数学人教B必修第一册：2.1.3方程组的解学案
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根据题意可列方程组为________．
9x 11y 答案为： (10 y x) (8x y) 13
四.课堂小结 本节课我们主要学习了哪些主要内容？你有什么收获？ 1.求二元一次（二次）方程组、三元一次方程组的解集的常用方法是消元法，将 二元或者三元最终化为一元，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注 意解集的表示形式． 2.求解应用题一定要读透题意，才能正确解答，要求同学要提高阅读能力，尤其 是要多读一些中国古代著名的数学专著，平时多注意这方面的积累。
（2）|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，则2a2 － 3ab的值是(
A．14 B．2 C．－2 D．－4
（3）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成 九十（意思是把你们两个手上的钱各分一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十； 丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱
问题：同学们想一下，求解二元二次方程组的一般的方法是怎样的？ 归纳小结： 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次 就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一 次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
变式训练：
x＋2y＝4，①
求方程组
的解集
五.课后作业
1.阅读课本，结合学案，进行知识整理，整理笔记本，尤其要阅读一下课本52页的拓展阅读.了解一下《九章算术》在代数 中的一些成就。 2.基础自测：课本54页练习A,练习B. 3.能力提升： （1）若a/2＝b/3＝c/7，且a－b＋c＝12，则2a－3b＋c等于( )
A. 3/7 B．2 C．4 D．12
x＋y＋z＝k （6）某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
科目 思想品德 历史 地理 参考人数(人) 19 13 18
其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的 有________人；该班至少有学生________人． (7)已知x，y满足方程组 3x2－2xy＋12y2＝47，
变式训练：
x y z 1 设方程组 x y 3z 5 的解集为集合A。判断（x，y，z）=（3,2,0）和（x，y，z） =（4，4，1）是否为集合A中的元素；判断A是一个有限集还是无限集。如何表示 方程组的解集？（提示：可以将一个变量当作常数）。 解：将z当作已知数，可以解得x=z+3，y=2z+2,所以方程组的解集可以写出
解： 设上禾实一秉x斗，中禾实一秉y斗，下禾实一秉z斗，根据题意，可列方程组
解得
x
37 4
,
y
17 4
,
z
11 . 4
故 上、中、下禾实一秉各为 3 7 斗，17 斗，1 1 斗。
4
44
问题：同学们想一下，求解应用题的一般思路是怎样的？
归纳小结： 根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.
二.典型例题 （一）三元一次方程组的解法
例 1 求下列方程组的解集．
2x＋y＋3z＝11，① （1） 3x＋2y－2z＝11，②
4x－3y－2z＝4.③
解：(1)①×2－②，得x＋8z＝11，④
①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤
联立④⑤，得
x+8z=11 10x+7z=37
解得
x= z=
3 1
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法 分别求出几种车型的辆数吗?
谢 谢 欣 赏！
方程组
x x
y y
1 的解集如何表示？ 3
1.方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组。方程组中，由每个方程的解集得到的
交集 称为这个方程组的解集。 2.求方程组解的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是 消元法 ，一般分 为 代入 消元法和 加减 消元法。
3.二元一次（二次）方程组的解集表示的方法可以是 {(x,y)} ，三元一次方程 组的解集表示的方法可以为 {(x, y，z)} 。
(8).水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每
辆车均满载)
车型
甲乙丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
A=（ x，y，z）|x=z+3，y=2z+2，z R
（二） 二元二次方程组的解集
例2 求下列方程组的解集．
x2 y2 5，①
（1） y x 1
②
（2）
x2 (x
y2 1)2
2, (y
2)2
1
① ②
[解]（1）将②代入①，整理得 x2 x20，解得 x =1,或 x=2.
利用②可知，x =1时，y =2；x =-2时，y =-1.
A 28 B 32 C 56 D 70
（4）、已知方程组
百度文库
y y
k
2
x x
1
,
则6下“）：k某班对12思"是想方品德程，组历的史解，集地理中三只门含课有程一的选个考元情素况的进（行调研），数据如
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充要条件
D既不充分也不必要条件
mx－ny－z＝7，
（5）已知x＝2，y＝－1，z＝－3是三元一次方程组 2nx－3y－2mz＝5，的解，则 m2 －7n＋3k的值为________.
三.当堂检测
1.方程组
x x
y 2 y2
1
9
的解集是（
D）
A (5,4)
B ( 5,-4 )
C (5, 4)
D (5, 4)
x＋y－z＝11，
2．求方程组 x＋z＝5，
的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( B )
x－y＋2z＝1
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
把x＝3，z＝1代入①，得y＝2. 所以原方程组的解集为{(3,2,1)}．
问题：同学们想一下，求解三元一次方程组的一般的方法是怎样的？ 归纳小结： 求解三元一次方程组的基本思想就是消元，通过“代入”或者“加减”进行消元， 变“三元”为“二元”，使三元一次方程组化为二元一次方程组，进而再化为一 元一次方程求解。
2xy＝－21②
[解] 由①得 x=4-3y ③ ,
将③ 代入②得 4y2 8y 21 0，解得
y 3 或y 7 22
代入①得
(7,
3 2
),(-3,
7 2
)
因此，原方程组的解集为 y 3时，x 7; y 7时，x 3.
