(优辅资源)云南省昆明市高三下学期第二次统测数学(理)试题 Word版含答案

云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试
题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数z 满足
()2
1i 1i z
+=-，则z =（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为5
3
，则其渐近线方程为（ ）
A ．20x y ±=
B ． 20x y ±=
C ．340x y ±=
D ．430x y ±= 3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）
A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5
B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7
C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8
D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．24π
B ．30π C.42π D ．60π 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n S a 成等差数列，则17S =（ ） A ．0 B ．2 C.2- D ．34 6. ()
()
3
4
122x x +-的展开式中x 的系数是（ ）
A ．96
B ．64 C.32 D ．16 7. 在AB
C ∆中，AH BC ⊥于H ，点
D 满足2BD DC =， 若2AH =，则A H A D =
（ ）
A B ．2 C.．4 8. 已知函数()()sin 026f x x πωω⎛⎫
=+
<< ⎪⎝
⎭
满足条件：102f ⎛
⎫
-
= ⎪⎝⎭
，为了得到()y f x =的图象，可将函数()cos g x x ω=的图象向右平移m 个单位(0)m >，则m 的最
小值为（ ）
A ．1
B ．
12 C.6π D ．2
π
9. 圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯
()Re uleaux 命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）: 画
一个等边三角形ABC ，分别以,,A B C 为圆心，边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形. 它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.
图1 图2
在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（ ） A ．
8
π
B
D
10. 已知抛物线()2
20y px p =>上的点到焦点的距离的最小值为2，过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l 的距离为（ ）
A ．1
或 2 B ．1或2或
2
D ． 2
11. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()x
f x e =，若存在R t ∈，对
任意[]()1,1,N x m m m ∈>∈，都有()f x t ex +≤ , 则m 的最大值为 （ ） A ． 2 B ．3 C.4 D ．5 12. 定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有
()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周
期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()()221x
f x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递
增函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．5
,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．[)2,+∞ C.10,3⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D ．[)10,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 ．
14. 若函数(
)4f x x πω⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，则
ω= ．
15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆
是边长为若平面PAB ⊥平面ABC ，则棱锥P ABC -体积的最大值为 ．
16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有 种．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在平面四边形ABCD
中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2.
（1）求AD 的长； （2）求CBD ∆的面积.
18. 根据“2015年国民经济和社会发展统计公报” 中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的
第三产业在GDP 中的比重如下:
（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；
（2）建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程； （3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重. 附注: 回归直线方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
1
1
22
2
1
1
()()
()()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y
y b x
n x x x ====---=
=
--∑∑∑∑, a y bx =-.
19. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面
111,1,2BCC B AC BC BB ===， 160B BC ∠=
.
（1）证明:1B C AB ⊥；
（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45，求
1
BE
BB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中， 动圆M 与圆22
1:20O x x y ++=外切，同时与圆
222:2240O x y x +--=内切.
（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；
（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为
B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT 为定值.
21. 已知函数()()1
ln 11
x x f x e
-++=
. （1）求()f x 的单调区间；
（2）设()()
()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >- 时，
()21g x e <+.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为122(2
x t t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C
的极坐标方程为ρ=.
（1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C
上各点的横坐标缩短为原来的
6
2
倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =+.
（1）解不等式()241f x x <--；
（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11
x a f x m n
--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.
云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）
试题参考答案
一、选择题
1-5:CDCAB 6-10:BBADB 11-12：CC
二、填空题
13. 8 14. 3 15.3 16.12
三、解答题
17. 解：(1)由已知11
sin 25sin 222
ABD S AB BD ABD ABD ∆=
∠=⨯⨯∠=，所以
sin ABD ∠=
，又0,2ABD π⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
，所以cos ABD ∠=ABD ∆中，由余弦定
理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠=，所以AD =
(2)由AB BC ⊥，得2
ABD CBD π
∠+∠=
，所以sin cos 5
CBD ABD ∠=∠=
，又 42,sin 2sin cos 5
BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=
，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ⎛⎫
∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭
，
所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：
sin sin BD CD
BCD CBD
=
∠∠， 所以
sin5115545
5,sin
4
sin4224458
5
CBD
BD CBD
CD S CB CD BCD
BCD∆
∠
====∠=⨯⨯⨯=∠
.
