2009年眼科病床的合理安排模型B题

眼科病床的合理安排模型
摘要
本文根据该医院眼科部门对5种不同疾病治疗的实际情况，首先建立了一套较为合理的评价指标体系用以评价病床安排模型的优劣，然后优化出新的病床安排模型并使用该模型对原有数据进行模拟，最后在不同情况下对原有模型作相应的改进和优化。

问题一：在建立评价指标体系时，本文从院方和患方两个角度展开分析，提取了不同性质的多个指标，并进一步结合该模型下排列的发展趋势，建立了一个由总到细的评价指标体系。

该体系所包含的指标为：流动趋势，平均准备时间和平均排队时间。

问题二：对原始数据进行挖掘并分析FCFS规则的不足之处，从而优化出更为合理的病床安排原则，由此建立新的安排模型并编程模拟。

采用问题一中所建立的评价指标体系对模拟结果进行评价。

结果表明：新旧模型的综合评价指标值分别为0.7926和1，安排效率有了明显的提高。

问题三：为了使院方能够在患者就诊时就给出病人入院时间的大致区间，首先建立了一个基于稳态概念的概率模型。

该模型对四种疾病的术后恢复时间进行拟合，并根据不同分布函数分别建立概率分布模型，求得稳态下单位时间内接受入院的各类疾病患者人数，最终可以通过对排队队列中该种疾病患者数目情况的分析，简便快捷地给出该患者入院的大致时间。

进一步的分析发现，由于准备时间（住院后到手术前的时间）相对稳定，排队时间的不确定性是由已住院患者术后恢复时间的随机性引起的。

对原始数据进行统计分析，经检验证明，除青光眼以外的4种眼科疾病的恢复时间曲线良好地服从正态分布，青光眼的恢复时间曲线服从自由度为2的t分布。

根据已知的概率分布，采用随机函数模拟的方法对该患者前的每一个患者的恢复时间进行模拟，并依照第二问中所给出的安排模型进行病床安排，得出该患者入院的大致时间。

问题四：由于条件发生变化，根据第二问中的思路，重新拟定出新的病床安排原则。

并依据矩阵下的决策论来对手术时间安排设定目标函数，并求解出最优情况下白内障手术时间应安排在星期三和星期五，并在星期三对双眼白内障患者进行第一次手术。

问题五：利用各类疾病样本的平均值来描述该类疾病患者排队时间和准备时间的整体情况。

选取总床数与相应时间乘积的总加权作为目标函数，在权值之和为1的约束条件下，求得各类患者占用病床比例的最优值。

考虑到此模型对数据的依赖性，进一步对模型进行改进，采用与实验数据相结合的逐步迭代法逐步逼近真实的最优解。

关键词：数据挖掘层次分析法分布检验数据模拟
一．问题的重述
医院排队一直以来都是一个热点问题，其主要的因就是传统的FCFS（First come, First serve）安排规则越来越不能适应实践的需要。

本文以某医院的眼科及其住院部为背景，试图解决一下几个问题：
一．分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

二．就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对所建立的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

三．建立模型，根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

四．若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，并就医院的手术时间安排是否应作出相应调整作出讨论。

五．有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案。

就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

二．模型的假设
1.拟定出院的病人第二天早上都能按时出院，其床位当日即可让给其他病人；
2.假设拟定出的第二天住院名单上的病人都能按时来医院就诊；
3.其他眼科疾病比较复杂，建模时这些眼科疾病不考虑急症；
三．符号说明
四．问题分析及模型建立
4.1.1问题一的分析：
为了综合全面地评价这个病床安排模型，我们不仅需要从医院的角度出发，使整体效率最高，同时，我们还应该从病人的角度出发，考虑他们在排队过程中的满意程度等。

从提高效率的角度出发，由于对第j （j =1,2…）个病人均有以下等式成立：
j j j j h z p d ++=
那么，新的安排模型应该尽量使得j d 的每一个组成指标尽量减小以达到最优。

