第五讲：圆周运动临界问题

第五讲：圆周运动临界问题
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引
起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某
些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运
动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析
各量的变化，找出临界状态.
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最
大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，
静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平
面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：
①A、B滑动的临界角速度大小；
①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.
【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2
方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑
最大静摩擦力提供向心力：2μmg =2m·3
2r·ω2，故临界角速
度：ω=
μg 3r
. ①绳断瞬间：A 的向心力小于最大静摩擦力，故仍做圆周运动；B 的向心力大于最大静摩擦力，B 做离心运动.
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
例、如图所示，用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，重力加速度为g ，分析：F T 随ω2变化的图像.
【解析】情况一：a ≤g tan θ，小球与锥面接触，对小球受力分析，将向心加速度分解到沿绳方向和垂直绳方向.
则有：T =m g cos θ+ml sin 2θω2，N =mg sin θ－1
2ml sin2θω2
情况二：a >g tan θ，小球离开锥面，绳力T =mlω2 故T 与ω2的函数图像如图所示.
【例题】一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B ，绳长AB ＝l >h ，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g )( )
A.12π
g h
B.πgh
C.12π
g l
针对训练
题型1：摩擦力有关的临界问题
1．如图，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g 取10m/s2）
（多选）2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）
A．当ω＜时，绳子没有弹力
B．当ω＞时，A、B仍相对于转盘静止
C．ω在＜ω＜范围内时，B所受摩擦力大小不变
D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力大小先不变后增大
（多选）3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为
m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
4．如图所示，表面粗糙的水平圆盘上叠放着质量相等的两物块A、B，两物块到圆心O的距离r＝0.2m，圆盘绕圆心旋转的角速度ω缓慢增加，两物块相对圆盘静止可看成质点．已知物块A与B间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块B与圆盘间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）
A．根据f＝μF N可知，B对A的摩擦力大小始终等于圆盘对B的摩擦力大小
B．圆盘对B的摩擦力大小始终等于B对A的摩擦力大小的2倍
C．圆盘旋转的角速度最大值ωmax＝rad/s
D．如果增加物体A、B的质量，圆盘旋转的角速度最大值增大
（多选）5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B
两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。

细线能承受的最大拉力为8N，AB间的动摩擦因数为0.4，B 与转盘间的动摩擦因数为0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘静止时，细线刚好伸直（g＝10m/s2）。

则下列说法正确的是（）
A．A物块刚脱离B物块时转盘的角速度为2rad/s
B．当0≤ω＜2rad/s，绳子中的张力大小一定为0
C．当2rad/s＜ω＜4rad/s，绳子可能被拉断
D．当4rad/s＜ω＜8rad/s，绳子可能被拉断
题型2：弹力有关的临界问题
6．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为L，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
（多选）7．如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°．小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10m/s2）（）
A．2 rad/s B．2.5 rad/s C．3 rad/s D．4 rad/s
8．一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝30°，如图所示，一条长度为l的轻绳，一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（可视为质点）．物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动．则：
①当时，绳的拉力大小为多少？
②当时，绳的拉力大小为多少？
9．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。

小物体质量为1kg，与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则下列说法正确的是（）
A．角速度ω的最大值是rad/s
B．小物体运动过程中所受的摩擦力始终指向圆心
C．小物体在最高点的速度v≥m/s
D．小物体由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为25J
10．如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最高点A的最小速度是（）
A．2 m/s B．2m/s C．2m/s D．2m/s。