2009北京中考数学试卷及答案

2009 北京中考数学试卷及答案
注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷 4 页，为选择题，36 分；第Ⅱ 卷 8 页,为非选择题,84 分；共 120 分．考试时间为 120 分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．考试 结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号(ABCD)涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷
(选择题
共 36 分)
一、选择题 (本题共 12 小题，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得 3 分，选错、不选或选 出的答案超过一个均记零分．) 1．今年在北京举行的“财富世界论坛”的有关资料显示，近几年中国和印 度经济的年平均增长率分别为 7.3%和 6.5%，则近几年中国比印度经济的年平 均增长率高（ ） ． A．0．8 C．0．8 % B．0．08 D．0．08%
2．已知实数 a、 b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确 的是 （ ） ． A． ab  0 B． a  b
a 1 x C． a  b  0 x D． a  b  0 3．国家统计局统计资料显示，2005 年第一季度我国国内生产总值为 31355.55 亿元，用科学记数法表示为（ ）元． （用四舍五入法保留 3 个有 效数字）
0
b 1
² ²
²
²²
A． 3.13 1012 C． 3.14 1013
B． 3.14 1012 D． 31355.55 108
E 4．如图，在 ABC 中， D、 、F 分别在 AB、BC、AC 上，且 EF ∥ AB ，


A
要使 DF ∥ BC ，只需再有下列条件中的（ ）即可． D F A． 1   2 B． 1  DFE 1 2 C． 1  AFD D． 2  AFD B E 5．如图，等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB＝2CD ， AC 交 BD 于点 O ，点 E 、 F 分别为 AO 、 BO 的中点，则下列关于点 O 成中心 对称的一组三角形是（ ） ． A． ABO与CDO B． AOD与BOC C． CDO与EFO D． ACD与BCD
A E D O F B C
C
6．已知圆 A 和圆 B 相切，两圆的圆心距为 8cm，圆 A 的半径为 3cm，则圆 B 的半径是（ ） ． A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm 或 11cm 7．某乡镇有甲、乙两家液化气站，他们的每罐液化气的价格、质和量都相 同．为了促销，甲站的液化气每罐降价 25%销售；每个用户购买乙站的液化气， 第 1 罐按照原价销售，若用户继续购买，则从第 2 罐开始以 7 折优惠，促销活动 都是一年．若小明家每年购买 8 罐液化气，则购买液化气最省钱的方法是 （ ） ． A．买甲站的 B．买乙站的 C．买两站的都可以 D．先买甲站的 1 罐，以后再买乙站的 8．若 x  A．
1 x2 3 求 4 的值是（ x x  x2 1
） ．
1 1 1 1 B． C． D． 8 10 2 4 9．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的 A、B 两套楼房， A 套 楼房在第 3 层楼， B 套楼房在第 5 层楼， B 套楼房的面积比 A 套楼房的面积大 24 平方米，两套楼房的房价相同，第 3 层楼和第 5 层楼的房价分别是平均价的 1.1 倍和 0.9 倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设 A 套楼房的面积为 x 平方
米， B 套楼房的面积为 y 平方米，根据以上信息列出了下列方程组．其中正确 的是（ ） ．


0.9 x  1.1y A．   y  x  24 0.9 x  1.1y C．   x  y  24
1.1x  0.9 y B．   x  y  24 1.1x  0.9 y D．   y  x  24
10．如图，在直角坐标系中，将矩形 OABC 沿 OB 对折，使点 A 落在点 A1 处，已知 OA  3 , AB  1 ，则点 A1 的坐标是（ A． （
3 3 ， ） 2 2 3 3 ， ） 2 2
）y ．
B． （
3 ，3） 2
C
A
1
B
C． （
D． （
1 3 ， ） 2 2
O
A
x
E 11． 正方形 ABCD 中， 、F 分别为 AB、BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O ， AO （ 则 ） ． DO
D C
A．
1 3
B．
2 5 5
F O A E B
2 C． 3
1 D． 2
12． 某种品牌的同一种洗衣粉有 A、B、C 三种袋装包装， 每袋分别装有 400 克、300 克、200 克洗衣粉，售价分别为 3.5 元、2.8 元、1.9 元． A、B、C 三种 包装的洗衣粉每袋包装费用(含包装袋成本)分别为 0． 元、 6 元、 5 元． 8 0． 0． 厂 家销售 A、B、C 三种包装的洗衣粉各 1200 千克，获得利润最大的是（ ） ． A． A 种包装的洗衣粉 B． B 种包装的洗衣粉 C． C 种包装的洗衣粉 D．三种包装的都相同


