离心泵主要零部件的强度计算

第九章 离心泵主要零部件的强度计算
第一节 引言
在工作过程中，离心泵零件承受各种外力的作用，使零件产生变形和破坏，而零件依靠自身的
尺寸和材料性能来反抗变形和破坏。

一般，把零件抵抗变形的能力叫做刚度，把零件抵抗破坏的能力叫做强度。

设计离心泵零件时，应使零件具有足够的强度和刚度，已提高泵运行的可靠性和寿命，这样就要尽量使零件的尺寸做得大些，材料用得好些；但另一方面，又希望零件小、重量轻、成本低，这是互相矛盾的要求，在设计计算时要正确处理这个矛盾，合理地确定离心泵零件尺寸和材料，以便满足零件的刚度和强度要求，又物尽其用，合理使用材料。

但是，由于泵的一些零件形状不规则，用一般材料力学的公式难以解决这些零件的强度和刚性的计算问题。

因此，推荐一些经验公式和许用应力，作为设计计算时的参考。

对离心泵的零件，特别是对过流部件来说，耐汽蚀、冲刷、化学腐蚀和电腐蚀问题也是非常重要的，有些零件的刚度和强度都满足要求，就是因为汽蚀、冲刷、化学腐蚀和电腐蚀问题没有处理好而降低了产品的寿命。

对于输送高温液体的泵来说，还必须考虑材料的热应力问题。

第二节 叶轮强度计算
叶轮强度计算可以分为计算叶轮盖板强度、叶片强度和轮毂强度三部分，现分别介绍如下：
一、叶轮盖板强度计算：
离心泵不断向高速化方向发展，泵转速提高后，叶轮因离心力而产生的应力也随之提高，当转速超过一定数值后，就会导致叶轮破坏，在计算时，可以把叶轮盖板简化为一个旋转圆盘（即将叶片对叶轮盖板的影响忽略不计）。

计算分析表明，对旋转圆盘来说，圆周方向的应力是主要的，叶轮的圆周速度与圆周方向的应力σ(MPa ）近似地有以下的关系:
62
210-⨯=u ρσ (9-1)
式中 ρ—材料密度（kg/m 3）；（铸铁ρ=7300 kg/m 3；铸钢ρ=7800 kg/m 3；铜ρ=7800 kg/m 3
） u 2—叶轮圆周速度（m/s ）；
公式(9-1)中的应力σ应小于叶轮材料的许用应力〔σ〕，叶轮材料的许用应力建议按表9-1选取。

经验表明，铸铁叶轮的圆周速度u 2 最高可达60 m/s 左右。

因此，单级扬程可达到200米左右；
铬钢叶轮的圆周速度u 2最高可用至110 m/s 左右。

因此，单级扬程可达到650米左右。

如果叶轮的圆周速度没有超过上述范围，则叶轮盖板厚度由结构与工艺上的要求决定，悬臂式泵和多级泵的叶轮盖板厚度一般可按表9-2选取，双吸泵的叶轮盖板厚度较表中推荐数值大1/3 到一倍。

表9-2 叶轮盖板厚度
二、叶片厚度计算：
为扩大叶轮流道有效过流面积，希望叶片越薄越好；但如果叶片选择得太薄，在铸造工艺上有一
定的困难，而且从强度方面考虑，叶片也需要有一定的厚度。

目前，铸铁叶轮的最小叶片厚度为3～4毫米，铸钢叶片最小厚度为5～6毫米。

叶片也不能选择的太厚，叶片太厚要降低效率，恶化泵的汽蚀性能。

大泵的叶片厚度要适当加厚一些，这样对延长叶轮寿命有好处。

表9-3 叶片厚度的经验系数
叶片厚度S(毫米)可按下列经验公式计算：
12
+=Z
H KD S i
(9-2) 式中 K —经验系数，与材料和比转数有关，对铸铁和铸钢叶轮，系数K 推荐按表9-3选取；
D 2—叶轮直径（米）； H i —单级扬程（米）； Z —叶片数。

