高中数学知识点精讲精析 双曲线及其标准方程

3.1双曲线及其标准方程
1.双曲线的第一定义
数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F1和F2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。

两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）
2.双曲线的第二定义
(1)文字语言定义:
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率。

(2)集合语言定义:
设 双曲线上有一动点M,定点F,点M 到定直线距离为d,
这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.
注意:定点F 要在定直线外 且 比值大于1.
(3)标准方程
设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M 到定直线l:x=a^2/c 的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1.
推导出的双曲线的标准方程为
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
这是中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线标准方程.
而中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线标准方程为:
1． 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 2
1sin sin =-，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系
呢？
【解析】
以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．
设()y x A ，，由A B C sin 2
1sin sin =-及正弦定理可得： 12
1==
-BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：
()0012
2
22>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴2
1=a ，1=c ∴4
3222=-=a c b ∴所求双曲线方程为13
442
2=-y x ∵01>=-AC AB ∴2
1>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分
2． 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：
（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，
A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()412
22=++y x C ：都外切． （3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()1322
2=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出
轨迹方程．
【解析】
设动圆M 的半径为r
（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA
∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：
2
2=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()
217222
2-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，
112=-MC MC
∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：
21=a ，1=c ，4
3222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：
⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422
y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC
∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：
2=a ，3=c ，5222=-=a c b
∴所求双曲线方程为：
()215
42
2≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．
（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
3． 在周长为48的直角三角形MPN
中，︒=∠90MPN ，4
3tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．
【解析】
∵MPN ∆的周长为48，且4
3tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．
由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．
以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为122
22=+b
y a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．
由962
22=-=a c b ，得所求双曲线方程为19642
2=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．。