高一数学人教版A版必修二课件：第四章 圆与方程
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2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知(|－k＋21＋＋4k2k－3|)2＋(82)2＝52，解得 k＝－34.
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
解析答案
跟踪训练4 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此 练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
返回
a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 由题意得 2
3b| ＝r，
a＝4， 解得b＝0，
ba＋－33＝ 3，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
解析答案
类型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
yx的几何意义就是直线 OP 的斜率，设yx＝k，则直线 OP 的方程为 y＝kx.
由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值.
|3k－3|
|3k－3|
因为点 C 到直线 y＝kx 的距离 d＝ k2＋1，所以当 k2＋1＝ 6，
即 k＝3±2 2时，直线 OP 与圆相切.
所以yx的最大值与最小值分别是 3＋2 2与 3－2 2.
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线 垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及 该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于 弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、 弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经 过圆心；直径所对的圆周角是直角.
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
答案
5.求圆的方程时常用的四个几何性质
6.与圆有关的最值问题的常见类型 y－b
(1)形如 μ＝x－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题. 7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
答案
3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为 d，圆的半径为r，则d_>_r→相离； d_＝_r→相切；d_<_r→相交. 4.圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2 的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1 ＋r2
(2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|＝ 1＋k2|xA－xB|＝ 1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
8.空间中两点的距离公式 已知点 P1(x1，y1，z1)与点 P2(x2，y2，z2)， 则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 求圆的方程
例1 根据条件求下列圆的方程：
(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的
方程；
解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
∴由33xx＋ ＋210y－y＋159＝ ＝00， ， 解得xy＝＝7－，3.
∴圆心 C(7，－3)，半径 r＝|AC|＝ 65.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
解析答案
(2)求半径为 10，圆心在直线 y＝2x 上，被直线 x－y＝0 截得的弦长为 4 2的圆的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于 点P(3，－2)的圆的方程.
解析答案
类型四 分类讨论在直线与圆中的应用 例4 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的
弦长为8，求直线l的方程. 解 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5，
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符
解析答案
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3.圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为___2_＋__2__. 解析 因为圆 x2＋y2＝4 的圆心 O 到直线 x－y＋2＝0 的距离 d＝ |22| ＝ 2， 所以圆上的点到直线距离的最大值为 d＋r＝2＋ 2.
解析答案
1 234
4.如果实数 x，y 满足方程 C：(x－3)2＋(y－3)2＝6，求yx的最大值与最小值. 解 设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6上的任意一点P(x，y).
第四章 圆与方程
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识； 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解 圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.
要点归纳
题型探究
达标检测
要点归纳
主干梳理 点点落实
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：_(_x_－__a_)2_＋__(_y－__b_)_2_＝__r_2 _. (2)圆的一般方程：__x_2_＋__y2_＋__D__x＋__E__y_＋__F_＝__0_(D__2_＋__E_2－__4_F__>_0_) _.
解析答案
类型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且 被圆C截得的线段长为 4 3 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋ 3 y＝0 相切于点Q(3，－ 3 )，求圆C的方程. 解 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心 C(a，b)与 Q(3，－ 3)的连线垂直于直线 x＋ 3y＝0，且斜率为 3.
解析答案
返回
达标检测
1 234
1.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B 在A的上方)，且|AB|＝2，则 (1)圆C的标准方程为__(x_－__1_)_2＋ __(_y_－___2_)_2_＝__2__. 解析 设点 C 的坐标为(x0，y0)，则由圆 C 与 x 轴相切于 点 T(1,0)知，点 C 的横坐标为 1，即 x0＝1，半径 r＝y0. 又因为|AB|＝2.所以 12＋12＝y20，即 y0＝ 2＝r，
解析答案
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 解 设PQ的中点为N(x，y)，连接BN. 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
解之得 k＝1.
即圆 C 在点 B 处的切线方程为 y＝x＋( 2＋1)，
于是令 y＝0 可得 x＝－ 2－1，
即圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为－1－ 2.
1 234
解析答案
1 234
2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B 两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为________________________.
解析答案
规律与方法
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的 方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起 来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它 的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在 实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，经常使用 的几何性质有
所以圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
解析答案
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_－__1_－___2_.
解析 令x＝0得：B(0， 2＋1).
设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y－( 2＋1)＝kx，
|k－ 2＋ 2＋1|
则圆心 C 到其距离为：d＝
k2＋1 ＝ 2，
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知(|－k＋21＋＋4k2k－3|)2＋(82)2＝52，解得 k＝－34.