2
2
（三） 方程组的实际应用
例3《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉 ，实三十四斗；上禾一秉，中禾二 秉，下禾三秉 ，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。（禾：粮食作物的 总称。秉：束。斗：计量单位，1斗=10升。）（请列方程组解决这个问题）。
2x2＋xy＋8y2＝36.
①甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________．
②求 x2 4 y2 的值；
③若已知：
1＋ 1 ＝2y＋x x 2y 2xy
和
(2 y x)2 x2 4 y2 4xy；则
1＋ 1 x 2y
＝________(直接求出答案，不用写过程)
所以原方程组的解集为{(1,2）,（-2，-1)}．
(2)由①-②，整理得 x +2y -3=0 ③
由此得 x=3-2y ，代入①，整理得 5y212y70， 解得 y 1或 y 7
5
利用③可知，y 1时，x 1; y 7时，x 1.
5
因此，原方程组的解集为{(1,1）,
( 15，7
）}
55
（2）求一元二次方程 x2 x20 的解集。
课堂探究：
一.导入新课
问题1：
将x y 1看成含有两个未知数x, y的方程：
（1）判断（x,y）=(3,2)(指的是
x
y
3, 下同）是否是这个方程的解； 2,
（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集。
问题2：
设集合A x, y | x y 1, B x, y | x y 3, A B _______
·
学习目标：
1.会用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组。 2.掌握二元二次方程组的解法。 3.能够根据具体的数量关系，列出方程组解决简单的实际问题，尤其与中国 古代数学史有关的数学问题
自主预习：
1.我们以前是利用什么方法解二元一次方程组的？
2.方程的解与方程的解集的区别与联系是什么？
x＋y＝4，① 3.（1）求方程组 2x－3y＝3.② 的解
x＝2，
3．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是
和
xy= 6
程组__ ___x__-_y=-1 ．(写一个即可）
y＝3
x＝－3，
试写出符合要求的方
y＝－2.
4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称 之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金 重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙 袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
9x 11y 答案为： (10 y x) (8x y) 13
四.课堂小结 本节课我们主要学习了哪些主要内容？你有什么收获？ 1.求二元一次（二次）方程组、三元一次方程组的解集的常用方法是消元法，将 二元或者三元最终化为一元，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注 意解集的表示形式． 2.求解应用题一定要读透题意，才能正确解答，要求同学要提高阅读能力，尤其 是要多读一些中国古代著名的数学专著，平时多注意这方面的积累。
（2）|3a＋b＋5|＋|2a－2b－2|＝0，则2a2 － 3ab的值是(
A．14 B．2 C．－2 D．－4
（3）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成 九十（意思是把你们两个手上的钱各分一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十； 丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱
问题：同学们想一下，求解二元二次方程组的一般的方法是怎样的？ 归纳小结： 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次 就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一 次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
变式训练：
x＋2y＝4，①
求方程组
的解集
五.课后作业
1.阅读课本，结合学案，进行知识整理，整理笔记本，尤其要阅读一下课本52页的拓展阅读.了解一下《九章算术》在代数 中的一些成就。 2.基础自测：课本54页练习A,练习B. 3.能力提升： （1）若a/2＝b/3＝c/7，且a－b＋c＝12，则2a－3b＋c等于( )
A. 3/7 B．2 C．4 D．12
x＋y＋z＝k （6）某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
科目 思想品德 历史 地理 参考人数(人) 19 13 18
其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的 有________人；该班至少有学生________人． (7)已知x，y满足方程组 3x2－2xy＋12y2＝47，
变式训练：
x y z 1 设方程组 x y 3z 5 的解集为集合A。判断（x，y，z）=（3,2,0）和（x，y，z） =（4，4，1）是否为集合A中的元素；判断A是一个有限集还是无限集。如何表示 方程组的解集？（提示：可以将一个变量当作常数）。 解：将z当作已知数，可以解得x=z+3，y=2z+2,所以方程组的解集可以写出
解： 设上禾实一秉x斗，中禾实一秉y斗，下禾实一秉z斗，根据题意，可列方程组
解得
x
37 4
,
y
17 4
,
z
11 . 4
故 上、中、下禾实一秉各为 3 7 斗，17 斗，1 1 斗。
4
44
问题：同学们想一下，求解应用题的一般思路是怎样的？
归纳小结： 根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.
