初一数学整式规律探索含答案

规律探索
中考要求
重难点
1.能根据图，表，数，式中的排列特征，探究期中蕴藏的数式规律
课前预习
德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误.
长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。

他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。

数学家们则称呼他为“数学王子”.
他八岁时进入乡村小学读书。

教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。

而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣.
这一天正是数学教师情绪低落的一天。

同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。

”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了.
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好.。

有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来.
还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师，答案是不是这样？”
老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。

”他想不可能这么快就会有答案了.
可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的.”
数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？
高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n 的方法。

高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。

他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。

在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了
例题精讲
模块一 规律探索
在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.
归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法.
注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径； 1. 从数与式的特征观察； 2. 从几何图形的结构观察；
3. 通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况. 规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将今年中考规律类中考试题分析如下：
一、 设计类
【例1】 将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形任意圈出其中的9个
数，设圈出的9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9个数的和为 .
【难度】1星
【解析】解决本题的关键是认真审题，仔细观察图形，找数字之间的关系，发现规律，利用代数式的规律
命题是近年来代数式命题的热点.
本题主要考察列代数式，寻找长方形中9个数之间的大小关系，若中心数为a ，则a 上方的数可记
为6a -，下方的数记为6a +,左边的数记为1a -，右边的数记为1a +，左上方的数记为7a -，右上方的数记为5a -，左下方的数记为5a +，右下方的数记为7a +，所以这九个数相加的和为
9a .
【答案】9a
【例2】 观察算式：
22222
11;132;1353;1357164;13579255=+=++=+++==++++==
用代数式表示这个规律（n 为正整数）()1357921n +++++
+-=____________
【难度】1星
【解析】用代数式表示数的规律，要认真观察特例，然后有特殊得到一般规律，特别注意n 的表示意义.
认真观察已知等式的数字变化规律，左边为从1开始的连续奇数的和，右边为数字个数的平方.
【答案】2n
【例3】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完
全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）…… 依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为
______________
【难度】1星
【解析】由图可知，可列表
由上表发现，后面每次镶嵌的木块都比前一次增加8块，即第n 次镶嵌木块数为()28186n n +-=+（块）观察图形变化可找规律，从表格中数量变化也可寻找规律，因此可以从“数”“形”两方面解 决此类问题。