于此同时，医院还需在满足每个病人高效率的同时尽量使所有病人的平均满意程度最高。

并且，我们不能仅仅局限于对于已有现状的分析，还应当综合考虑一个安排模型的发展趋势，这样才能增加评价结果的科学性和预见性。

因此，我们首先给出以下几个定义：
流动趋势：病人流入率和病人流出率的比值，即)0(2
1≥=
L v v L ；
其中，1v 表示单位时间内进入到医院这个系统的人数（即单位时间内的门诊人数），
2v 表示单位时间内离开医院这个系统的人数（即单位时间的出院人数）。

4.1.2问题一的模型建立：
经过仔细的分析和筛选，我们提取了以下三个相对独立的指标作为衡量一个安排模型的依据：
(1) 流动趋势 L
有定义可知：
当L>1时，现有的服务系统不能满足目前的病人需求，也就是说该服务系统在短期内会呈现日益紧张的趋势;
当L<1时，现有的服务系统能够超额满足现有的顾客需求，即它的服务量有盈余，在短期内会呈现日益松弛的趋势;
当L=1时，现有的服务系统能够恰好满足现有的顾客需求，两者在短期内会达到相对稳态。

该指标反映的是某安排模型对现有病人需求量的满足程度，并可以用于描述该安排模型所得效果在短期未来的一种变化趋势。

(2) 平均准备时间 ∑===n
j j
n z n z 1
)2,1(1
根据题意，不同种类的疾病具有不同的必要准备时间（如白内障需要1—2天准备时间，青光眼和视网膜疾病需要2—3天的准备时间），而非必要准备时间则是指超出必要准备时间的那部分。

从病床使用率的角度来看，多余的这部分准备时间实际上是在浪费床位。

所以，平均准备时间z 反映了该模型中对于病床的利用效率。

(3) 平均排队时间p
满意度一般用以衡量病人对一个服务系统的满意程度，在该题中与顾客的等待时间
呈负相关，所以我们选取平均排队时间作为衡量满意度的一个标准。

另外，平均排队时间的长短可以从另一个侧面反映不同的安排顺序的优劣程度。

它与平均准备时间这一指标有所不同：平均准备时间重点反映不同安排在时间效率上的差异；而该指标则侧重反映在相同时间效率下，整体满意度的情况。

例如：现有A、B、C三名患者先后来到门诊部看病并等待住院。

其中，A需住院10天，B需5天，而C只需1天。

若根据FCFS规则，则将按ABC的顺序入住医院，A、B、
C的等待时间分别为0，10，15天，得p=8.33（天）。

但若考虑使p最小则应按照CBA 的顺序入院，此时p=2.33（天），虽然两种排列顺序从时间效率上来看都是在16天内
完成了3名病人的治疗，但却在整体满意度上有着显著差别。

接下来，我们来逐步确定三个指标的权重。

第一个指标是一个反应总体效率及变化趋势的指标，它概括地反映了这个安排模型在时间效率上的优劣程度。

而后两个指标则是从两个不同的侧面来对这个安排模型进行衡量。

参考《公立医院绩效评价指标体系的研究》【1】与《特色医疗技术综合评价指标体系构建》【2】中通过使用Delphi专家咨询法求出的各项指标权重:“衡量总体医疗水平效果的指标、衡量实用性的效率性指标、衡量的社会认可程度的效用类指标各自的权重大致比例为0.4：0.3：0.3。

”由于时间的限制，我们无法验证其正确性，但考虑到其权威性和相关实践的反复验证，我们不妨参考其做法，将上述三个指标的重要性权重设定为：0.4：0.3：0.3。

通过对题中的数据进行统计，我们得到原来FCFS原则下的各项指标的相关数据如下表所示：
（1
（2）平均准备时间z：
由于白内障的必要等待时间比青光眼和视网膜疾病的少1天，并且，经过对数据的统计我们证实白内障准备时间中1、2天所占比例与其他眼科疾病2、3天所占比例大致相等。

