高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版(理)

A. 3
π
1
+ = 3,cos
4
π

- =
4 2
√3
,则
3
等于( C )
√3
5√3
B.- 3

C.
1
(2)已知 cos - 2 =-9,sin

2
√6
D.- 9
9
2
π
π
- = 3,且2 <α<π,0<β<2 ,则
239
cos(α+β)=
-729
.
思考已知一个角或两个角的三角函数值,求另一角的三角函数值
-sin αcos -
cos α-cos +
π
1
6
2
π
6
π
3
+
π
π
3
2
sin α
- =sin = ,
故选 A.
(2)(方法一)因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,根据三角函数
1
定义可得 sin β=sin α= ,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin
π
4
+tan
7
= .
5
(方法二)∵tan 7
π
4
7
∴tan α= 5,答案为5.
=
tan -tan
π
4
1+tan ·tan
π
4
=
tan -1
1+tan
1
= ,
6
-14考点1
考点2
考点3
考点 2
三角函数公式的逆用及变用
例 2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为
的一般思路是什么?
-21考点1
考点2
考点3

π
解析: (1)cos + 2 =cos
=cos
π
4
+ ·
cos
π
π
π
4
+ -
π
π
4
4
- 2 +sin
3π
π
4
+ sin
-2
π
4

-2 .
∵0<α<2 ,则 4 < 4 +α< 4 ,
∴sin
π
+ =
4
π
π
2√2
3
π
.

π
又- 2 <β<0,则4 < 4 − 2 < 2 ,
αsin β=-
2 √2
3
2
+
1 2
3
3
7
=- .
9
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin2α-1=2×
1 2
3
7
-1=- .
9
-11考点1
考点2
考点3
解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中
( B )
A.√2
√2
B.
2
1
3
(2)已知 sin α+cos α= ,则
1
A.18
17
B.18
1
2
π
sin2 -
4
8
C.9
C.
√3
D.
2
=( B )
√2
D. 9
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
( B )
√2
A.- 2
√2
B. 2
1
又 sin2α+cos2α=1,
1
∴5sin2α=1,即 sin2α= .
√5
5
∵sin α>0,∴sin α= 5 .
关闭
B
故选
B.
解析
答案
-9考点1
考点2
考点3
考点 1 三角函数公式的基本应用
例 1(1)cos αsin
1
A.
2
1
B.2
π
+
6
π
+sin αsin 3
√3
C.
2
=( A )
C.2
1
D.-2
思考三角函数公式除了直接应用外,还能怎样应用?
-15考点1
考点2
考点3
解析: (1)原式=sin(65°-x)·
cos(x-20°)+cos(65°-x)cos
[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin
√2
4
∴cos α=-5.
∴
cos2
π
√2sin +4
=
,π ,
co s 2 -si n 2
2
2
√
√
√2 2 sin + 2 cos
(2)(方法一)tan α=tan =
1
+1
6
1
1- ×1
6
7
π
4
+
=cos α-sin α=- .
5
π
4
=
π
4
π
π
- ·tan
4
4
tan 1-tan
2
,
-8知识梳理
1
双基自测
2
π
3
4
5
5.已知 α∈ 0, 2 ,2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α=(
1
)
√5
B.
5
2 √5
A.
5
√3
关闭
C.
D.
3
∵2sin 2α=cos 2α+1,5
∴4sin αcos α=2cos2α.
π
∵α∈ 0, 2 ,∴cos α>0,sin α>0,
∴2sin α=cos α.
2
- =

2
2
× =
3
2 +
则 cos(α+β)=2cos
2
√5
,
3
-
- +sin -
2
4√5
9

,cos
=cos -

×
4 √5
7√5

2
.
27
239
-1=-
729
.
sin
·

2
-
-23考点1
考点2
考点3
解题心得1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知
角”表示.
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和
co s 2 +si n 2
=
1-ta n 2
1+ta n 2
4
= 5.故选 D.
1
sin
3
cos
(方法 2)∵tan θ=- ,∴
1
=- ,即 3sin θ=-cos θ.
3
1-cos2
两边平方得 9sin2θ=cos2θ,即 9×
4
解得 cos 2θ= .
5
2
=
1+cos2
β=tan(α+β)·
(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式
的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化
的能力.
-17考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则
sin(α+β)=
.
(2)化简:[2sin 50°+sin 10°(1+√3tan 10°)]·√2sin2 80°= .
(3)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列,则