绝密☆启用前
试卷类型：A
2005 年潍坊市中等学校招生考试
数
第Ⅱ卷
注意事项：
学
试
题
共 84 分)
(非选择题
1. 第Ⅱ卷共 8 页，用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题(本大题共 5 小题，共 15 分．只要求填写最后结 果，每小题填对得 3 分．其中，第 14、15 两小题为选做题，
(B 只须做 ( A)、 ) 题中的一个即可,若两题都做,只以 ( A) 题计
得 分
评卷人
分.)


y
13．如图， ABC 是格点（横、纵坐标都
为整数的点） 三角形， 请在图中画出与 ABC 全 等的一个格点三角形．
O
x
A B C
14．(A 题) 已知一次函数 y  2 x  5 的 图象与反比例函数 y 
k  k  0  的图象交 x
于第四象限的一点 P  a, 3a  ， 则这个反比例函数的解析式为_______________． (B 题) 盒子里装有大小形状相同的 3 个白球和 2 个红球，搅匀后从中摸出一 个球， 放回搅匀后,再摸出第二个球， 则取出的恰是两个红球的的概率是______． 15．(A 题) 某电视台在每天晚上的黄金时段的 3 分钟内插播长度为 20 秒 和 40 秒的两种广告，20 秒广告每次收费 6000 元，40 秒广告每次收费 10000 元．若要求每种广告播放不少于 2 次，且电视台选择收益最大的播放方式，则 在这一天黄金时段 3 分钟内插播广告的最大收益是__________元．
12%
（70 分以下）
(B 题) 一次数学测验以后,张老师根据某 班成绩绘制了如图所示的扇形统计图 20% (80～89 分的百分比因故模糊不清),若 （70～79 分） 80 分以上(含 80 分)为优秀等级,则本次 测验这个班的优秀率为___________．
36%
（90～100 分）
（80～89 分）


16．如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 为 AB 的中点，以 E 为圆心，1 为半径作圆， 分别交 AD、BC 于 M 、N 两点，与 DC 切于 P 点．则图中阴影部分的面积是________．
A
E
B
M D P
N
C
17 在潍坊市“朝阳读书”系列活动中，某学校为活动优秀班级发放购书券 到书店购买工具书．已知购买 1 本甲种书恰好用 1 张购书券，购买 1 本乙种或 丙种书恰好都用 2 张购书券．某班用 4 张购书券购书，如果用完这 4 张购书券 共有________________种不同购法（不考虑购书顺序） ．
三、解答题（本题共 7 小题，共 69 分.解答应写出文字说明、证明过程
或推演步骤.）
得 分 评卷人 月 份 1 2 北 京 0.5% 0.9% 巴 黎
6.7% 5.8%


18．(本题满分 8 分)
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1.2% 3.0% 5.4% 12.3% 33.5% 30.3% 7.8% 3.0% 1.5% 0.6%
6.7% 7.8% 8.8% 9.4% 9.4% 9.0% 9.0% 9.9% 9.0% 8.5%
某年北京与巴黎的年降水量都是 630 毫米， 它们的月降水量占全年降水量百分比如下表： ．．． （1）计算两个城市的月平均降水量； （2）写出两个城市的年降水量的众数和中位 数； （3）通过观察北京与巴黎两个城市的降水情 况， 用你所学的统计知识解释北京地区干旱与缺 水的原因．


得 分
评卷人
19.(本题满分 8 分)
如图， 菱形 ABCD 中，AB  4 ，E 为 BC 中点，AE  BC ，AF  CD F ， CG ∥ AE ， CG 交 AF 于点 H ，交 AD 于点 G ． A 于点 （1）求菱形 ABCD 的面积； G （2）求 CHA 的度数． G D B H H
E F
E
C
得 分
评卷人
20.(本题满分 9 分) 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日 小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通 秩序．若每一个路口安排 4 人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，那么 最后一个路口不足 8 人，但不少于 4 人．求这个中学共选派值勤学生多少人？ 共有多少个交通路口安排值勤？


得 分
评卷人 21.(本题满分 10 分．从 ( A) 题、 ( B ) 题中任选一题解答，若两题都答,只
以 ( A) 题计分)
D （A 题）某市经济开发区建有 B、C、 三个 食品加工厂，这三个工厂和开发区 A 处的 自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它 们之间有公路相通，且 AB  CD  900 米， AD  BC  1700 米．自来水公司已经修好
一条自来水主管道 AN , BC 两厂之间的公路
A
D
B
E
C C
与自来水管道交于 E 处， EC  500 米．若 N 自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价 800 元． （1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？ 并在图形中画出； （2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
（ B 题） 如图，已知平行四边形 ABCD 及四边形外一直线 l ，四个顶点
D A、 、C、 到直线 l 的距离分别为 a、b、c、d ． B （1）观察图形，猜想得出 a、b、c、d 满足怎样的关系式？证明你的结论． (2)现将 l 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．
C
D B A
A1
D1
B1
C1
l