【答案】86n +
【例4】 如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上
都有n ()2n ≥枚棋子，每个图案中棋子总数为s ，则s 与n 之间的关系可以表示为 .
次数 1 2 3 …
… 木块
数
2 10 18 …
…
【难度】1星
【解析】由图(1)可知，2,4
n s
==；由图（2)可知，3,4442
n s
==+=⨯；由图(3)可知，4,44443
n s
==++=⨯；由图可知，5,444444
n s
==+++=⨯，…∴s与n之间的关系可用式子()
41
s n
=-表示.．
【答案】()
41
s n
=-
☞巩固练习
1.如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间
的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题
.
（1）将下表填写完整；
图形编号（1）（2）（3）（4）（5）
三角形个数 1 5 9
（2）在第n个图形中有个三角形
【难度】1星
【解析】略．
【答案】(1)13,17 (2)43
n-
2.(09梅州市）如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，
第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．
【难度】2星……
第1幅第2幅第3幅第n幅
【答案】7，21n -
3. （2007湖南湘潭）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A ．26n +
B ．86n +
C ．44n +
D ．8n 【难度】1星
【解析】由图知,一个金鱼要8根火柴,两个金鱼要14根火柴,三条金鱼要20根火柴,以此类推彼此差6,所
以n 个金鱼要26n +根火柴
【答案】A
4. （2007广西河池非课改）填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = .
C
B
A 556
7
5320
5
31
【难度】2星
【解析】观察法知,四方框左上角的数成1,3,5,7
21n -排列,右上角的数成3,5,7,921n +排列,左下角的
数成5,7,9
22n +排列.那么右下角的数是四方框第一行两个数的和与左下角数的乘积.所以
()7,9,579108A B C ===+⨯=
【答案】108
5. （09梧州市）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形
．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ）
图（3）
……
n =1 n =2
n =3
【解析】观察法,由图知边长为1的正方形要火柴4根,边长为2的正方形要火柴12根,边长为3的正方形要
火柴24根,以此类推答案是2(1)n n +
【答案】2(1)n n +
二、 数字类
【例5】 按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
(1)a 、2
2a -、3
3a 、4
4a -，________，__________；
(2)试写出第2007个和第2008个单项式 (3) 试写出第n 个单项式
【难度】1星 【解析】略
【答案】(1)565,6a a -
(2)200720082007,2008a a - (3)()1
1n n na --
【例6】 观察下列顺次排列的等式：
222213321,351541,573561,796381
⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-，猜想：第n 个等式
（n 为正整数）应为
【难度】1星
【解析】观察法解此题.根据前面的式子知第一项与第二项的乘积等于他们中间项的平方减1所以答案是
()()()
2
212121n n n -⨯+=-
【答案】()()()2
212121n n n -⨯+=-
【例7】 第3页写3、4、5，…，依此规则，即第n 页从n 开始，写n 个连续正整数．求他第一次写出数字
1000是在第几页？（ ）
A.500
B. 501
C.999
D.1000
【难度】2星 【解析】第1页
1 第2页 2、3 第3页 3、4、5 第4页
4、5、6、7
第n 页
则第500页开始，从500写到500+（500-1）=999 ∴第501页开始，从501写到501+（501-1）=1001 ∴数字1000在第501页第一次出现． 故选择B ．
【答案】B
总结: 本题主要考查通过分析各页写的数的变化归纳总结规律，解题的关键在于找到每一页上所写的数是
从几到几变化的
☞巩固练习
6. 已知
212212+=⨯434434323323+=⨯+=⨯，……若1010+=⨯b
a
b a （a ，b 都是正整数）
，则a +b 的最小值是____________
【难度】1星
【解析】通过观察已有的三个等式，其左边的一个因式的分母比分子小1，另一个因式就是第一个因式的
分子；而右边的两个加数又分别为左边的两个因数。

