考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编7

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编7

(总分：88.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：10，分数：20.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.设有直线则L 1与L 2的夹角为

（分数：2.00）

A.

B.

C. √

D.

解析：解析：直线L 1的方向向量 S 1 ={1，一2，1)，直线L 2的方向向量从而直线L 1和L 2的夹角φ的余弦为因此

3.设有直线Lπ：4x-2y+z-2=0，则直线L

（分数：2.00）

A.平行于π

B.在π上．

C.垂直于π．√

D.与π斜交．

解析：解析：由于交成直线L的两平面的法向量与π的法向量均垂直，即{1，3，2}⊥{4，一2，1} {2，一1，一10}⊥{4，一2，1} 故π的法向量与L的方向向量平行，因此直线L垂直于π．

4.在曲线x=t，y=一t 2，z=t 3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线

（分数：2.00）

A.只有1条．

B.只有2条．√

C.至少有3条．

D.不存在．

解析：解析：曲线x=t，y=一t 2，z=t 3的切线向量为τ={1，一2t，3t 2 ) 而平面x+2y+z=4的法线向量为 n={1，2，1} 由题设知τ⊥n，则τn=1-4t+3t 2 =0．此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条．

5.二元函数f(x，y)在点(x 0，y 0 )处两个偏导数f x "(x 0，y 0 )，f y "(x 0，y 0 )存在是f(x，y)在该点连续的

（分数：2.00）

A.充分条件而非必要条件．

B.必要条件而非充分条件．

C.充分必要条件．

D.既非充分条件又非必要条件．√

解析：解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”，所以应选(D)．

6.a等于

（分数：2.00）

A.一1．

B.0．

C.1．

D.2．√

解析：解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，(a-2)x一ay=一2y，(a一2)x=(a-2)y 仅当a=2时，上式恒成立．

7.(0，0)处

（分数：2.00）

A.连续，偏导数存在．

B.连续，偏导数不存在．

C.不连续，偏导数存在．√

D.不连续，偏导数不存在．

解析：解析：令y=kx，则当k不同时，便不同，故极限不存在，因而f(x，y)在(0，

0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得 f y "(0，0)=0 由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．

8.设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且f x "(0，0)=3，f y "(0，0)=1，则

（分数：2.00）

B.曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3，1，1}．

C.(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．√

D.(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．

解析：解析：曲线的参数方程为(0，0，f(0，0))的切向量为 {1，0，f x "(0，0))={1，0，3}

9.考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有

（分数：2.00）

A.②→③→①√

B.③→②→①

C.③→④→①

D.③→①→④

解析：解析：由于f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x 0，y 0 )可微是f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续的充分条件，故应选(A)．

10.已知函数f(x，y)在点(0，0)

（分数：2.00）

A.点(0，0)不是f(x，y)的极值点．√

B.点(0，0)是f(x，y)的极大值点．

C.点(0，0)是f(x，y)的极小值点．

D.根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．

解析：解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．且f(x，y)一xy+(x 2+y 2 ) 2 +a(x 2 +y 2 ) 2令y=x，得 f(x，x)=x 2 +4x 4 +4ax 4 =x 2 +o(x 2 ) 令y=一x，得 f(x，一x)=一x 2 +4x 4 +4ax 4 =一x 2 +o(x 2 ) 从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选(A)．

二、填空题(总题数：11，分数：22.00)

11.与两直线及 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x-y+z=0．）

一

1*(x—0)+1*(y—0)一1*(z—0)=0 即 x—y+z=0

12.过点M(1，2，一1)垂直的平面方程是 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x一3y一z+4=0）

解析：解析：{一1，3，1}．该向量是所求平面的一个法向量，所求平面过点M(1，2，一1)，则所求平面为一(x一1)+3(y一2)+(z+1)=0 即 x一3y—z+4=0

13.已知两条直线的方程是L 1且平行于L 2的平面方程是 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x一3y+z+2=0．）

解析：解析：平面过直线L 1，则过L 1上的点(1，2，3)；平面的法向量n既垂直于L 1，又垂直于L 2，

则可取则所求平面为 (x一1)一3(y一2)+(z一3)=0 即 x一3y+z+2=0

14.设(a×b)·c=2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）

解析：解析：

[(a+b)×(b+c)]*(c+a)=[(a+b)×b]*(c+a)+[(a+b)×c]*a=(a×b)*c+(b×c)*a=(a×b)*c+(a×b)*c=4

15.设一平面经过原点及(6，一3，2)，且与平面4x—y+2z=8垂直，则此平面方程为 1

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2x+2y一3z=0．）

解析：解析：设M(x，y，z)是所求平面上任一点，则向量{x，y，z}，{6，一3，2)以及向量{4，一1，2)

即 2x+2y一3z=0

16.点(2，1，0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

17.已知曲面z=4一x 2一y 2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1，1，2)．）