得 分
评卷人
22.(本题满分 10 分)
某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，生产第一档次（即 最低档次）的产品一天生产 76 件，每件利润 10 元，每提高一个档次，利润每件 增加 2 元． （1）每件利润为 16 元时，此产品质量在第几档次？ （2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少 4 件．若 生产第 x 档的产品一天的总利润为 y 元（其中 x 为正整数，且 1 ≤ x ≤ 10 ）,求 出 y 关于 x 的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为 1080 元，该工厂 生产的是第几档次的产品？
得 分
评卷人
23 . (本题满分 12 分)
如图, AD 是 ABC 的角平分线, 延长 AD 交 ABC 的外接圆 O 于点 E ,过
C、D、E 三点的圆 O1 交 AC 的延长线于点 F ，连结 EF、DF ．
A
O D
C


(1)求证：AEF
∆∽FED
∆；
(2) 若6,3
AD DE
==, 求E F的长；
(3) 若D F∥B E, 试判断ABE
∆的形状，并说明理由．
24．(本题满分12分)抛物线2
y ax bx c
=++
交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为1
x=，
(3,0)
B,(0,3)
C-，
（1）求二次函数2
y ax bx c
=++的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B 两点距离之差最大？若存在，求出P
明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M N
、两点，若以M N为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．
参考答案及评分标准
一．选择题:(本题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选题中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分．)
二．填空题：（本题共5小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．其中14、15小题为选做题，做对（A）题或（B）题中的一个即可，如果两题都做，按（A）题得分．）
13.只画出一个符合题意的三角形即可.
14．(A)
3
y
x
=-(B)
25
4
15．(A) 50000(B) 68%
16
．1
64
π
--（如果得0．04也可得满分）
17．6
三．解答题：（本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推
演步骤．）
18.（本题满分6分）
解：（1）两个城市的月平均降水量63052.512
=
=毫米；……………………………1分
(2)北京降水量的众数是3%³630=18.9毫米；……………………………….…………2分
巴黎的降水量众数是9%³630=56.7毫米；..................................... (3)
分
北京的降水量的中位数是3%³630=18.9毫米；…………………………………..…..4分
巴黎的降水量的中位数是8.9%³630=56.07毫米；………………………. ….…….. 5分
(3) 根据众数、中位数的比较，以及表中看出北京在7、8两个月份的降水量最高,其
它月份的降水量相对很低,特别是春冬季的降水量更少, 这样导致 7、8两个月份的降水量过于集中，流失过大,而其它月份降水量很少,这就是造成北京每年干旱和缺水的主要原因． …………………………………………………………………8分
（只要求说明意思，就可得满分） 19. （本题满分6分）
解:(1)连结A C B D 、并且A C 和B D 相交于点O ， ∵AE BC ⊥,且A E 平分B C ， ∴A B C ∆和A D C ∆都是正三角形，
∴4AB AC == ， ……………………………………………..2分 因为A B O ∆是直角三角形，
∴BD =
∴菱形A B C D 的面积是……………………………………………..4分 (2) ∵ A D C ∆是正三角形, A F C D ⊥， ∴30D A F ∠=°， 又∵C G ∥A E ， AE BC ⊥， ∴ 四边形A E C G 是矩形， ∴90A G H ∠=°，
∴120A H C D A F A G H ∠=∠+∠=°…………………………………………8分
20. （本题满分9）
解:设这个学校选派值勤学生x 人,共到y 个交通路口值勤. ..................... 根据题意得:478. (1)
48(1)8...............(2)..5x y x y -=⎧⎨≤--<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎩分
将方程(1)代入不等式(2), 8)1(84784<--+≤y y ， 整理得:19.5<5.20≤y ， 根据题意y 取20,这时x 为158．
答:学校派出的是158名学生,分到了20个交通路口安排值勤． . (9)
分
21. （本题满分10分）
解：（A 题）解：
（1）过B C 、、D 分别作A N 的垂线段
B H
C F
D G 、、，交A N 于H F G 、、，
B H
C F
D G 、、即为所求的造价最低的管道路线．
图形如图所示． ………3分 （2）（法一）
17005001200B E B C C E =-=-=（米），
A E =（米），
∵ABE ∆∽C F E ∆， 得到：
AE
CE AB
CF =．
∴C E AB
C F A E
∙=
=
5009003001500
⨯=（米）．…………………5分
∵BH E ∆∽C F E ∆，