18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：
(2)3,47.06
x y
==，11
222
11
()()
15
1.5
10
()()
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nx y x x y y
b
x n x x x
==
==
---
====
--
∑∑
∑∑
,
42.56
a y bx
=-=，
所以回归直线方程为 1.542.56
y x
=+.
(3)
代入2017 年的年份代码7
x=，得1.5742.5653.06
y=⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP中的比重将达到00
53.06.
19. 解：(1)证明：在
1
BCB
∆中，
11
1,2,60
BC BB B BC
==∠=，则1
3
B C==222
11
BC B C BB
+=，故
1
B C BC
⊥.所以
AC⊥平面
11
BCC B，于是
1
AC B C
⊥，又BC AC C
=，故
1
B C⊥平面ABC，所以
1
B C AB
⊥.
(2)如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则
(
))()()1
0,0,0,,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =
，得)
1
1,0C -，设
()1BE BB λλ=0≤≤1
，则),1,0E
λ-，于是
()()1
3,1,1,3,
1,1AE AC
λλ=--=--，求得平面1
AEC 的一个法向量为
(n λ=-，取平面1
EC C 的一个法向量为(
)0,0,1m =，又二面角
1A EC C --为
45，则
(cos 45m n m n
λ=
=
=
-，解得1
2
λ=
或2λ=（舍）， 所以
1BE BB 的值为1
2
. 20. 解：(1)由圆22
1:20O x x y ++=，得()2
211x y ++=，所以()11,0O -，半径为1；由圆22
2:2240O x y x +--=，得()2
2125x y -+=，所以()21,0O ，半径为5，设动圆
圆心(),M x y ，半径为R ，因为
M 与1O 外切，
所以1R 1MO =+，又因为M 与2O 外切，所以25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆定义知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则2
2
9,8a b ==，所以动圆圆心M 的轨迹方程为
22
198
x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则
1010
AP y y k x x -=
-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得0110
10S x y x y x y y -=-，同
理()()01100110
1010
T x y x y x y x y x y y y y --+=
=
--+，于是2222
01100110011022
101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-，
又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故222
2010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ()()222
2
2222222222
011
001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 所以()()22222201011022
2210
018989
x x x y x y OS OT y y x x --===--. 21. 解：(1)函数()f x 的定义域为()()()
1
1
1ln 111,,'x x x f x e
---++-+∞=，由于()()1
'00,1ln 11
f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，所以当10x -<<时，
()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间
为()0,+∞.
(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，所以
()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，
()()()()()()()11
1
1ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤
⎣⎦+=++=
()
()()2
1
21ln 1x x e
x x x e
++=--++⎡⎤⎣⎦，构造函数()()1
2x h x e x +=-+，则
()1'10x h x e +=->，则当10x -<<时，
()()()11
2
210,01x x x h x e x h e +++=-+>-=∴<
<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，
()()
()()()()22121ln 11ln 1x x g x e x x x e x x x e
++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1l n 1p x x x x =--++，
得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当
()21,1x e -∈--时，()'0p x >，则()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，则()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--+
+≤-=+
，所以当10x -<<时，()2
1g x e <
+成立.综合
① ②可知：当1x >-时，()2
1g x e <+. 22. 解：(1)直线l
0y -+=，曲线1C
的参数方程为
(x y θθθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C 的参数方程为cos (x
y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），
可设点()
cos P θθ，故点P 到直线l
的距离为
d ==，所以min d =P 到直线l 23. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+
-+<⎪⎩或
()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214
x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅，
所以不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭
. （2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，所以()x a f x --的最
大值是2a +，
又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4. 要使()11x a f x m n
--≤+的恒成立，则24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。