因此，为了避免由必要等待时间不同而造成的数据失真，保证该指标能够准确地反映病床的使用效率，我们将白内障的平均等待时间在所求结果上人为加上1天。

（3）平均排队时间p =12.68天。

4.2.1问题二的分析：
按照题意，该住院部当前已住院的病人数、各种病人所占比例及其目前的治疗阶段都是确定并已知的，同时我们也掌握第二天的拟出院人数和今天以前（包括今天）的待入院登记人数及其病情。

在这样的情况下，我们若要重新建立一个更为合理的病床安排模型就必须首先分析了解当前的FCFS 规则有何缺陷，缺陷主要在于何处以及如何改进这些缺陷。

4.2.2问题二的模型建立：
下面，我们从j d 的每个分量入手，分别讨论原FCFS 规则所存在的问题及其解决对策。

因为j h 与每个病人的身体状况和手术的进行情况有关，不是通过合理安排能够控制和改变的，所以下面我们对这一指标的优化暂时不予考虑。

根据题目所给条件，所有病人手术之前所需的准备时间都是基本确定的，分别为：急症1天，白内障（单眼和双眼）1-2天，其他眼科2-3天。

通过对已给数据的分析，我们得到在FCFS 规则下的统计图表：
其中，急症因为其特殊性，准备时间全部为1天，我们便不做图分析。

从上图我们不难发现急症和其他眼科疾病的准备时间都控制在题中所给的一个良好的范围之内（2-3天）。

因此，我们可以认为目前医院的FCFS
规则对病床的安排就准备时间这个指标而言是高效率的。

但是，单眼和双眼的白内障病人则分别有37%和60%
在病床上准备了超过实际所需的时间，这样就大大浪费了医院的病床资源。

于是，我们认为目前医院的FCFS规则对白内障病人而言在准备时间这个指标上是低效率的。

下面，我们首先对这一方面进行改进。

通过分析，我们发现造成这种低效率情况的原因主要是因为白内障手术只有在星期一和星期三才能完成，并且出于节约病床和更好地促进病人恢复等方面的考虑，双眼白内障病人都被安排在星期一和星期三分别进行第一次和第二次手术。

这样，一旦白内障病人在住入病房时错过了最佳入院时间（如星期天和星期二）就需要等待一段相对而言较长的非必要准备时间。

而对于其他眼科疾病，因为只有星期一和星期三不能进行手术，而准备时间可以在2天后或者3天后，所以大部分该类病人能够按时进行手术是合理的。

但同时我们也考虑到一种特殊情况：当病人本身需要准备三天时间而改进行手术当天又正好是星期一和星期三的情况时，则需要四天的准备时间。

观察上表我们不难知道这样的情况并没有发生。

通过对所有数据的仔细分析，我们发现所有等待三天的其他眼科疾病病人都是在星期二和星期四进行的手术。

这就存在两种情况：（1）他们是在两天准备时间过后因为拟手术时间不能进行手术而耽误了一天；或者（2）三天准备时间过后正好为星期二或星期四(见附表*)。

若为后者，考虑到目前的病床安排规则是不考虑病人所患疾病的，那么这种需要三天准备时间的其他眼科病人应该均匀分布在一个星期中的各天。

但是这种情况在非周六周一的数据中也没有出现一次，于是，我们有理由将“其他眼科病人需要三天准备时间”视为小概率事件不予考虑。

因此，新的病床安排模型的第一条原则为：
（1）若明天为星期六和星期日：在满足急症病人的需求之后，尽量满足双眼白内障病人的需求；
（2）若明天为星期一或星期二：在满足急症病人的需求之后，尽量满足单眼白内障病人的需求；
（3）对于其他眼科疾病的病人，只要两天准备时间过后时间不冲突的即可进行相应手术。

