高考总复习数学(理科)课时作业：第6章 第1讲 不等式的概念与性质 Word版含解析

第六章 不等式
第1讲 不等式的概念与性质
1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1
b
B ．ab <b 2
C ．－ab <－a 2
D ．－1a <－1
b
2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )
A ．ac >bc B.1a <1
b
C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
3．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 4．(2015年湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )(导学号 58940315)
A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2
B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2
D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2
5．下列三个不等式中，恒成立的个数有( )
①x ＋1
x ≥2(x ≠0)；
②c a <c
b (a >b >
c >0)； ③a ＋m b ＋m >a b
(a ，b ，m >0，a <b )． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
6．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d
b
>0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两
个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的真命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．
8．(2015年上海)记方程①：x 2＋a 1x ＋1＝0，方程②：x 2＋a 2x ＋2＝0，方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )
A ．方程①有实根，且②有实根
B ．方程①有实根，且②无实根
C ．方程①无实根，且②有实根
D ．方程①无实根，且②无实根
9．(2016年北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )(导学号 58940316) A.1x －1
y
>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0
10．设a ，b 为正实数．现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1；
②若1b －1
a
＝1，则a －b ＜1；
③若|a －b |＝1，则|a －b |＜1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |＜1.
其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．
11．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝⎛⎭⎫a 2b 1
2＋⎝⎛⎭⎫b 2a 1
2
≥a 12
＋b 1
2
.(导学号 58940317)
12．已知α∈(0，π)，比较2sin 2α与sin α
1－cos α
的大小．
第1讲 不等式的概念与性质
1．D 解析：a <b <0，设a ＝－2，b ＝－1，则－1
2>－1；(－2)×(－1)>(－1)2；－(－2)×(－
1)>－(－2)2.故A ，B ，C 错误．故选D.
2．D 解析：当c ≤0时，A 不成立；当a ＝1，b ＝－2时，B ，C 不成立．故选D. 3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)
＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．
4．B 解析：e 1＝1＋b 2a 2，e 2
＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2
.不妨令e 1<e 2，化简，得b a <b ＋m a ＋m (m >0)．得
bm <am .得b <a .
所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m a ＋m ，即e 1<e 2.故选B.
5．B 解析：当x <0时，x ＋1x ≥2(x ≠0)显然不成立．由a >b ＞c >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
1a <1b ，c >0⇒c a <c
b
.故
②成立.a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )
(b ＋m )b
>0，故③成立．故选B.
6．D 解析：因为c a －d b ＝bc －ad ab ，所以由⎩⎪⎨⎪⎧
ab >0，bc －ad >0⇒c a －d
b
>0；同理⎩⎪⎨⎪⎧
ab >0，c a －d
b >0
⇒bc
－ad >0；⎩⎪⎨⎪⎧
bc －ad >0，
c a －
d b >0
⇒ab >0.故有3个真命题．
7．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
8(x －1)＜4x ＋20，
8x ＞4x ＋20，
x ∈N *
.
解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求． 8．B
解析：当方程①有实根，且②无实根时，a 21≥4，a 22<8，
从而a 3＝a 2
2a 1<8
2
＝4，∴a 3<16，
即方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0无实根．故选B ，而A ，D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根．
9．C 解析：由x >y >0，得1x <1y ，即1x －1
y
<0，A 不正确；由x >y >0及函数y ＝sin x 的单
调性，可知sin x －sin y >0不一定正确，B 不正确；由0<12<1，x >y >0，得⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x
－⎝⎛⎭⎫12y <0，C 正确；由x >y >0，得xy >0，不一定大于1，故ln x ＋ln y ＝ln xy >0不一定成立，D 不正确．
10．①④解析：①中，∵a 2－b 2＝1，
∴a －b ＝1
a ＋
b .
而a ＞0，b ＞0，又a 2＝b 2＋1＞1，
∴a ＞1，从而1
a ＋b
＜1，即a －b ＜1.∴①正确．
②中，取a ＝5，b ＝5
6
，验证知②错误．
③中，取a ＝4，b ＝1，验证知③错误． ④∵a ，b 是正实数，不妨设a ＞b ， ∴a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋b 2＋ab )． ∴a －b ＝a 3－b 3
a 2＋a
b ＋b 2＝1
a 2＋a
b ＋b 2
.
∵a 3＝1＋b 3＞1，∴a 2＞1，∴a 2＋ab ＋b 2＞1.
则0＜1
a 2＋a
b ＋b
2
＜1. ∴0<a －b ＝1
a 2＋a
b ＋b 2
＜1，即|a －b |＜1.
同理，设a ＜b ，也能得到|a －b |＜1的结论，故④正确． 11．证明：方法一，左边－右边＝(a )3＋(b )3
ab －(a ＋b )
＝
(a ＋b )(a －ab ＋b )－ab (a ＋b )
ab
＝(a ＋b )(a －2ab ＋b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab ≥0.
∴原不等式成立． 方法二，左边>0，右边>0. 左边右边＝(a ＋b )(a －ab ＋b )
ab (a ＋b )
＝(a －ab ＋b )ab ≥2 ab －ab ab
＝1.
∴原不等式成立．
12．解：2sin 2α－sin α
1－cos α＝4sin αcos α(1－cos α)－sin α
1－cos α
＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α
(2cos α－1)2. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0. ∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin 2α－sin α1－cos α
≤0.
∴2sin 2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π
3时取等号．。