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
解析答案
跟踪训练4 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此 练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
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a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 由题意得 2
3b| ＝r，
a＝4， 解得b＝0，
ba＋－33＝ 3，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
解析答案
类型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
yx的几何意义就是直线 OP 的斜率，设yx＝k，则直线 OP 的方程为 y＝kx.
由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值.
|3k－3|
|3k－3|
因为点 C 到直线 y＝kx 的距离 d＝ k2＋1，所以当 k2＋1＝ 6，
即 k＝3±2 2时，直线 OP 与圆相切.
所以yx的最大值与最小值分别是 3＋2 2与 3－2 2.
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线 垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及 该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于 弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、 弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经 过圆心；直径所对的圆周角是直角.
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
答案
5.求圆的方程时常用的四个几何性质
6.与圆有关的最值问题的常见类型 y－b
(1)形如 μ＝x－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题. 7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
答案
3.直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为 d，圆的半径为r，则d_>_r→相离； d_＝_r→相切；d_<_r→相交. 4.圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2 的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1 ＋r2
(2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|＝ 1＋k2|xA－xB|＝ 1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
8.空间中两点的距离公式 已知点 P1(x1，y1，z1)与点 P2(x2，y2，z2)， 则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
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重点难点 个个击破
类型一 求圆的方程
例1 根据条件求下列圆的方程：
(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的
方程；
解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
∴由33xx＋ ＋210y－y＋159＝ ＝00， ， 解得xy＝＝7－，3.
∴圆心 C(7，－3)，半径 r＝|AC|＝ 65.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
解析答案
(2)求半径为 10，圆心在直线 y＝2x 上，被直线 x－y＝0 截得的弦长为 4 2的圆的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于 点P(3，－2)的圆的方程.
解析答案
类型四 分类讨论在直线与圆中的应用 例4 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的
弦长为8，求直线l的方程. 解 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5，
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符
解析答案
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3.圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为___2_＋__2__. 解析 因为圆 x2＋y2＝4 的圆心 O 到直线 x－y＋2＝0 的距离 d＝ |22| ＝ 2， 所以圆上的点到直线距离的最大值为 d＋r＝2＋ 2.
解析答案
1 234
4.如果实数 x，y 满足方程 C：(x－3)2＋(y－3)2＝6，求yx的最大值与最小值. 解 设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6上的任意一点P(x，y).
第四章 圆与方程
章末复习课
学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识； 2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解 圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.
要点归纳
题型探究
达标检测
要点归纳
主干梳理 点点落实
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：_(_x_－__a_)2_＋__(_y－__b_)_2_＝__r_2 _. (2)圆的一般方程：__x_2_＋__y2_＋__D__x＋__E__y_＋__F_＝__0_(D__2_＋__E_2－__4_F__>_0_) _.
解析答案
类型二 直线与圆、圆与圆的位置关系 例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且 被圆C截得的线段长为 4 3 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋ 3 y＝0 相切于点Q(3，－ 3 )，求圆C的方程. 解 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆心 C(a，b)与 Q(3，－ 3)的连线垂直于直线 x＋ 3y＝0，且斜率为 3.
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1.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B 在A的上方)，且|AB|＝2，则 (1)圆C的标准方程为__(x_－__1_)_2＋ __(_y_－___2_)_2_＝__2__. 解析 设点 C 的坐标为(x0，y0)，则由圆 C 与 x 轴相切于 点 T(1,0)知，点 C 的横坐标为 1，即 x0＝1，半径 r＝y0. 又因为|AB|＝2.所以 12＋12＝y20，即 y0＝ 2＝r，
解析答案
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 解 设PQ的中点为N(x，y)，连接BN. 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
解之得 k＝1.
即圆 C 在点 B 处的切线方程为 y＝x＋( 2＋1)，
于是令 y＝0 可得 x＝－ 2－1，
即圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为－1－ 2.
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1 234
2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B 两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为________________________.
解析答案
规律与方法
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的 方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起 来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它 的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在 实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，经常使用 的几何性质有
所以圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
解析答案
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_－__1_－___2_.
解析 令x＝0得：B(0， 2＋1).
设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y－( 2＋1)＝kx，
|k－ 2＋ 2＋1|
则圆心 C 到其距离为：d＝
k2＋1 ＝ 2，