山西省孝义市1516学年度高二下学期期末考试(图片)——

2015---2016年度孝义市高中二年级期末考试数学学科试题
文科数学参考答案
一．选择题(12×5=60)
D ； C ； A ； D ；B ； C ；C ；A ； A ；B ； D ；B
二．填空题(4×5=20)
； ； 垂心；
三．解答题
17.解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛
⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭
1cos cos 2A A A =+． 由为锐角三角形知，，
所以
1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭
3A π⎛⎫<+< ⎪⎝
⎭ 所以，的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3； 第4组：×6=2； 第5组：×6=1．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；---------6分
（Ⅱ） 记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），
（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），
（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2）共有10种．
其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名志愿者被抽中的有：
（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），
（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共有7种
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．---------12分
19．解：（1）圆锥曲线的参数方程为（为参数），
所以普通方程为： ----------------------------------------3分
（2
分 20．（本小题满分12分）
解: （1）因为平面，所以为在平面内的投影；
因为，由三垂线定理可知；
（2）以A 为原点，AB 所在边为x 轴，AD 所在边为y 轴，AA1所在边为z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(,1,0),(0,3,3)A C m D ，所以，；
因为，，所以，
因为，所以，故，所以， 设为的法向量，则100
n AC n AD r uuu r g r uuu r g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
令，所以为的一个法向量；
因为，，所以
所以直线所成角的正弦值.
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得，所以
所以抛物线方程为
（Ⅱ）联立方程，设，
消去得从而
设P （a ，0），P 到直线AB 的距离为
d ，则d
又S △ABP ＝|AB|·d ，则d ＝，
＝ |a －2|＝3 a ＝5或a ＝－1，
故点P 的坐标为（5，0）和（－1，0）．
22.（本小题满分12分）
解:（Ⅰ） 依题意，的定义域为， 3()(3)m f x x m x
'=-++. （ⅰ）若，
当时，，为增函数.
(ⅱ)若,
恒成立，故当时，为增函数.
（ⅲ）若,
当时，，为增函数；
当时，，为增函数.
(ⅳ)若,
当时，，为增函数；
当时，，为增函数.
综上所述，
当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,. ………6分
（Ⅱ）依题意，若过两点的直线的斜率恒大于，则有，
当时，1212()()3()f x f x x x ->--，即1122()3()3f x x f x x +>+；
当时，1212()()3()f x f x x x -<--，即1122()3()3f x x f x x +<+.
设函数，若对于两个不相等的正数，恒成立， 则函数21()3ln 2
g x x mx m x =
-+在恒为增函数， 即在上，3()0m g x x m x '=-+≥恒成立. 解法一：(1)当时，当，，说明此时不恒成立； 或3()11
1
m m m g m m m m m '=-+=---12322011m m m m m +-=+-<--，说明此时不恒成立； (2)当时，在上恒成立； (3)当时，若3()0m g x x m x
'=-+≥恒成立，而当时，， （ 当且仅当时取等号）即成立，即，解得，即，显然符合题意. 综上所述，时，过两点的直线的斜率恒大于. 解法二：在上，3()0m g x x m x '=-+
≥恒成立，等价于，在成立，即在成立. （ⅰ）当时，上式显然满足；
（ⅱ）当时，上式等价于，设，此时为减函数，
，只需；
（ⅲ）当时，上式等价于，设，则
，当时，（当且仅当时等号成立）.
则此时. 在上，当时，3()0m g x x m x '=-+
≥成立. 过两点的直线的斜率恒大于. 解法三： 在上，3()0m g x x m x
'=-+≥恒成立，等价于2()30h x x mx m =-+≥在恒成立，则有 （1）时，即，所以
或（2）时，需且，即显然不成立.
综上所述，. ………………12分。