三、轮毂强度计算
对一般离心泵，叶轮和轴是动配合。

大型锅炉给水泵和热油泵等产品，叶轮和轴是静配合。

为了使轮毂和轴的配合不松动，在运转时由离心力产生的变形应小于轴和叶轮配合的最小过盈量。

在叶轮轮毂处由离心力所引起的应力可近似按公式（9-1）计算，由此应力所引起的变形为：
C D E
D σ
=
∆ (9-3)
式中 E —弹性模量（MPa ）；（铸铁E=1.2×105
；铸钢E=2×105
；铜E=1.1×105
） D C —叶轮轮毂平均直径（mm ）；
△D —由离心力引起的叶轮轮毂直径的变形（mm ）。

△D 应小于叶轮和轴配合的最小过盈量△min ，即 △D ＜△min
例题：叶轮外径D 2=360mm 、转速n ＝1480r/min 、比转数n s =96、单级扬程H i =40m 、叶片数Z=7、叶轮材料为HT200。

试计算叶轮盖板和叶片厚度。

如果轴径为75mm ，叶轮与轴的配合为H7/r6，轮毂平均直径D C =82.5mm ，试求泵在工作时叶轮和轴是否松动？
解：1. 计算圆周方向应力，代入公式（9-1)，得
MPa u 68.51060148036.0730010
6
2
6
22
=⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯⨯⨯=⨯=--πρσ
由表9-1知，σ＜〔σ〕，故在n ＝1480 r/min 时，叶轮盖板是安全的，此时叶轮盖板厚度由结构和工艺要求确定。

由表9-2知，可选叶轮盖板厚度为6mm 。

2．计算叶片厚度：由表9-3，取经验系数K ＝5，代入公式(9-2)，得 mm Z H KD S i 3.517
40
36.0512
=+⨯=+= 取叶片厚度S=6mm 。

3. 代入公式(9-3)，可得离心力所引起的叶轮轮毂直径变形量△D ：
0039.05.8210
2.168
.55
=⨯⨯=
=
∆C D E
D σ
mm 由公差配合表可知，φ75 H7/r6的最小过盈量△min =0.013mm,即
△D ＜△min
所以，叶轮和轴不会松动。

第三节 泵体强度计算
常用的离心泵泵体有涡室和中段（包括前、后段）两种，现分别介绍近似的计算方法。

一、涡室壁厚的计算
涡室是离心泵中较大的零件，并承受高压液体作用。

所以，涡室除了应有足够的强度和良好的工艺性外，为了保证运转的可靠性，还必须有足够的刚度。

在生产实验中，有个别涡室虽然强度够了，但由于刚度不够，在加工、试验、存放和运行过程中产生了变形，影响了离心泵的装配和运行。

目前，一般低压和中压泵的涡室均以铸铁制造，实践表明，如果泵体壁厚超过40毫米，在铸造时容易产生疏松现象。

所以，对吐出压力超过5MPa 的泵，很少采用普通铸铁泵体，一般均采用高强度铸铁(如球磨铸铁)、铸钢或合金钢制造。

由于涡室形状很不规则，很难准确地计算涡室中的应力，现推荐下列建立在统计基础上的方法：
〔σ〕
H
H Q
S S cq
=
(9-4)
图9-1 离心泵涡室
式中 S —涡室壁厚（mm ），如图9-1所示：
〔σ〕—许用应力（MPa ）。

在应用公式(9-4)时，铸铁的许用应力按〔σ〕=9.807～14.71
MPa ；铸刚的许用应力按〔σ〕=19.613～24.517MPa 计算；比转数小时取较大的许用应力；
S cq —涡室的当量壁厚，可按下式计算：
2.70084.01545
++=
s s
cq n n S （9-5） 对大型泵，采用公式（9-5）计算时还必须注意使泵体有足够的刚度，对输送腐蚀性液体的泵，还应添加必要的腐蚀余量。

