北师大版八年级下册数学 第一章 三角形的证明 等腰三角形(第4课时)

同理可得△AEF≌△CFD, ∴EF=FD,∴EF=ED=FD, ∴△DEF为等边三角形.
课堂小结
等腰三角形 的拓展
等边三角形 的判定
三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
特殊的直角三 角形的性质
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半
探究新知
方法总结 选用等边三角形判定方法的技巧 (1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定. (2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三 角形来判定. (3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形来判定.
巩固练习
变式训练
在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形， 则需添加的一个条件是 AB＝AC或∠B＝∠C .
证明：∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,
课堂检测
BE = AF， 在△AEF和△BDE中, ∠EBD =∠EAF， ∴△AEF≌△BDE(SASB),D∴=EFA=EE，D,
证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°. 即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°, ∴∠ABD=∠DBC=30°. ∴△BDC是直角三角形(∠又BD∵C∠=9C0=°60).°, 又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm).
课堂检测
拓广探索题
如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延 长线上,且BE=AF=CD. 求证:△DEF是等边三角形.
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
A
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °，
∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)÷2= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC.
B
C
证明完整吗？是 不是还有另一种 情形呢？
探究新知
第二种情况：有一个底角是60°.
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
A.5
B.4
C.3
D.2
解析：∵在△ABC中,∠B=∠C=60°, ∴∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∵DE⊥AB,∴∠AED=30°, ∵AD=1,∴AE=2, ∵BC=6,∴AC=BC=6, ∴CE=AC-AE=6-2=4.
巩固练习
方法总结
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍 分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
课堂检测
基础巩固题
2. 三角形三边长分别为a，b，c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则
该三角形是 ( ) C
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
课堂检测
基础巩固题
3.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则
∠BAC等于(
)
A
A.60°
B.75°
C.90°
巩固练习
变式训练
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形. A
证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形.
D
E
B
C
想一想：本题还有 其他证法吗？
论
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
推导过程：Rt△ABC中 ∵∠A＝30°
∴ BC＝ AB A
C B
探究新知 素养考点 2 含30°角的直角三角形的性质
例 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上 的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=15°, CD是
腰AB上的高.
D
探究新知
知识点 1 等边三角形的判定
思考： （1）等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”.
（2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）. 你能证明
三个角相等的三角形是等边三角形.
这些定理
（3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?吗？
30°
BC=DC，（作图）
∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边）
B
C
D
∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AB=AD.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30° (已知) ， ∴∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形， ∴BC= BD= AB．
11
22
探究新知
结 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
C
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形.
探究新知 归纳总结
连接中考
（2020·恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直 线l2上，AB=BC，∠C=30°，∠1=80°，则∠2= 40° .
课堂检测
基础巩固题
1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 ( D ) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形
求证：CD= 1 AB.
A
2
B
C
探究新知
证明：∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵∠ADC=90°，∴CD= 1 AC= 1 AB． 22
D A
B
C
巩固练习
变式训练
如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D在AB边上,DE⊥AB,并 与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于 ( B )
北师大版 八年级 数学 下册
1.1 等腰三角形 （第4课时）
导入新知 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形 的判定定理是什么呢？
素养目标
2. 掌握含30°角的直角三角形的性质并解决 有关问题. 1. 能用所学的知识证明等边三角形的判定定 理.
A
求证:△ABC是等边三角形．
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
60°
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
B
C
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
探究新知 A
结 等边三角形的判定方法：
论
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. B
解： △ODE是等边三角形. 理由：∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵OD∥AB,OE∥AC, ∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°, ∴△ODE是等边三角形.
探究新知
(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程.
解：BD=DE=EC. 理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°, ∴∠ABO=∠OBD=30°, ∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°, ∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO, ∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC.
巩固练习
变式训练
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是
等边三角形吗?试说明理由.
A
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形.
D
E
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
B
C
∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形.
又∵ ∠A=60°. ∴ △ADE是等边三角形.
边的一半.
A
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.
求证:BC= 1 AB.
30°
2
分析：证明“线段的倍、分”问题
B
C
转化
“线段相等”问题
30°30°
探究新知
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD， A
∵ ∠ACB=90° (已知)， ∴∠ACD=90°， 在△ABC与△ADC中，
探究新知
知识点 2 含30°角的直角三角形的性质
操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的 三角形？能拼出一个等边三角形吗 ?
30°30°
猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边 有怎样的大小关系? 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
探究新知
证明猜想： 在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜
1、已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°， C
∠A=30°，CD⊥AB于D．
பைடு நூலகம்求证:BD=
AB ． 4
B
30° A
D
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC=
AB
∠B=60°，
，
∴∠BCD=30°，
∴BD= 2 ∴BD=
CB，
AB .
2
4
课堂检测
能力提升题
2、如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°, CD=4 cm,求BC的长.
性质
三条边都相等
判定的条件
三条边都相等的三 角形是等边三角形
等边
等边三角形三个内角都相
三角 等，且每个角都是60°
三个角都相等的三 角形是等边三角形
形
“三线合一”,即等腰三角 形顶角平分线，底边上的
有一角是60°的等腰
中线、高线互相重合
三角形是等边三角形
探究新知
素养考点 1 等边三角形的判定
例 如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于 点O,且OD∥AB,OE∥AC. (1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由.
D.135°
课堂检测
基础巩固题
4.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
则AC=__6___，BC=_3__3____．
A
3
30°
B
C
5.在△ABC中,AB=AC=10 cm，BD是高，且∠ABD=30°，
则CD=___5_c_m_或__1_5_c_m_____.
课堂检测
能力提升题
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
探究新知
证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
A
求证： AB=AC=BC.
证明： ∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC.
∵ ∠B=∠C,
B
C
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
探究新知
证明： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习