2018-2019学年人教A版选修2-2 1.5定积分的概念1 学案

第一章导数及其应用1.5定积分的概念1
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一、学习目标
1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 二、自主学习
1.如果函数y ＝f (x )在某个区间I 上的图象是一条 的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．
2.由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为 ，如图①．
3.把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 .对每个 “以直代曲”，即用 的面积近似代替 的面积，得到每个小曲边梯形面积的 ，对这些近似值 ，就得到曲边梯形面积的 如图②．
4.如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .
1. “以直代曲”的思想求曲边梯形的面积
由于没有曲边梯形的面积公式，为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． “分割”的目的在于 “以直代曲”，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n 越大，所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积．
2.用定积分的定义求定积分的技巧
(1)熟记解题的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限；
(2) 在“近似代替”中，每个小区间上函数f (x )的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替。

事实上，也可以取区间上的任意点代替，没有统一的要求．为了运算方便，通常取一些特殊点．
(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，②12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)
6
，
③13＋23＋33＋…＋n 3＝1
4n 2·(n ＋1)2.
三、合作探究
题型一 曲边梯形的面积
例1 求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形的面积．
思路导析：将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个
小曲边梯形的面积的近似值，求它们的和，得到曲边梯形的面积的近似值，当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，这个近似值就无限趋近于所求的曲边梯形的面积．
解析：(1)把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)
n 把区间[1,2]等分成n 个小
区间[1，n ＋1n ]，[n ＋1n ，n ＋2n ]，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n ]，…，[n ＋(n －1)n ，2]。

每个小区间的长度为Δx ＝1
n .过各
点作x 轴的垂线，把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)取各小区间的左端点ξi ，以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间的长度Δx ＝1
n 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形的面积．第i 个小曲边梯形面积可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i
·Δx ＝(n ＋i －1n )3·1n (i ＝1,2，…，n )． (3)因为每一个小矩形的面积都是可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形的面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ≈
1
n
i =∑
(n ＋i －1n )3·1
n。

(4)当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形的面积S ，因此n →∞，即△x →0时，和式的极限就是所求的曲边梯形的面积．
因为
1
n
i =∑
(n ＋i －1n )3·1n ＝1
n
4
1
n
i =∑
(n ＋i －1)3
＝1
n
4
1
n
i =∑
[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3]
＝1
n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋14n 2(n ＋1)2]， 所以S=31
113115
lim
(
)11.244
n
n i n i N n →∞
=+-=+++=∑ 归纳总结：本题在求和时，可先提取公因式1
n 4，再将和式进行化简会更简洁，然后再求极限．
变式训练：求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝1
x
2围成的图形的面积S .
题型2 汽车行驶的路程
例2 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6
t
2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路
程．
思路导析：汽车在变速行驶过程中速度是变化的，无法直接求得路程，若将行驶过程中分为一段段的小区间，在每段小区间中便可近似的看做匀速直线运动，从将变速直线运动转化为匀速直线运动解决。

解析：（1）把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1
n ，每个时
间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和1
lim
n
n i
n i S s
→∞
==∆∑
(2)ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )． Δs i ≈v (n ＋i －1n )·Δt ＝6(n n ＋i －1)2·1
n
＝
6n (n ＋i －1)2 ≈6n
(n ＋i －1)(n ＋i )
(i ＝1,2,3，…，n )． （3）1
n n i i S S ==
∆∑1
6(1)()
n
i n n i n i ==+-+∑
＝6n [1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n ]＝6n [1n －1
2n ]．
（4）1
1
lim lim 6() 3.2n n n S S n n n
→∞
→∞
==-
= 归纳总结：利用用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以将求变速直线运动的路程问题转化为求
匀速直线运动的问题，体现了转化的思想．
变式训练：弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位
置拉长b 所做的功.
四、自主小测
1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )[f (x )≥0]及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )
①n 个小曲边梯形的面积和等于S ；②n 个小曲边梯形的面积和小于S ；③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξ1(i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝1
n
i =∑
f (ξ1)Δx (其中Δx 为小区间的长度)，
那么S n 的大小( )
A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关
B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关
C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关
D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 、ξi 的取法都有关
3．已知汽车在时间[0，t 1]内以速度v ＝v (t )做直线运动，则下列说法不正确的是( )
A ．当v ＝a (常数)时汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝vt 1
B ．当v ＝at ＋b (a 、b 为常数)时，汽车做匀速直线运动这时路程s ＝bt 1＋1
2at 21
C ．当v ＝at ＋b (a ≠0，a ，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋1
2at 21
D ．当v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)时，汽车做变速直线运动， 这时路程s ＝1
1
lim
lim ()n
n
n
i n n i i S
v t ξ→∞
→∞
===∆∑∑。

4．求由曲线y ＝1
2x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取
每个小区间的左端点)是 ．
5．用定积分的定义求由直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．
参考答案
1．解析：根据“化整为零”“积零为整”的思想知①是正确的，故选A 。

答案：A 2．答案：D
3．解析：对于v ＝at ＋b ，当a ＝0时为匀速直线运动；当a ≠0时为匀变速直线运动，其中a >0时为匀加速直线运动，a <0时为匀减速直线运动，对于v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，及v ＝v (t )是t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动． 答案：B
4．解析：将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95][9
5，2]，
于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×255
25＝1.02.
答案：1.02
5．解：(1)把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1
n ，
即把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．
(2)用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n (i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ≈f (i －1n )Δx ＝3·i －1n ·1
n ＝
3
n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )． （3）
221
1
3331(1)(012(1)).2n n
i i i n S i n n n n
==-∆=-=++++-=∑∑
……
(4) S=213313lim
(1)lim .22n
n n i n i n
n →∞→∞=--==∑ 所以由直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积为3
2.。