(X＝1︱A1)＋P(A2) P(X＝1︱A2)
＝×0＋×＋×0
＝
P(X＝2)＝P(A0) P(X＝2︱A0)＋P(A1) P(X＝2︱A1)＋P(A2) P(X＝2︱A2)
＝1×＋×＋×0
＝
P(X＝3)＝P(A0) P(X＝3︱A0)＋P(A1) P(X＝3︱A1)＋P(A2) P(X＝3︱A2)
＝×0＋×＋×1
＝
因此,从⼄袋中摸出红球数X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX＝×0＋×1＋×2＋×3＝
本例是⼀个很好的全概率公式应⽤题,涉及到超⼏何分布、⼆项分布等重要的概率公式的应⽤,它能帮助学⽣提⾼综合地分析问题和解决问题的能⼒.另外,本例中的所有具体数据都可以推⼴到⼀般的情形.如我们可将从⼄袋中“重复3次摸球”改为“重复k次摸球”,此时,从⼄袋摸出的红球数X的可能取值为0、1、2、…、k,仍然分三种情况：
1）当A0发⽣时,在⼄袋中摸出⼀球时红球的概率为0,
则 P(X＝0︱A0)＝1 P(X＝i︱A0)＝0 i＝1,2,…,k
2）当A1发⽣时,在⼄袋中摸出⼀球是红球的概率为,
则 P(X＝i︱A1)＝C 〔〕k i＝0,1,2,…,k
3）当A2发⽣时,在⼄袋中摸出⼀球是红球的概率为1,则
P(X＝i︱A2)＝0 i＝0,1,2,…,k-1 P(X=K|A2)=1
故由全概率公式得：
P(X＝i)＝ P(X＝i︱Aj)
即 P(X＝0)＝×1＋×()k
P(X＝k)＝×()k＋×1
P(X＝i)＝×C〔〕k i＝0,1,2,…,k-1
E(X)＝×P(X＝i)
＝××C〔〕k＋k〔×()k＋〕
＝×〔〕k ×C＋k〔×()k＋〕
＝×〔〕k ×C＋k〔×()k＋〕
＝×〔〕k ＋k〔×()k＋〕
＝×〔〕k（2k-1-1）＋k〔×()k＋〕
＝
原题的结果是此处k＝3的情形.
五、结束语
以上这些问题表明,某个事件B的出现存在各种不同的条件,这些条件称为假定事件,记为
A1、A2、…、An.这些假定事件是相斥且完备的.每个事件赋予事件B⼀定的概率P(B︱A1)，P(B︱A2)，…，P(B︱An).于是事件B出现的概率等于各个假定事件下事件B的条件概率与各个假定事件出现的概率得乘积之和.另⼀⽅⾯,全概率公式中的P(B)称为全概率,它的本
质是⼀种平均概率.因为事件B的出现依赖于各个假定事件A1、A2、…、An.在各个假定事件下,事件B的条件概率P(B︱Ai)是不同的,概率P(B)是这些条件概率P(B︱Ai)的加权均值.这样,为记忆全概率公式带来了⽅便,由所求事件B剖分得A1、A2、…、An,有了P(Ai)⼜有了P(B︱Ai)（i=1,2,…,n）,利⽤乘法公式对应相乘、再相加,就得到全概率公式.。