二、分段式多级泵中段计算
可以把分段式多级泵中段认为是受压圆筒，如图9-2。

对外经D 2和内径D i 的比值i
ou
D D ＞1.1的中段，可认为是厚壁圆筒，对脆性材料的厚壁圆筒可按下式计算厚壁S(mm)
2
1i D P P
S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=〔σ〕〔σ〕 （9-6）
图9-2 分段式多级泵的泵体
对塑性材料（如钢）可按下式计算壁厚S(mm)：
212i D P S ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=〔σ〕〔σ〕 （9-7） 式中 P —泵体承受的工作压力（MPa ）；
D i —中段内径(mm)；
〔σ〕—许用应力（MPa ），按表9-4选取。

对外经D 和内径D i 的比值
＜i
ou
D D 1.1的中段，可认为是薄壁圆筒，薄壁圆筒可按下式计算壁厚S(mm)； 〔σ〕
2i
PD S =
(9-8)
表9-4 泵体的许用应力
对于输送腐蚀性液体的泵，应选用耐腐蚀材料，并添加适当的腐蚀余量C 。

对弱腐蚀性液体，一般C=2mm ；对中等腐蚀性液体，一般C=4mm ；对强腐蚀性液体，一般C=6mm ；对于输送高温液体的泵，除考虑热应力外，还应考虑材料的蠕变性质。

除了计算中段的强度外，还应注意刚度，在生产实验中曾有个别泵体因刚度不够，在加工过程中发生变形，影响装配和运行。

例题①：，有一台单吸单级悬臂式离心泵，Q=90米3
／时、H=66米、n=2950转／分、叶轮外径D2=232毫米、以HT200铸铁制造泵体，求泵体厚度？
解：首先计算泵的比转数:
5.7366
3600
90
295065.365.34
34
3=⨯⨯=
=
H
Q n n s
计算涡室的当量厚度S cq ，代入公式(9-5)得：
84.282.75.730084.05
.731545
2.70084.01545=+⨯+=++=
s s cq n n S 取HT200的许用应力〔σ〕=11MPa,代入式（9-4），得涡室厚度：
mm H H Q S S cq
6.91166
66
36009084.28=⨯⨯==〔σ〕
取涡室壁厚为10mm 。

例题②：有一台分段式多级泵，单级扬程为40米，最多级数为9级，中段外径D ou =560毫米，内径D i ＝516毫米，泵体材料为HT200，试校核强度。

解：对9级的分段式多级泵来说，中段最多只承受8级压力（见图9-2)，故中段所承受压力P=ρgH=1000×9.807×320×10-6
=3.138MPa 。

首先计算外径D ou 和内径D i 的比值：
085.1516
560
==i ou D D 由此可知应按薄壁圆筒计算，代入公式（9-8)得：
MPa S
PDi 8.362
5165602516
138.32=-⨯
⨯==
σ
由表9-4可知，中段是比较安全的。

第四节 泵体密封面连接螺栓计算
多级泵穿杠（前、后段螺栓）和水平中开式上下泵体的螺栓是离心泵的主要零件之一，泵体完全靠螺栓的拉紧力来保证其密封性，如图9-2和图9-3所示。

这类螺栓在离心泵工作时，除了承受泵腔内液体静压力作用在泵体上的拉力P w 外，还有使泵体密封面压紧，保证密封面密封性的拉力P m ，所以每个螺栓上总的载荷P 为：
m w P P P += （9-9）
平衡液体静压力的拉力P w （牛顿）可按下式计算：
n
P D P i
w 1
4
2'=
π
（9-10） 为了保证泵体接合面密封性的拉力 P （牛顿）可按下式计算：
n
bmp D P i
m 1
2'=π （9-11） 上两式中 D ′—泵体密封面垫片平均直径（mm ），如图9-3； p i —泵腔内液体最大静压力（MPa ）； n —螺钉数；
m 一密封面系数，与密封面所用的垫片材料性质和结构有关。

根据实践经验：对工
作温度为200℃以下的泵，在泵体密封面间加纸垫，可取m ＝2；当工作温度超过200℃时，密封面不加垫片，靠泵体金属面直接密封，此时m ＝6～6．5； b —泵体密封面垫片有效计算宽度（mm ）；当垫片实际宽度b 0＜6mm 时，取b=b 0；．当
b 0＞6mm 时，取2100b b ⨯=。