√3tan 2tan2的值为
1
答案: (1)-2
.
(2)√6 (3)√3


tan +tan +
2
2
-18考点1
考点2
考点3
解析:(1)∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1,
∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin αcos β+2sin βcos
要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.
-12考点1
考点2
考点3
3
π
5
2
对点训练 1(1)已知 sin α= ,α∈
(2)若 tan -
π
4
1
= ,则 tan α=
6
,π ,则
7
5
7
cos2
π
√2sin +4
.
=
-
5
.
-13考点1
考点2
考点3
3
π
5
2
解析:(1)∵sin α= ,α∈
+ .( × )
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
2.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( D )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
解析:sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80°
=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°
1
α=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=- .
2
(2)原式=
=
cos10 °+√3sin10 °
2sin 50°+sin 10°·
cos10 °
1
√3
cos10 °+ sin10 °
2
2
2sin 50°+2sin 10°·
cos10 °
·√2cos 10°
=2√2[sin 50°·
4.5
两角和与差的正弦、余弦
与正切公式
-2知识梳理
1
双基自测
2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β
.
(2)cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β
.
(3)tan(α±β)=
tan±tan
.
1∓tantan
=sin(10°+20°)=sin
D
关闭
1
30°=2.
解析
答案
-7知识梳理
1
双基自测
2
3
4
1
4.若 tan θ=-3,则 cos 2θ=
4
5
1
5
A.-
B.-
解析 (方法 1)cos
=
1-
1+
1 2
3
1 2
3
5
( D )
1
5
4
5
C.
D.
co s 2 -si n 2
2
2
2θ=cos θ-sin θ=
cos 10°+sin 10°·
cos(60°-10°)]
=2√2sin(50°+10°)=2√2 ×
√3
2
= √6.
·√2sin 80°
-19考点1
考点2
考点3
(3)∵三个内角A,B,C成等差数列,且A+B+C=π,
2π +
∴A+C= 3 ,


2
π
+
= 3 ,tan

2

= √3,
∴tan2 +tan2 + √3tan 2 tan2
考点3
(3)由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得
tan +tan
1-tan tan
=-1,
即 tan(A+B)=-1,
3π
π
√2
∴A+B= 4 ,则 C=4 ,即 cos C= 2 .
解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的
直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tan α+tan
(2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.( × )
(3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°
1
=2.( × )


(4)cos θ=2cos22 -1=1-2sin22 .( √ )
(5)
1-tan
1+tan
=tan
π
4
D.-
√3
2
(2)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边
关于y轴对称.若sin
1
α= 3 ,则cos(α-β)=
7
-
9
.
-10考点1
考点2
考点3
解析:(1)cos αsin +
=cos αsin +
=sin +
π
6
π
=sin +
6
π
6
π
6
+sin αsin -
=tan


+2
2





1-tan 2 tan 2 + √3tan 2 tan2



=√3 1-tan tan + √3tan tan = √3.
2
2
2
2
-20考点1
考点2
考点3
考点 3 三角函数公式运用中角的变换
π π
例 3(1)若 0<α<2 ,-2 <β<0,cos
cos +

2
√3
[(65°-x)+(x-20°)]=sin 45°= .故选 B.
2
1
3
(2)∵sin α+cos α= ,
1
∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=9,
∴sin
8
2α=-9,
π
1-cos 2-2
2 π
∴sin 4 - =
2
1-sin2
17
= 2 = 18.
-16考点1
考点2
∴sin
π
- =
4 2

√6
.
3
1
故 cos + 2 = 3 ×
√3
3
+
2√2
3
×
√6
3
=