根据以上原则，新模型能在准备时间这一指标上改善了原有的FCFS规则。

进一步分析发现，最初的FCFS模型并没有将等待入院的病人按照疾病种类的不同进行分类，这样虽然在一定程度上保证了病人之间的公平性，但很可能导致在效率相同的条件下使整体的满意率很低。

于是，在总效率相等的情况下，我们考虑通过提高满意度来进一步优化新的病床安排模型。

特别是对于其他就诊条件相差无几的青光眼和视网膜疾病，它们的主要差异就体现在此。

因为满意度和整体的平均等待时间成反比，而每位病人的等待时间又和前面病人的恢复时间相关联。

具体来说，如果其他情况相同（排除急症的情况）但恢复时间不同的两位不同病症的病人同时等待排队，显然，让恢复时间较短的病人排在前面可以使整体的平均等待时间最短。

虽然这时可能会出现不公平的情况：门诊时间较晚的病人反而先住入医院，但从全体病人的角度来考虑，即便不能在时间提高效率，这样的安排方法也会使平均满意度更高，在一种程度上优化了原有的安排模型。

因此，新的病床安排模型的第二条原则为：
在其他情况（排除急症)相同的等待者中，尽量使恢复时间短的病人先入院接受治疗。

通过对所有数据的统计，各种疾病的平均恢复时间如下图所示：
总计：
以上数据进一步支持了我们在满足急症病人需求的基础上首先考虑白内障患者以缩短准备时间的第一条原则，同时，也说明青光眼患者的恢复时间平均较视网膜疾病患者低20%左右。

根据第二条原则，青光眼患者的优先性应该高于视网膜疾病患者。

虽然从理论上来说将所有青光眼患者都安排在视网膜疾病患者的前面可以使p最
低，但这样的可操作性并不强。

因此，我们考虑在一个相对较短的周期内使青光眼病人安排在视网膜疾病病人的前面，这样就能达到既提高满意度又不完全丧失公平性的结果。

下面，我们将一周内每一天各种疾病病人进入系统的平均数量统计在下图：
总计：
也就是说我们每周至少要分别安排治疗
m个第i类病人才能保证整个排队队伍的
i
长度保持在一个相对稳定的状态甚至逐渐缩短。

给出了各类病人每周最少接待量以后，我们还需要就可能出现的剩余病床的分配原则予以进一步的讨论。

新的病床安排模型的第三条原则为：
（1）如果剩余床次出现在星期二和星期日，根据第一条原则我们首先都给白内障患者（星期二的给单眼白内障，星期日的给双眼白内障患者）；
（2）如果剩余床次出现在星期五，根据第二条原则我们全部给与青光眼患者。

新的病床安排模型的第四条原则为：
得到第二天各类疾病的住院人数后，虽然各人的体质不同，但都可以认为其恢复时间是服从一定分布函数的，因此，此时所有同类病人即可视为同质的，先后顺序根据其门诊的先后顺序来确定。

综上，我们给出以下病床安排模型：
4.2.3问题二的模型求解：
运用所编的MATLAB程序【3】（见附录源程序1），我们将8月11日至8月24日两个星期的病床根据新建立的模型重新安排，列表见附录表2。

4.2.4问题二的模型评价：
根据第一问中所得到的评价指标体系，我们综合运用文献中的权值，得到两个安排模型的各项指标标准化以后如下表所示：
通过上表可以发现，改进后的安排模型在各项指标上都对原规则进行了优化，特别是在平均准备时间上面，优化幅度较大，整体效果良好。

4.3问题三的模型建立：
根据上一问中的模型分析可知，我们的病床安排规则能最终达到一个较为稳定的状态，在这个状态下，单位时间的内患不同种类的疾病的患者将以一个较为稳定的数量k
被接受进入医院看病。