因此，连接螺栓的最小直径d （mm ）为： []
σπ
4
3.1P d =
（9-12） 式中〔σ〕—螺栓的许用应力。

对碳素钢：
d=6～16毫米时，可取〔σ〕＝（0.2～0.25）σs ； d=16～30毫米时，可取〔σ〕＝（0.25～0.4）σs ； d=30～60毫米时，可取〔σ〕＝（0.4～0.6）σs ； 对合金钢：
〔σ〕=（0.31～0.4）σs 。

σs 为材料的屈服强度。

对于压力较高的泵，由于结构上的原因，常常限制螺栓的数量不能太多。

为了保证泵体密封面的密封性，每个螺栓都要承受很大的拉力，因此，连接螺栓的应力一般都很高，必须用高强度的材料。

对这样的连接螺栓，在拧紧时必须十分小心。

螺栓的预紧程度应恰当和均匀。

如果拧得过紧，
可能使螺栓内应力接近或超出材料的屈服极限，使螺栓产生塑性变形而逐渐伸长，反而失去了拉紧的作用。

对于输送高温液体的泵，还必须考虑由于泵体与连接螺栓间的温差而产生的应力。

图9-3 泵体密封面连接螺栓
图9-4 中段密封面尺寸
例题：有一台分段式多级泵，工作压力p i =3.6MPa ，在常温下工作，中段密封面尺寸如图9-4所示，根据结构安排情况，取连接螺栓为8个，材料为45号钢，试计算密封面连接螺栓直径。

解：根据工作情况，密封面可加纸垫。

每个螺栓的负荷P w 可由公式（9-10）求得：
9834381
6.325155404142
2=⨯⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛+='=ππ
n P D P i w 牛顿
每个螺栓的负荷P m 。

可按公式(9-11）计算，取系数m=2，得：
166678
16.3222515
540102515540212=⨯⨯⨯-⨯
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯='=ππn bmp D P i
m 牛顿
每个螺栓的总负荷P 为：
1150101666798343=+=+=m w P P P 牛顿
连接螺栓材料为45号钢，σs =360MPa ，取材料的许用应力〔σ〕=0.535σs =192.6MPa ≈193MPa ，连接螺栓的最小直径可由公式（9-12）求得：
[]
mm P
d 45.316
.1924
115010
3.14
3.1=⨯⨯=
=
π
σπ
此处计算出的d 是连接螺栓最小直径，由GB/T196-1981知，M36的螺纹底径为φ31.67厘米，因此，取连接螺栓的螺纹为M36，如图9-5所示。

图9-5分段式多级泵的密封面连接螺栓 i 一级数
第五节 泵轴的校核
根据给定的泵的设计参数：流量Q(m 3
/h)、扬程H(m)和转速n(r/min)，计算比转数，进而根据泵的结构形式，查有关标准（也可用经验公式通过计算）确定泵效率η，然后按下式计算泵的轴功率：
()kW QH
P 1.2～1.13600807.9⨯⨯=
η
(9-13)
按扭矩法初步确定泵轴最小轴径（mm ）:
C n
P
d ⨯≥3
(9-14) 式中 d —轴的外径（mm ）；
C —与轴的材料及相应的扭应力Tp τ值有关的系数；（见表9-5） P —泵的轴功率（kW ）； n —泵轴转速(r/min)；
注：①当弯矩相对转矩很小或只受转矩时，C 取较小值（τ
Tp
取较大值），否则反之。

②当轴截面有一个键槽时，需将轴径加大3%；同一截面有两个键槽时，需将轴径加大7%。

表9-5 几种常用轴材料的Tp τ及C 值
叶轮、轴套等零件是套装在轴上，并同在泵体内高速旋转，轴的强度和刚度对泵的寿命和可靠性有很大的影响，所以，对轴的强度和刚度的校核是十分必要的。

一、轴的强度校核
当泵的结构和轴的长度未确定时，无法确定支承反力和轴所受的弯矩，应按公式（9-13）、（9-14）计算轴功率、最小轴径d,并在此基础上确定了安装叶轮处的轴径。

