高中数学第一章立体几何1.1.7柱、锥、台和球的体积课件新人教b必修2

一二三
二、柱、锥、台的体积 【问题思考】 1.填空:柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示 上、下底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
名称 柱体 锥体
台体
棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台
体积(V)
Sh πr2h 13Sh 13πr2h 1h(S+ S·S'+S')
1 π
2·4=4π(m3).
②若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得 V=8π(m3),
所以第二种方法可使铁筒体积最大.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积, 即V柱体=Sh.底面半径是r,高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱 =πr2h.
2.平行六面体的体积求解是比较常见的,因为平行六面体的六个 面都是平行四边形,故可以用任意一组平行的面作为底面,其余面 作为侧面.解题时,我们以解直棱柱的体积居多,故在平行六面体中 选底面时,以构成直棱柱为首选因素.
2.将球的表面积公式S球=4πR2和球的体积公式V球=
4 3
πR3从公式
结构上进行比较,你能发现S球和V球的关系吗?
提示:半径为R的球,其体积V球和表面积S球有以下关系:V球=
1 3
S
球·R.
3.做一做:已知球的表面积变为原来的4倍,则它的体积变为原来
的
倍.
答案:8
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
“×”.
(1)等底等高的两个柱体的体积相同. ( ) (2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍. ( ) (3)在公式 V 台体=13h(S 上+ ������上·������下+S 下)中 h 为该台体的侧棱或母线 长. ( ) (4)在三棱柱 A1B1C1-ABC 中有������������-������1������������ = ������������1-������1������1������ = ������������1-������1������������成立. ()
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2.填空:(1)“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两 个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个 截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”.
(2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. (3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想, 是推导柱、锥、台体积公式的理论依据. 3.运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分 别是什么? 提示:需要三个条件,分别是: (1)这两个几何体夹在两个平行平面之间. (2)平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面. (3)两个截面的面积总相等.
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一、祖暅原理 【问题思考】 1.请计算一下长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体的体积
3
和底面半径为2 π cm,高为2 cm的圆柱的体积.通过分析,你能发现 什么结论?
提示:根据V体=S底·h得这两个几何体的体积相等,均为24 cm3.由 此可知等底面积,且等高的圆柱和长方体的体积相等,不仅如此,在 此基础上还有下面的一般规律——祖暅原理.
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5.做一做:圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为 ()
A.36π B.18π C.45π D.12π 解析:V 圆锥=13πr2·h, 由 r=3,l=5 得 h=4(其轴截面如图), 所以 V=13×π×9×4=12π. 答案:D
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三、球的体积
【问题思考】
1.填空:V 球=43πR3,其中 R 为球的半径.
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
课标阐释
思维脉络
1.理解棱柱、棱锥和棱台体积公 式的推导,利用“祖暅原理”将空 间问题转化为平面问题. 2.了解球的体积公式,会计算球 的体积. 3.熟练运用体积公式求多面体和 简单旋转体的体积. 4.掌握柱体、锥体、台体体积公 式之间的关系,了解求几何体体 积的几种技巧.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1如图,某几何体的主视图是平行四边形,左视图和俯视
图都是矩形,则该几何体的体积为 ( )
A.6 3 C.12 3
B.9 3 D.18 3
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:由三视图知,该几何体为平行六面体,
由图知高 h= 22-12 = 3. 底面积 S=3×3=9, 所以其体积 V=9 3.
得
V
1
台体=3
ℎ
������ + (������-�பைடு நூலகம்����')
������' ������- ������'
= 13h(S+
������������'+S').
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4.做一做:一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积
为
.
解析:该几何体为底面是直角梯形的四棱柱,V=(1+22)×2×1=3. 答案:3
3
1πh(r2+rr'+r'2)
3
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2.求三棱锥的体积时有什么技巧? 提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三 棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求 的三棱锥. 3.台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求? 提示:台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体,所以它 的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下: 如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h, 设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是
答案:(1) (2)× (3)× (4)
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思想方法
柱体的体积
【例1】 用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如
何制作可使铁筒的体积最大?
解:①若以矩形的长为圆柱的母线l,
则l=4 m,
此时圆柱底面周长为2 m,
即圆柱底面半径为 R=1π m,
所以圆柱的体积为 V=πR2·l=π
h+x,
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则
V
台体=V
大锥体-V
1
11
小锥体=3S(h+x)-3S'x=3[Sh+(S-S')x],
而������'
������
=
(ℎ+������2������)2,所以
������' ������
=
ℎ+������ ������,
于是有 x= ���������-���'ℎ������',代入体积表达式,