华师版数学八年级下册 矩形的性质

∴∠B +∠C = 180°.
A
D
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
B
C
∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角
线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， A
D
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
D
又∵ BE∥AC，
O
∴四边形 ABEC 是平行四边形.
B
C
∴ AC = BE.
∴ BD = BE.
E
(2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4，A
D
∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵∠DBC = 30°， ∴ CD = BD = ×8 = 4，
O
B
C
∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.
所连线段的长是第三边长的 一半)
E O
B
C
5. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于 点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
（1）求证：BD = BE；
（2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， A ∴ AC = BD，AB∥CD.
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.
∵ 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， 矩形的折叠问 ∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2，解得 x＝5，即DE题＝常5与. 勾股定
∴ S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 理结合考查
思考：矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中 心是什么？
在 △ABC 和 △DCB 中，
O
B
C
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
归纳总结
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：
矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等.
几何语言描述：
A
D
O
B
C
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
典例精析
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求对角线的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD.
在 Rt△BCD 中，
E
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = .
能力提升：
6. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，P 是 AD 上
的动点，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，求 PE + PF 的值. 解：连接 OP. ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB = 90°，OA = OD = OC = OB.
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( A )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等
D. 对角线互相平分
2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边
上的中线长为
( C)
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的相 关概念及
性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
对称轴为通过对 边中点的直线
活动2： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如 书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的 度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
D
（实物）
O （形象图）
B
C
测量 物体
AB
AD
AC
BD ∠BAD
∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
O 由于矩形是平行四边形，因此
矩形是中心对称图形，对角线的交点是 它的对称中心.
做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折， 观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是，那么 对称轴有几条?
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形， 对称轴为通过对边中点的直线.
练一练
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
课本
桌子
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等.
你能证 明吗？
证一证 (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC.
归纳总结
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也叫做长方形.
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形； 平行四边形不一定是矩形.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四 边形的所有性质；由于它有一个角为直角，它是否 具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角， 对角线等方面 来考虑.
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
1.矩形的性质
情景引入 观察下面图形，长方形在生活中无处不在.
你还能举出其 他的例子吗？
思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？
矩形的性质 活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行 四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
长方形 （也叫矩形）
对角线相交的锐角是
( C)
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
4.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交
于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB
= 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =__2_.5___cm．
(提示：三角形中，两边中点 A
F
D
点 O，下列说法错误的是
（ C）
A．AB∥DC
B．AC = ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD
C．AC⊥BD
D．OA = OB A
D
O
B
C
2. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分
别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形
1
ABCD 面积的___4___.
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE∶ ∠BAE＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°. ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°. ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
∴ S△AOD = S△DOC = S△AOB = S△BOC
=
1 4
S矩形ABCD =
1 4
×6×8
=
12.
在 Rt△BAD 中，由勾股定理得 BD = 10，
∴ AO = OD = 5. ∵ S△APO + S△DPO = S△AOD， ∴∴12PAEO+·PPEF+=1225D4.O·PF = 12，即 5PE + 5PF = 24.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵ 四边形 ABCD 是矩形， A
D
∴ AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠CED.
∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE，
B
F E
C
∴ DF = DC.
例3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求 △BED 的面积． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2，
∴ OA = OB.
A
D
又∵∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴ OA = AB = 4. ∴ AC = BD = 2OA = 8.
O
B
C
矩形的对角线
相等且互相平分
例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，
DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. 证明：连接 DE.