二.典型例题 （一）三元一次方程组的解法
例 1 求下列方程组的解集．
2x＋y＋3z＝11，① （1） 3x＋2y－2z＝11，②
4x－3y－2z＝4.③
解：(1)①×2－②，得x＋8z＝11，④
①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤
联立④⑤，得
x+8z=11 10x+7z=37
解得
x= z=
3 1
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法 分别求出几种车型的辆数吗?
谢 谢 欣 赏！
方程组
x x
y y
1 的解集如何表示？ 3
1.方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组。方程组中，由每个方程的解集得到的
交集 称为这个方程组的解集。 2.求方程组解的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是 消元法 ，一般分 为 代入 消元法和 加减 消元法。
3.二元一次（二次）方程组的解集表示的方法可以是 {(x,y)} ，三元一次方程 组的解集表示的方法可以为 {(x, y，z)} 。
(8).水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每
辆车均满载)
车型
甲乙丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
A=（ x，y，z）|x=z+3，y=2z+2，z R
（二） 二元二次方程组的解集
例2 求下列方程组的解集．
x2 y2 5，①
（1） y x 1
②
（2）
x2 (x
y2 1)2
2, (y
2)2
1
① ②
[解]（1）将②代入①，整理得 x2 x20，解得 x =1,或 x=2.
利用②可知，x =1时，y =2；x =-2时，y =-1.
A 28 B 32 C 56 D 70
（4）、已知方程组
百度文库
y y
k
2
x x
1
,
则6下“）：k某班对12思"是想方品德程，组历的史解，集地理中三只门含课有程一的选个考元情素况的进（行调研），数据如
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充要条件
D既不充分也不必要条件
mx－ny－z＝7，
（5）已知x＝2，y＝－1，z＝－3是三元一次方程组 2nx－3y－2mz＝5，的解，则 m2 －7n＋3k的值为________.
三.当堂检测
1.方程组
x x
y 2 y2
1
9
的解集是（
D）
A (5,4)
B ( 5,-4 )
C (5, 4)
D (5, 4)
x＋y－z＝11，
2．求方程组 x＋z＝5，
的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( B )
x－y＋2z＝1
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
把x＝3，z＝1代入①，得y＝2. 所以原方程组的解集为{(3,2,1)}．
问题：同学们想一下，求解三元一次方程组的一般的方法是怎样的？ 归纳小结： 求解三元一次方程组的基本思想就是消元，通过“代入”或者“加减”进行消元， 变“三元”为“二元”，使三元一次方程组化为二元一次方程组，进而再化为一 元一次方程求解。
2xy＝－21②
[解] 由①得 x=4-3y ③ ,
将③ 代入②得 4y2 8y 21 0，解得
y 3 或y 7 22
代入①得
(7,
3 2
),(-3,
7 2
)
因此，原方程组的解集为 y 3时，x 7; y 7时，x 3.
2
2
（三） 方程组的实际应用
例3《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉 ，实三十四斗；上禾一秉，中禾二 秉，下禾三秉 ，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。（禾：粮食作物的 总称。秉：束。斗：计量单位，1斗=10升。）（请列方程组解决这个问题）。
2x2＋xy＋8y2＝36.
①甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________．
②求 x2 4 y2 的值；
③若已知：
1＋ 1 ＝2y＋x x 2y 2xy
和
(2 y x)2 x2 4 y2 4xy；则
1＋ 1 x 2y
＝________(直接求出答案，不用写过程)
所以原方程组的解集为{(1,2）,（-2，-1)}．
(2)由①-②，整理得 x +2y -3=0 ③
由此得 x=3-2y ，代入①，整理得 5y212y70， 解得 y 1或 y 7
5
利用③可知，y 1时，x 1; y 7时，x 1.
5
因此，原方程组的解集为{(1,1）,
( 15，7
）}
55
（2）求一元二次方程 x2 x20 的解集。
课堂探究：
一.导入新课
问题1：
将x y 1看成含有两个未知数x, y的方程：
（1）判断（x,y）=(3,2)(指的是
x
y
3, 下同）是否是这个方程的解； 2,
（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集。
问题2：
设集合A x, y | x y 1, B x, y | x y 3, A B _______
·
学习目标：
1.会用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组。 2.掌握二元二次方程组的解法。 3.能够根据具体的数量关系，列出方程组解决简单的实际问题，尤其与中国 古代数学史有关的数学问题
自主预习：
1.我们以前是利用什么方法解二元一次方程组的？
2.方程的解与方程的解集的区别与联系是什么？
x＋y＝4，① 3.（1）求方程组 2x－3y＝3.② 的解
x＝2，
3．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是
和
xy= 6
程组__ ___x__-_y=-1 ．(写一个即可）
y＝3
x＝－3，
试写出符合要求的方
y＝－2.
4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称 之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金 重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙 袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，