在泵水力设计和结构设计初步完成后，应该校核泵轴的强度和刚度。

泵轴的自重和套装在轴上的叶轮、轴套等零件的重量，转子的径向力、由叶轮平衡后的剩余不平衡所引起的离心力和采用皮带传动时的皮带拉力等使轴弯曲，因此，泵轴是在弯曲与扭转联合作用下工作的，通常应以弯曲和扭转联合作用来校核轴的强度。

根据材料力学中的第三强度理论，弯、扭联合作作用的轴径d （mm ）可按下列公式计算：
3
1.0b
〔σ〕dx
M d ≥ (9-15)
式中 [σ]b —材料许用弯曲应力（MPa ）； M dx —当量弯矩（N ·mm ）。

对泵轴来说，弯矩是一个对称循环变化负荷，泵轴的许用弯曲应力可按表9-6选用。

表9-6 泵轴的许用弯曲应力
泵轴的当量弯矩M dx （N ·mm ）可按下式计算： 22M M M dx α+'=
（9-16)
式中 M ′—计算断面的弯矩（N ·mm ）； M —计算断面的扭矩（N ·mm ）；
α—考虑到弯曲应力和扭转应力情况差异的校正系数，对离心泵的轴一般
可取α=0.57～0.61。

在使泵轴产生弯曲变形的作用力中，轴、轴套和叶轮等零件的自重可以称出或计算出，对导叶式多级泵来说，可以不必考虑转子的径向力，涡壳式泵在设计工况下工作时，径向力很小，可以忽略不计，必要时可以用泵在工作范围的上限和下限工作时的径向力来进行校核；用皮带传动的径向力可由皮带拉力算出；由叶轮平衡后的剩余不平衡所引起的离心力C （N ）比较小，在一般情况下可忽略去不计，对较重要的可按以下公式计算：
e mn C 25101.1-⨯= (9-17)
式中 C 一每个叶轮由平衡后的剩余不平衡所引起的离心力(N)， m —叶轮质量（kg ）；
n —泵转速（r ／min ）；
e —叶轮重心与转动轴心的偏心距（mm ），一般叶轮平衡精度为G6.3；对应该平衡精度，
偏心距计算公式为：mm n
n e 16
.602603.63
.6=⨯=
=
πω。

计算时，可根据轴的弯矩图和扭矩图，选择危险断面，按公式（9-15）进行校核。

在离心泵轴上，一般均有固定叶轮、轴套和其他零件用的键槽，键槽对泵轴的强度和刚度的影响，已在安全系数（即许用应力）中考虑，不必另行计算。

对一般泵轴来说，采用弯扭联合作用来校核已经足够了，但对比较重要的泵轴，还需进一步知道轴在交变应力状态下的安全程度，常采用安全系数校核法。

关于安全系数校核法在一般“机械零件”或“机械设计手册”中均有介绍，此处不再重复。

二 、轴的刚度校核
对泵轴来说，刚度校核就是计算轴的最大挠度，轴的最大挠度加转子装配后的径向跳动应小于叶轮密封环的最小间隙，否则将影响泵工作的可靠性和寿命。

一般认为叶轮密封环最小间隙等于名义间隙的2/3～1/2。

泵转子静挠度可以用图解法，也可以用解析法求得，解析法可参考表9-7进行计算： 在计算静挠度时，可以用叠加法，例如对有几个叶轮的多级泵来说，在各个叶轮单独作用时对某一断面所产生的挠度分别为：y 1、y 2、y 3、……y n ，则该断面的总挠度y 为：
n y y y y y y +++++= 4321 （9-18）
应该指出，泵的实际挠度往往小于计算值。

因为级间套、平衡盘、隔板衬套和填料函等都起一部分支承作用，多级泵转子拧紧后，叶轮、轴套等套装在轴上的零件也能相对地提高轴的刚度。

所以，有时虽然计算的多级泵转子的静挠度大于最小密封间隙，但泵仍能正常工作。

实践经验表明，卧式泵轴的刚度，只要满足下列条件就不会有问题： 多级泵轴的细长比：d/l ≥0.035～0.04 单级悬臂泵悬臂比：t/l ≤1.0～1.5 两级悬臂泵悬臂笔：t/l ≤1.8～2.2 式中 l —两支承中心间的距离； d —装叶轮处的轴径； t —泵轴悬臂部分长度。

