最短距离专题(题目)

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回到原理,不按套路
基本图形
1、直线l的一侧有一点P,在直线l上求一点Q,使得PQ的长度最短。

2、(1)直线l的两侧分别有A,B两点,在直线l上求一点C,使AC+BC最小;(2)直线l的同侧有A,B两点,在直线l上求一点C,使AC+BC最小。

-最大;
3、(1)直线l的同侧有A,B两点,在直线l上求一点C,使得AC BC
-最大。

(2)直线l的两侧分别有A,B两点,在直线l上求一点C,使得AC BC
4、如图,∠AOB内有一点P,在OA和OB边上分别找出M、N,使ΔPMN的周长最小。

基本应用
1.如图,∠AOB=30°,内有一点P且OP=5,若M、N为边OA、OB上两动点,那么△PMN的周长最小为.
2.尺规作图(保留作图痕迹):如图,已知直线l及其两侧两点A、B.
(1)在直线l上求一点P,使到A、B两点距离之和最短;
(2)在直线l上求一点Q,使QA=QB;
(3)在直线l上求一点M,使l平分∠AMB.
3.作图题(不写作法,用尺规作图,保留作图痕迹):
(1)如图①,点A、B在直线l的两侧,在l上求一点P,使得PA+PB最小;(2)如图②,点A、B在直线l的同一侧,在l上求一点P,使得PA+PB最小;(3)如图③,点A是锐角三角形MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B、C,与点A组成三角形,使三角形周长最小;
(4)如图④,AB是锐角三角形MON内部一条线段,在∠MON的两边OM,ON 上各取一点C、D组成四边形,使四边形周长最小.
4.已知直线L外有两点A、B,AC⊥L,BD⊥L,垂足分别为C、D,且AC=3,BD=8,CD=12.
(1)当A、B在L同侧时,在L上求一点P,使PA+PB值最小,画出图形,并求出最小值.
(2)当A、B在L异侧时,在L上求一点P,使|PA﹣PB|最大,画出图形,并求出最大值.
5.(1)如图1,直线同侧有两点A、B,在直线上求一点C,使它到A、B之和最小.(保留作图痕迹不写作法)
(2)知识拓展:如图2,点P在∠AOB内部,试在OA、OB上分别找出两点E、F,使△PEF周长最短(保留作图痕迹不写作法)
(3)解决问题:①如图3,在五边形ABCDE中,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN周长最小(保留作图痕迹不写作法)
②若∠BAE=125°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,∠AMN+∠ANM的度数为.
6.已知:如图,点M是锐角△AOB的AB边上任意一点.
(1)请在OA边上求作一点P,在OB边上求作一点Q,使得△PMQ的周长最小;如果OM=2,∠AOB=30°,求此时△PMQ的周长.
作法:;
(2)当点M在AB边上运动时,△PMQ的周长会发生变化吗?如果会发生变化,请研究△PMQ的周长何时会取到最小值.
7.已知,如图,△AOB的OA、OB两边上的两点M、N.
①求作:点P,使点P到OA、OB的距离相等,且PM=PN.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
②在AB上找一点Q使四边形ONQM周长最小.(不一定尺规作图,可以用三角尺,不写作法)
8.如图(1),在△ABC中中,直线ME垂直平分AB,分别交AB、BC于点E、M,直线NF垂直平分AC,分别交AC、BC于点F、N.
(1)求证:△AMN的周长等于BC的长;
(2)结合(1)的启发,解决下列问题:如图(2),在∠AOB=60°内部有一定点P,且OP=4,试在OA、OB上确定两点M、N,使△PMN周长最短,并求出最短周长.
拓展应用
1、条件:如图1,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图2,角是大家喜爱的一种轴对称图形,它的角平分线所在的直线就是对称轴.现在有∠AOC=90°,OA=3,OB=4,P为∠AOC的角平分线上一动点,请求出AP+PB的最小值.
(2)①如图,∠AOC=30°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,请直接写出△PQR周长的最小值.
②如图,∠AOB=20°,点M.N分别在边OA、OB上,且OM=ON=2,点P,Q分别在OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.
2.已知:三点A(2,1)、B(3,1)、C(6,0),点P为x轴上一动点.
①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时,求点P的坐标;
②当∠APB=20°时,求∠OAP+∠PBC的度数.
3.已知A和B两地在一条河的两岸,现在要在河上造一
座桥MN(假定河的两岸是平行的,且桥要与河垂直),能
够使得从A到B的路径AMNB最短.我们不妨将问题放在
平面直角坐标系中来研究,如图A(0,7),B(6,﹣3).河
的两岸分别设为y=2与x轴,那么从A到B的最短路径
AMNB的长度为.。

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