不等式不等关系一元二次不等式

第一节、不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质
1. 比较两个数(式)的大小
[例1] ①已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5
a 5
的大小
②已知b a 、为正数且b a ≠，比较33b a +与2
2ab b a +的大小关系
由题悟法
比较大小的常用方法 (1)作差法：
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用通分、配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断． [注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
典题导入
[例2] ①已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． ②已知b a >,n m >,0>p ,求证bp m ap n -<-。

③若810-<<<b a ，则b a +的取值范围是_________。

由题悟法
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
以题试法
3．若α，β满足⎩
⎪⎨⎪
⎧
－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列命题正确的是( )
A ．若ac ＞bc ⇒a ＞b
B ．若a 2＞b 2⇒a ＞b
C ．若1a ＞1
b
⇒a ＜b
D ．若a ＜b ⇒a ＜b
2．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值( )
A ．大于0
B ．等于0
C ．小于0
D ．不确定
3.
1
2－1
________3＋1(填“>”或“<”)． 4．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c . 其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．
5．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞b
x 这五个式子中，恒成立的
所有不等式的序号是________．
第二节、一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解集
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的解集的关系，可归纳为：
若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
解一元二次不等式应注意的问题：
(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．
(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况． (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．
(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同
典题导入
[例1] 解下列不等式：
(1) 0＜x 2－x －2≤4； (5)－3x 2－2x ＋8≥0；
(2) x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (6)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． (3)042
>++ax x (4)0132
>-+-a x ax
[例2] ① 已知关于x 的不等式02
<+-b ax x 的解集为{}
32<<x x ，求求不等式012
>--ax bx 的解集.
②已知不等式)0(02
≠>++a c bx ax 的解集是}41|{<<x x ，求二次不等式02
<++a bx cx 的解集。

[例3] 设2()6f x mx mx m =--+
（1）若对于0)(,≥∈∀x f R x 恒成立，求实数x 的取值范围 （2）若对于[2,2],()0m f x ∈-<恒成立，求实数x 的取值范围 （3）若对于[1,3],()0x f x ∈<恒成立，求实数m 的取值范围
[例4] 若不等式k －3
x －3
＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝________.
由题悟法
1．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； (2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
1．设0>a ，若关于x 的不等式51
≥-+
x a
x 在）∞+∈,1(x 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ． 16
B ． 9
C ．
4
D ． 2
2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≠－13 B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
－13 C.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－13≤x ≤13 D ．R 3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(－2,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．不等式x －1
x ＋2
＜0的解集为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，－2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
5．不等式4
x －2
≤x －2的解集是( )
A ．(－∞，0]∪(2,4]
B ．[0,2)∪[4，＋∞)
C ．[2,4)
D ．(－∞，2]∪(4，＋∞) 6．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )
A ．(4,5)
B ．(－3，－2)∪(4,5)
C ．(4,5]
D ．[－3，－2)∪(4,5]
7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.
8．不等式1
x －1
＜1的解集为________．
9. 若0)2(22<+-+k kx kx 恒成立，则实数k 的取值范围是______ ______.
10．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．
11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3，
且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________．
12．解下列不等式：
(1)8x －1≤16x 2；
(2)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)．。