通过观察知满足条件的109a b ==，。

所以应填19
【答案】19
【变形】已知：2222233+
=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…，若 21010b b
a a
+=⨯符合前面式子的规律，则a b +的值为
A ．179
B ．140
C ．109
D ．210
【难度】2星 【解析】略 【答案】C
7. （2007四川自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据5
9
，
1216，2125，32
36
，…中得到巴尔末公 式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________ 【难度】2星
【解析】每个分数的分子之间都是成()23n n ≥且n 为正整数排列,且每个分数的分子与分母差4,所以答案
是)4()2(2
++n n n 或4
)2()2(22-++n n 【答案】)4()2(2
++n n n 或4
)2()2(22-++n n
8. （09崇文）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ， 第n 个数是 （n 为正整数）． 【难度】2星
【解析】观察法,数字规律按奇偶分开,偶数位的都是0,奇数位成偶数排列,所以答案是8,20n
n n ⎧⎨
⎩是奇数是偶数
【答案】8,20
n
n n ⎧⎨
⎩是奇数是偶数
9. 观察下列等式：
第一行 3＝4-1 第二行 5＝9-4 第三行 7＝16-9 第四行 9＝25-16 第五行 11＝36-25 … …
按照上述规律，第n 行的等式为 .
【难度】1星
【解析】等式左边是成奇数排列,右边是比这个奇数小两位的那两数的平方差,所以答案是
()2
2211n n n +=+-
【答案】()2
2211n n n +=+-
10. 下面是一个三角形数阵：
1------------------------第1行
2 3 ------------------第2行 4 5 6------------------第3行 7 8 9 10------------第4行
……
根据该数阵的规律,第8行第2个数是
【难度】2星
【解析】由图知每行的数的个数与行数是相同的,所以每行最后一个数是前面行数数的和,到第7行的最后
一个数应该是28,故答案是30.
【答案】30
11.（2007山东威海）观察下列等式：
22
3941401
⨯=-，22
4852502
⨯=-，22
5664604
⨯=-，22
6575705
⨯=-，22
8397907
⨯=-…
请你把发现的规律用字母表示出来：m n=
【难度】2星
【解析】观察法知,前面两个数的乘积等于他两数的和的平均的平方减去这两个数差得平均的平方.所以答
案是
22 22
m n m n
+-
⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】
22 22
m n m n
+-
⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
模块二新型题
【例8】(2007湖北潜江）根据下列图形的排列规律，第2008个图形
是 (填序号即可).(① ；② ；③ ；④ .) ……;
【难度】1星
【解析】观察法看图知选③
【答案】③
【例9】定义一种新运算：
1
2
a b a b
*=-，那么4*（-1）=
【难度】1星
【解析】根据题意可知，该运算是a的一半与b的差
【答案】3
☞巩固练习
12.现定义一种新运算：★，对于任意整数a、b，有a★b=a+b-1，求4★[（6★8）★（3★5）]的值
【难度】1星
【解析】∵a★b=a+b-1
∴4★[（6★8）★（3★5）]
=4★[（6+8-1）★（3+5-1）]
=4★（13★7）
=4★（13+7-1）
=4★19=4+19-1=22
【答案】22
13.用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b=a和a b=b，例如32=3，32=2．则
（20102009）（20072008）的值是 .
【难度】1星
【解析】：（20102009）（20072008），
=20102008，
=2010．
故答案为2010
【答案】2010
课堂检测
【练习1】（2011•重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）
A.55
B.42
C.41
D.49
【难度】1星
【解析】：∵图②平行四边形有5个＝122
++，
图③平行四边形有11个＝12323
++++，
图④平行四边形有19个＝1234234
++++++，
∴图⑥的平行四边形的个数为1234562345641
++++++++++=．
故选C ．
【答案】C
【练习2】（2011•日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）
A 、 第502个正方形的左下角
B 、 第502个正方形的右下角
C 、 第503个正方形的左上角
D 、 第503个正方形的右下角
【难度】2星
【解析】通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，
右上角是4的倍数余2
∵20114502÷=余3，
∴数2011应标在第503个正方形的左上角．
故选C ．
【答案】C
【练习3】（2011•济南）观察下列各式：
（1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2
456789107++++++= 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）
A 、210051006100730162011+++
= B 、210051006100730172011+++
= C 、210061007100830162011+++
= D 、210071008100930172011+++
= 【难度】2星
【解析】根据（1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=
可得出：()()()()2121a a a a n a n a ++++++=+-+ ,
依次判断各选项，只有C 符合要求，
故选C ．
【答案】C
总结复习
1.通过本堂课你学会了．
2.掌握的不太好的部分．
3.老师点评：①．
②．
③．
课后作业
1.（2010•安顺）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1，2，3，4号座位
上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直下去，则第2005次交换位置后，小兔所在的号位是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【难度】1星
【解析】小兔所在的号位的规律是4个一循环．因为20053501
÷=余1，即第2005次交换位置后，小兔所在的号位应和第一次交换后的位置相同，即图2．故选A
【答案】A
2.（2007哈尔滨）柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：
⨯听罐头，
第一层有23
⨯听罐头，
第二层有34
⨯听罐头，……
第三层有45
根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有听罐头（用含n的式子表示）
【难度】1星
【解析】略
【答案】2
(32)n n ++
3. （2008•淄博）观察下面几组数：
1，3，5，7，9，11，13，15，…
2，5，8，11，14，17，20，23，…
7，13，19，25，31，37，43，49，…
这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数，并知道第一个数是3，第三个数是11．则其第n 个数为（ ）
A.85n -
B.22n +
C. 41n -
D.225n +
【难度】2星
【解析】第一个数是3，第三个数是11，则第二个数为7；即每个数比前一个大4，故其第n 个数为41n -.
【答案】C
4. （2008•赤峰）给定一列按规律排列的数：11111,
,,,3579它的第10个数是（ ） A.
115 B.117 C.119 D.121
【难度】2星 【解析】分子都为1，分母分别为1，2213⨯-=，2315⨯-=…都是奇数．第10个数的分母是210119⨯-=
【答案】：19.
5. （2007•玉溪）观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a ，b ，c
的值分别为（ ）
A、20，29，30
B、18，30，26
C、18，20，26
D、18，30，28
【难度】3星
【解析】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18．
表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所b=24+25-20+1=30．
表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，即28．
故选D．
【答案】D。