表9-7 泵轴的弯曲应力和静挠度
注：E 一材料弹性模量，对一般钢E=2.1×105
MPa ；
J 一轴断面极惯性矩，44
64
mm d J π=
；
W b —抗弯截面系数，33
32
mm d W b π=；
W —集中负荷（N ）； w —均布负荷（N ）； σb —弯曲应力（MPa ）。

例题：如图9-6所示的9级多级泵，泵轴传递的扭矩为M=3090000N ·mm ，装叶轮处轴径为75毫米。

泵转速1480转/分，轴以45号钢制成，试校核轴的强度和刚度。

解：1.校核强度 求支点A 的支反力F A
F A ＝（95×53.5＋65×144＋135×226.5＋70×278.5＋240×398.5＋240×528.5＋240×658.5＋240×788.5＋240×918.5＋240×1048.5＋240×1178.5＋240×1308.5＋250×1438.5＋125
×1593.5＋50×1753.5一500×1930.5）÷1807=1384472.5÷1807=766.2N
一般多级泵轴在两支承中间处的弯矩最大，取第5个叶轮处弯矩为：
M ′＝240×130＋240×260＋240×390＋250×520＋125×675＋50×835-766.2×888.5-500×1012=-743443.7N ·mm
取α=0.6，代入公式(9-16)可求得当量弯矩M dx 为 mm N M M M dx ⋅=⨯+=+'=
250630630900006.07.7434432222α
代入公式（9-15），可求得轴的弯曲应力G 。

MPa d M dx 4.59751.02506306
1.03
3=⨯==
b 〔σ〕 由表9-6知，轴是安全的。

但σb 已接近〔σ〕b 。

图9-6 泵轴受力图
2.校核刚度
计算轴的细长比:0.04＞0.0415180775==d ，故泵轴是可以采用的。

也可以用表9-7中的第三种载荷形式的公式，分别计算各载荷单独作用时轴中点处的挠度，然后用叠加法求总挠度，计算从略。

第六节 键的校核
在水泵结构中一般均采用平键联接，其受力情况如图9-7；对于普通平键（静联接）失效形式：键、轴和轮毂三者中较弱的（通常为轮毂）工作表面被压溃，而键被切断的情况在工程实践当中十分罕见，因此对键联接一般只进行挤压强度校核计算。

下面给出挤压强度和剪切强度校核公式：
[]jY jY dkl T
σσ≤=
2 （9-19） []ττ≤=dbl
T 2 （9-20）
式中 T —泵轴传递的扭矩（Nmm ） d —轴径（mm ）
k —键与轮毂接触高度（mm ）；平键k=h/2(h 为键的
高度)；
图9-7 平键联接受力简图
l —键的工作长度（mm ），对于A 型平键l=L-b （L 为键的总长）； b —键的宽度（mm ）；
[σ]jY —键联接的许用挤压应力（Mpa ）,见表9-8； [τ]—键的许用剪应力（MPa ）,见表9-8。

第七节 转子临界转速的计算
离心泵的转子和其他轴系一样，都有自己的固有振动频率。

当泵轴的转速逐渐增加并接近泵转子的固有振动频率时，泵就会猛烈振动起来，转速低于或高于这一转速时，泵就能平稳地工作，当转速达到另一个较高的数值时，泵又会重复出现振动现象。

通常把泵发生振动时的转速称为临界转速n c ，泵发生振动的临界转速有好几个，这些临界转速由低到高，依次称为第一临界转速n c1、第二临界转速n c2等等。

泵的工作转速不能与临界转速相重合、相接近或成倍数，否则，将发生共振现象而使泵遭到破坏。

计算泵的临界转速的目的就是为了使泵的工作转速避开临界转速，以免泵在运转时发生共振。

泵的工作转速低于第一临界转速的轴称为刚性轴；高于第一临界转速的轴成为柔性轴。

通常将单级泵的轴设计成刚性轴，即泵的工作转速低于轴的临界转速。

因为，如果把单级泵的轴设计成柔性轴时，每次开车和停车，轴都要通过第一临界转速而产生共振，这种振动会使叶轮密封环和填料函（或机械密封、浮动环密封等）加速磨损。

一般来说，刚性轴的工作转速必须满足下列关系：
n ≤(0.75～0.8)n c1 (9-21)
通常把多级泵的轴设计成柔性轴较为合理，即泵的工作转速大于第一临界转速。