我们设定
i
k（i=1…4）表示单位时间内接受患第i种病的病人数。

为了求得)
(t
H
k
的分布函数，我们对所给数据进行统计分析，在进行正态性检验之后，有其中的三个函数（i=1，2，4）通过了检验（见附录图3-6）。

其中没有通过正态分布检验的)
(
3
t
H通过了t分布检验。

白内障单眼患者（i=1）：
恢复时间
分
布
概
率
均值：μ= 2.9028
标准差：σ=0.69525
即(
~
1
N
x 2.9028, 0.483373)
白内障双眼（i=2）
恢复时间
分
布
概
率
均值：μ= 4.9634
方差：σ=0.597218
即(
~
2
N
x 4.9634，0.356669）
青光眼的数据（i=3） 视网膜患者（i=4）
拟合青光眼数据，该数据服从自由度为2的T 分布 平均值：μ= 10.168 即)2(~3t x 标准差：σ=2.066670 均值E （3x ）=8.0769 即N x ~4（10.168，4.271）
在n 个单位时间内：第i 种病有i k 个病人住院接受治疗，在医院时间总共为∑=i
nk i i x 1，
设第i 种病的患者在单位时间内住院人数i G ，则在n 个单位时间内患第i 种病的患者总共在医院的时间为i nG 。

当n 足够大时，整个系统达到一个稳定的状态，因此，从两个方面来看的i 种疾病患者住院的总时间应该相等。

即， ∑=i
nk i i x 1=i nG ，
也即，
i nk i i
G n
x
i
=∑=1。

由于i x 是满足独立同分布的随机变量，而且等式成立的条件是n 足够大。

因此，根
据林得贝格-勒维中心极限定理可以知道，当n →∞时，则i
nk i i
nk x
i
∑=1
~ N(μ，
i
nk 2
σ)其中μ表
示i x 的期望，2σ表示i x 的方差。

1234567
89101112131415
恢复时间
分布概率
恢复时间
分布概率
进而
i
nk i i
i nk x k i
∑=1
~ N （μi k ，n
k i 2
σ），
也就是 i G ~ N （μi k ，n
k i 2
σ），
根据的辛钦大数定律可知，当n 足够大时，可以把平均观察值
n
x
n
i i
∑=1
作为E （i x
）的近似值，即i T =
n
G
n
i i
∑=1
≈E （i G ）=μi k
在病人在门诊时，根据病人就诊时所患疾病以及同样是患该疾病等待入院的人数，并用此人数除以单位时间的就诊人数i k 就能计算出所需要的时间。

但由于使用用统计变量T 计算出均值)(i x E 并不是准确的，根据正态分布和t
分布函数分布概率，我们可以求出在70%概率下期望值的置信区间：
从而导致i k 的变化：
4.4.2问题四的模型建立：
设n n ij a A ⨯=][，则不妨称该矩阵为等待时间矩阵。

由题意，外伤患者从住院到接受手术都只需要等待一天，故我们在此矩阵中不再考虑外伤所对应的向量。

具体算法如下：
Step1 设定白内障手术的时间。

通过对题意的分析，我们列举一些简单且必须的原则如
下，以缩小搜索范围：（1）由于白内障病人中有双眼需要进行手术的患者，因此，为了提高病床的利用率，一星期内至少要做两次手术；（2）根据手术要求，两次手术间隔至少1天。

现设手术所在时间星期为m 和n （m<n ），且双眼白内障的第一次手术在星期m 进行。

Step2 根据所安排的白内障手术时间计算出相应的等待时间矩阵，计算原则如下：
|}{|min ,0||j x n
m x j x -=>- ，i=1
=ij a 7-|x-j| ，i=2
|}{|min ,1||j x n
m x j x -≠>-，i=3，4
其中，|x -j |表示星期j 与其之后的星期x 之的间最少间隔天数。

