人教版数学高二-人教B版选修2-1练习 3-1-2空间向量的基本定理b

04课后课时精练
一、选择题
1. 下列命题正确的有( )
①空间向量就是空间中一条有向线段；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；
③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；
④AB →＝CD →
的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
解析：①不正确．有向线段可以表示向量，但不是向量． ②正确，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
.
又A ，B ，C ，D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →
.
③正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |D ⇒/a ＝b .
④不正确.AB →＝CD →⇒|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →
同向．但是向量可以平移，起点位置不确定．
答案：B
2. A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
，则P ，A ，B ，C 四点( )
A. 不共面
B. 共面
C. 不一定共面
D. 无法判断是否共面
解析：OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →
＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →) ＝OA →＋18AB →＋18AC →， ∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →， ∴AP →＝18AB →＋18AC →.
由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B
3．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →
＝( )
A. 12a －14b ＋14c
B. a －12b ＋12c
C. 12a ＋14b ＋14c
D. 14a ＋12b ＋14c
解析：OE →＝OA →＋AE →＝a ＋12AD →
＝a ＋12(OD →－OA →) ＝12a ＋12OD →
＝12a ＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：C
4．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则( )
A ．a ∥e 1
B ．a ∥e 2
C ．a 与e 1、e 2共面
D ．以上三种情况均有可能
解析：假设a 与e 1共线，则a ＝k e 1，所以a ＝λe 1＋μe 2可变为(k －λ)e 1＝μe 2，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线相矛盾，故假设不成立，即A 不正确，同理B 不正确，则D 也错误．
答案：C
5．下列条件能使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A. OM →＝2OA →－OB →－OC → B. OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C. MA →＋MB →＋MC →＝0 D. OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0
解析：在C 中，MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →
共面．∴M 、A 、B 、C 一定共面，故C 正确．
在A 、B 、D 三个选项中，OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
的式子中，x
＋y ＋z ≠1，故全错．
答案：C
6．在空间四边形OABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，则下列命题：
①AB →＝a ＋b ；②BE →＝b ＋1
2(a ＋c )；③CF →＝12(a ＋b )－c ；④AF →＝－12a ＋1
2b ；⑤AD →＋BE →＋CF →＝0，其中正确的命题为( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．③④⑤
D ．②③⑤
解析：如图
，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，∴①错；BE →＝OE →－OB →＝1
2(a ＋c )－b ，∴②错．答案中只有C 不含①②，故选C.
答案：C 二、填空题
7．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使 λOA →＋mOB →＋nOC →
＝0，那么λ＋m ＋n 的值为
________．
解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →
， 即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)， ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →
＝0， 又λOA →＋mOB →＋nOC →
＝0， 令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ， 则λ＋m ＋n ＝0. 答案：0
8．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →
＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
解析：如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连接OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC →＝2GO →，同理BG →＝2GD →
，故G 为△ABC 的重心．
答案：重心
9．如图，已知边长为1的正四面体O －ABC ，边OA 的中点为M ，自O 作平面ABC 的垂线OH 与平面ABC 交于点H ，与平面MBC 交于点I ，将OI →用OA →，OB →，OC →
表示为________．
解析：易知H 是正三角形ABC 的中心，所以OH →＝13(OA →＋OB →
＋OC →)．又I 在OH 上，故存在实数λ，满足OI →＝λOH →，故OI →＝λ3(OA →＋OB →＋OC →)＝λ3(2OM →＋OB →＋OC →)．因为I 在平面MBC 内，所以2λ3＋λ3＋λ3＝1，所以λ＝3
4，于是OI →＝14OA →＋14OB →＋14OC →.
答案：OI →＝14OA →＋14OB →＋14OC →
三、解答题
10．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 分CA →
所成的比为2∶1，N 分DA 1→所成的比为1∶2，设AB →＝m ，AD →＝n ，AA 1→
＝t ，试将MN →
表示成m 、n 、t 的关系式．
解：连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →
，由已知得四边形ABCD 为平行四边形，故AC →＝AB →＋AD →＝m ＋n ，又MA →＝－13AC →
＝－1
3(m ＋n )，AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝13(t ＋2n )，MN →＝MA →＋AN →＝－13(m ＋n )＋13(t ＋2n )＝1
3(n ＋t －m )．
11．已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如右图)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →
＝EH →＋mEF →.
求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →；
(3)OG →＝kOC →.
证明：(1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →
，知A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．
(2)∵EG →＝EH →＋mEF → ＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →) ＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC →∥EG →.
(3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO →
， ＝k (AC →－AO →)＝kOC →， ∴OG →＝kOC →.
12. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为PD 的中点，证明PB ∥平面ACM .(用向量法)
证明：∵M 是PD 的中点，∴PM →＝MD →
. 又∵PB →＝PM →＋MA →＋AB →＝PM →＋MA →＋AC →＋CB → ＝PM →＋MA →＋AC →＋DA → ＝PM →＋MA →＋AC →＋MA →－MD →.
∴PB →＝2MA →＋AC →.∴PB →、MA →、AC →
共面． 又∵PB ⊄平面ACM ，∴PB ∥平面ACM .。