因为如果把多级泵的轴设计成为刚性轴时，轴的直径增大，轮毂直径d h 和叶轮直径D 0也要相应增大，这样会降低泵的效率和汽蚀性能。

一般柔性轴的工作转速必须满足下列关系：
1.3n c1≤n ≤0.7n c2 (9-22)
离心泵通常只用到第二临界转速，用到第三临界转速的比较少，对于双支撑离心泵，可近似地认为各阶临界转速间有下列比例关系：
9:4:1::321=c c c n n n （9-23）
对于悬臂式离心泵，可近似地认为有下列比例关系：
5.17:3.6:1::321=c c c n n n （9-24）
一般来说，泵轴的临界转速（即转子的固有振动频率）仅与转子本身的质量和刚性系数有关，与外力和轴的位置形式（如立式或卧式等）无关。

下面介绍几种简便实用的临界转速的近似计算公式。

一、估算第一临界转速的经验公式
min)/(807.92
1r l
G l d k
n c ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛= （9-25） 式中 d —最大轴径（mm ）； l —轴承间距(m)； G —转子总重量（N ）；
k —经验系数，对轴径由中间向两端逐渐减小的轴采用k =7.5，对于沿着长度近似为等直
径的轴采用k =8.1。

此公式适合于两支点的多级泵。

例题：见图（9-8），已知泵轴最大直径d=100mm ，两轴承（轴承处直径95mm ）间距离l =1.75m ，转子总重G=3097N 。

求临界转速1c n 。

由已知条件，取k =8.1
min)/(196775
.1807.9309775.11001.8807.92
2
1r l
G l d k
n c =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⨯⎪⎭⎫
⎝⎛=
图9-8 泵轴尺寸和荷重
二、叠加法计算临界转速
对轴上作用若干个集中荷重的轴系，可用下式近似计算临界转速：
+++=22
212021111n n n n c （9-26） 式中 n c —轴系的临界转速（r/min ）； n 0—轴本身的临界转速（r/min ）；
n 1—只有第一个荷重作用下轴的临界转速（此时轴的自重不计）（r/min ）； n 2—只有第二个荷重作用下轴的临界转速（此时轴的自重不计）（r/min ）； ……。

经验表明，用叠加法计算的临界转速较真实值小2%～10%。

单个集中荷重作用下的轴的临界转速可用静挠度表示：
i
ci y n 1
299
=（r/min ） （9-27） 根据式（9-26）可知，轴系的临界转速为：
∑=i
c y n 1
299
（r/min ） （9-28）
式中 y i —单个集中荷重作用下的静挠度（cm ）。

例题：见图9-9，求两级泵轴的临界转速。

解：平均惯性矩
)(4526749260
1310350100952601001310953509010064644
4
4
mm l
l d J i
i i =⎪⎭
⎫
⎝
⎛+++⨯+⨯+⨯+⨯=
⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=
∑∑ππ
()()mm EJ a l Ga y 04.04526749
101.23270175027078435221=⨯⨯⨯+⨯⨯=+= ()()mm EJl a l Ga y 036.01750
4526749101.23380175038066635
2
22
22=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-= ()()mm EJl a l Ga y 048.01750
4526749101.236801750680441352
22
23=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-= ()()mm EJl a l Ga y 0524.01750
4526749101.239301750930441352
22
24=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-= ()()mm EJl a l Ga y 056.01750
4526749101.23118017501180608352
22
25=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-= ()()mm EJl a l Ga y 0048.01750
4526749101.23149017501490157352
22
26=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-= 将单位变成cm 后代入式9-27，得
min)/(193200048
.00056.000524.00048.00036.0004.01
299r n c =+++++⨯
=。