Step3 为了让矩阵可以在横纵两个方向上同时考虑其某一元素的特殊性，现设定变量ij
a ' 其中，ij
a '=}
{min }{max 7
17
1ij j ij j ij
a a a ≤≤≤≤-，从而形成了新的等待时间矩阵A '
Step4 求解相应的目标函数值。

目标函数为：∑=≤≤≤≤-=7
1
4
14
1,|}{min }{max |max j ij i ij i n m a a S 。

目标函数的设计思路：
我们不难发现，由于手术时间安排的不同，在一个星期中，每一天得不同疾
病的患者会有不同的等待时间。

同时，考虑到某一天中的空床位是有限制的，所以我们应尽量避免使不同疾病的最佳入院时间出现在同一天内；换句话说，为了更好的利用有限的空床位，我们应该使每一天都有一个明显的最优入住疾病。

Step5 {}n m S S ,max =，相应角标中的m 和n 值即为所求。

4.4.3问题四的模型建立：
运用MATLAB 对上述流程求解，得到结果如下： 目标函数S=6.833333，m=3，n=5
即，在星期三对双眼白内障患者进行第一次手术时达到最优。

其中，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=22
334323223343236345672143451212A
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛='11.5
1.521.511.511.51.521.511.50.50.6670.83311.1670.3330.1670.751
1.250.250.50.250.5
A 综上所述，在周六、周日已经不再安排手术的情况下，根据模型所得结果，我们可
以得出：应将白内障手术时间定为星期三和星期五，并在星期三对双眼白内障患者进行第一次手术。

4.5.1问题五的分析：
我们考虑到平均逗留时间可以表示为：j j j j h z p d ++=，其中j z 与j h 之和即为题目中所说的住院时间，此题中要求计算平均逗留时间最小的病床分配模型，即是求三项和最小。

4.5.2问题五的模型建立：
排队时间，手术的准备时间和恢复时间又可以表示成：
1
m
k k
k a Mb
p M
==
∑， 1
m
k k
k a Me
z M
==
∑， 1
()
m
k
k
k a ME t h M
==
∑
总的消耗时间1
1
1
()
m
m
m
k
k
k
k
k
k
k k k a Mb a Me a ME t T p z h M
M
M
====++=
+
+
∑∑∑，
11
n
kj
kj
j k n kj
j n
fs b fs ===
∑∑，11
n
kj
kj
j k n kj
j e
fe e fe
===
∑∑，2
121
()()()t k t k
t k t tf t dt E t f t dt
=⎰⎰
约束条件：1
1m
k k a ==∑
由于患者手术的平均恢复时间j h 是根据患者病情的轻重、体质等其他因素而改变，，它与医院的病床安排等因素无关，也与等待时间无明显直接关系。

对题目中提供的数据我们通过统计分析和正态分布检验，发现患者的恢复时间多数服从正态分布，其中青光眼服从T 分布，且拟合效果很好。

又考虑到我们无法对其进行人为干涉，故我们认为在样本充足的情况下，它服从一个已知的分布，我们可以运用它的期望等概率统计量对其进行测度。

这样，我们就可以充分地利用以前的统计数据。

4.5.3问题五的模型改进：
本模型对数据的依赖性比较大，所以，我们必须获得足够可靠的数据才能达到理想的最优解，在本模型中，数据采用医院以前的统计数据（即题目中所给出的在医院遵循FCFS 规则下所得到的数据），而排队时间和准备时间与其所遵守的安排规则又有着很大的联系，因此，我们建立在已有数据上所求得的优化结果很可能与实际相差较大。

改进方法：我们可以首先利用此模型对题目所给数据进行处理，可以得到一个初步的分配比例；然后，在此比例的条件下对实际数据进行再次统计，又可得到一个样本观测值，利用这些观测值重新计算病床的分配比例，经过反复几次的修正，我们最终能够得到在这种状态下的各比例的收敛数值，即近似最优值。

图解如下：。