得到
BE
CE BH
CF =
，
∴B E C F
B H
C E
∙=
=
720500
300
1200=⨯（米）．………………6分
∵ABE ∆∽D G A ∆，
∴
AD
AE DG
AB =
，
∴A B A D D G A E
∙=
=
10201500
1700900=⨯（米）．…………………..9分
所以，B C 、、D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720³800=576000（元），300³800=240000（元），1020³800=816000（元）
………………….. ………………….. ………………….. …………………..…….10分 法二（设A E B ∠=∂，利用三角函数可求得B H
、（B 题）
（1）d b c a +=+． ……………………..2分
证明：连结A C B D 、，且A C B D 、相交于点O E
A
G H
F
N
C
B
D
O
1OO 为点O 到l 的距离，
∴OO 1为直角梯形11BB D D 的中位线 ， ∴1112OO DD BB b d =+=+； 同理：1112OO AA C C a c =+=+． ∴d b c a +=+．……………………..4分
（2）不一定成立．……………………. ……………………. …………………….……5分
分别有以下情况：
直线l 过A 点时，d b c +=；
直线l 过A 点与B 点之间时，d b a c +=-； 直线l 过B 点时，d a c =-；
直线l 过B 点与D 点之间时，d b c a -=-；… 直线l 过D 点时，b c a =-；
直线l 过C 点与D 点之间时，d b c a +=-；
直线l 过C 点时，d b a +=；
直线l 过C 点上方时，d b c a +=+．…………………………………..10分 (答对其中一个即为1分，满5分为止)
22． (本题满分10分)
解：（1）每件利润是16元时，此产品的质量档次是在第四档次．…………………3分（2）设生产产品的质量档次是在第x 档次时，一天的利润是y （元）， 根据题意得：
[][])1(476)1(210---+=x x y
整理得：64012882
++-=x x y …………… ……………………….7分
当利润是1080时，即108064012882
=++-x x 解得：11,521==x x （不符合题意，舍去）
答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的利润为1080元．……….10分
23．(本题满分10分)
（1）证明：连结两圆的相交弦C E
在圆1O 中，E F D D C E ∠=∠， 在圆O 中，B A E D C E ∠=∠， ∴EFD BAE ∠=∠，
又因为A E 是B A C ∠角平分线，得∠BAE=∠CAE ， ………….2分 ∴C AE EFD ∠=∠， ∵AEF FED ∠=∠，
∴AEF ∆∽FED ∆． ………………………………………3分 （2）∵AEF ∆∽FED ∆，
∴
AE
EF EF
DE =
，
∴27)(2
=∙+=∙=DE DE AD DE AE EF ，
∴33=EF ． ……………………………………….6分
（3）证明：根据同弧上的圆周角相等， 得到：A B C A E C ∠=∠，C BE C AE ∠=∠， ∴ABE AEC C AE ∠=∠+∠， ∵A E C C A E A C E ∠+∠+∠=180°， ∴ABE AC E ∠+∠=180°， 又FC E AC E ∠+∠=180，
∴F C E A B E ∠=∠ ． (10)
分
∵D F ∥B E ，FD E AEB ∠=∠， 又∵F C E E D F ∠=∠， ∴∠AEB =∠ABE ，
∴ABE ∆为等腰三角形． (12)
分
24．解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2
，
得 3-=c ．
将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2
，
得 039=++c b a ． (1)
∵1x =是对称轴， ∴12=-
a
b ． (2) …2分
将（2）代入（1）得
1=a ， 2-=b ．
所以，二次函数得解析式是322--=x x y ．
…………………………………………………………………………4分
（2）A C 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点． ∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-， ∴ 直线A C 的解析式是33--=x y ，
又对称轴为1x =，
∴ 点P 的坐标(1,6)-． ………………………………………………………7分 （3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ， 则 r x x 212=-，…………….(1) ∵ 对称轴为1x =，
∴ 212=+x x ． …………….(2) 由（1）、（2）得：12+=r x ．……….(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ， 得 3)1(2)1(2
-+-+=r r y ， (4)
整理得： 42-=r y ．………………………………………………………………10分 由于 r=±y ，
当0>y 时，042=--r r ，
解得，2
17
11+
=
r ， 2
17
12-
=
r （舍去），
当0<y 时，042=-+r r ，
解得，217
11+
-=r ， 2
17
12-
-=
r （舍去）．
所以圆的半径是
217
1+
或
217
1+
-
．……………………………………………12分
说明：解答题各小题只给出了一种解法，其他解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数．。