新人教版初中数学——点、线、面、角-知识点归纳及例题解析

新人教版初中数学——点、线、面、角
知识点归纳及例题解析
一、直线、射线、线段
1．直线的性质
（1）两条直线相交，只有一个交点；
（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；
（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
2．线段的性质
两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质
若C是线段AB中点，则AC=BC=1
2
AB；AB=2AC=2BC．
4．两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．
5．垂线的性质
（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；
（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
6．点到直线的距离
从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．
二、角
1．角
有公共端点的两条射线组成的图形．
2．角平分线
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =1
2
∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
3．度、分、秒的运算方法
1°=60′，1′=60″，1°=3600″．
1周角=2平角=4直角=360°．
4．余角和补角
（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
5．方向角和方位角
在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．
三、立体图形
1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面，棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，侧面是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形．
2．点动成线，线动成面，面动成体，线没有粗细，点没有大小．
3．设立体图形的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则F+V-E=2．
4．正方体的平面展开图有如下11种类型：
考向一直线、射线、线段
在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；
②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程
解决．
典例1 如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【答案】B
【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线，故选B．
典例2 已知AB=10，C是射线AB上一点，且AC=3BC，则BC的长为
A．2.5 B．10
3
C．2.5或5 D．
10
3
或5
【答案】C
【解析】①如图，
10×1
4
=2.5；
②如图，
10×1
2
=5，故选C．
1．下列叙述中，①延长直线AB到点C；②延长射线AB到点C；③延长线段AB到点C；④反向延长线段BA到点C；⑤反向延长射线AB到点C，其中正确的有
A．1 B．2
C．3 D．4
2．如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表
示的数分别为-5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为1
3
BC的点N，则该
数轴的原点为
A．点E B．点F
C．点M D．点N
考向二角
1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．
2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=1
3
∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．
典例3 一副三角尺按如图所示摆放，已知∠1比∠2的3倍少10°，则∠1的值为
A．20°B．70°
C．25°D．65°
【答案】D
【解析】根据图示可知∠1+∠2=90°，根据题意可知∠1=3∠2-10°，所以∠2=（90°+10°）÷4=25°，所以
∠1=65°，故选D ．
【名师点睛】本题考查了互余以及一元一次方程的应用，找到∠1和∠2之间的关系是解决此题的关键． 典例4 如图，要修建一条公路，从A 村沿北偏东75°方向到B 村，从B 村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE 与AB 的方向一致，则∠ECB 的度数为
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．105°
【答案】A
【解析】如图，
由题意可得：AN FB ∥，EC BD ∥，
故75NAB FBD ∠=∠=︒，∵25CBF ∠=︒，∴100CBD ∠=︒， 则18010080ECB ∠=-=︒︒︒．故选A ．
典例5 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ． （1）若∠AOC =70°，∠DOF =90°，求∠EOF 的度数； （2）若OF 平分∠COE ，∠BOF =15°，若设∠AOE =x °． ①用含x 的代数式表示∠EOF ； ②求∠AOC 的度数．
【解析】（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，∴∠FOB=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=1
2
∠BOD=
1
2
×70°=35°，
∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°．
（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，
∵OF平分∠COE，
∴∠FOE=1
2 x．
②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，
∴∠BOE=1
2
x-15°，
∵∠BOE+∠AOE=180°，
∴1
2
x-15°+x=180°，解得x=130°，
∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．
【名师点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质、对顶角的性质以及角度之间的关系，在解决角的问题时，我们一定要将未知的角通过对顶角和角平分线的性质转化为已知的角，然后根据题目中给出的角度进行求解得出答案．对于这种题目还经常会出现一些隐含的条件，我们一定要能够根据题目发现条件．
3．计算：18°30′=__________°．
4．如图，∠AOB=180°，∠BOC=80°，OD平分∠AOC，∠DOE=3∠COE，求∠BOE．
考向三立体图形的平面展开图
1．从不同方向看物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．
2．在正方体的平面展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；展开图中不会出现“田”字形、“凹”
字形的形状．
典例6 下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】正方体的展开图形共有11种情况，选项中只有B选项符合，故选B．
典例7 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x-y的值为________．
【答案】–3
【解析】两数互为相反数，和为0．本题应对图形进行分析，可知y对应x，5对应2x–3，由此可得：y=–x，2x–3=–5，解得：x=–1，y=1，
∴2x–y=2×（–1）–1=–3．
故答案为：–3．
5．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的
A．B．
C．D．
6．如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次为
A．0，-2，1 B．0，1，2
C．1，0，-2 D．-2，0，1
7．如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同__________．
1．将如图所示的几何图形，绕直线l旋转一周得到的立体图形
A．B．C．D．
2．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是
A．B．C．D．
3．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为
A．北偏东30°B．北偏东80°
C．北偏西30°D．北偏西50°
4．如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是
A．30°B．40°C．50°D．130°
5．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是
A．B．
C．D．
6．如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6 cm，BC=1 cm，则AD的长等于
A．10 cm B．11 cm
C．12 cm D．13 cm
7．如图，D是AB的中点，E是BC的中点．
（1）若AB=3，BC=5，则DE=__________；
（2）若AC=8，EC=3，则AD=__________．
8．已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，则∠β等于__________°．
9．如图，一只蜘蛛从长、宽都为3，高为8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________．
10．某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．
11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=__________；
（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；
（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．
12．已知∠AOB=120°，OC、OD过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；
（2）如图②，若∠COD=50°，∠AOC≠∠DOB，求∠MON的度数；
（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=α（0°<α<60°），求∠MON的度数．
1．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是
A．B．C．D．
2．下列四个几何体中，是三棱柱的为
A．B．C．D．
3．由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是
A．国B．的C．中D．梦
4．如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为2 的面与其对面上的数字之积是
A ．12-
B ．0
C ．8-
D ．10-
5．若2945'α=︒，则α的余角等于 A ．6055'︒
B ．6015'︒
C ．15055'︒
D ．15015'︒
6．与30的角互为余角的角的度数是 A ．30
B ．60︒
C ．70︒
D ．90︒
7．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是
A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
8．已知6032'α∠=︒，则α∠的余角是 A ．2928'︒
B ．2968'︒
C ．11928'︒
D ．11968'︒
9．如图，小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处，则
ABC ∠等于
A ．130︒
B ．120︒
C ．110︒
D ．100︒
10．如果∠α=35°，那么∠α的余角为__________．
11．如图，已知AB =8 cm ，BD =3 cm ，C 为AB 的中点，则线段CD 的长为__________cm ．
1．【答案】C
【解析】①直线是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；
②射线可以反方向延长，不能延长，故本选项错误；
③延长线段AB到点C，故本选项正确；
④反向延长线段BA到点C，故本选项正确；
⑤反向延长射线AB到点C，故本选项正确．
故选C．
2．【答案】D
【解析】∵2AB=BC=3CD，∴设CD=x，则BC=3x，AB=1.5x，∵A、D两点表示的数分别为-5和6，∴AD=11，∴x+3x+1.5x=11，解得x=2，故CD=2，BC=6，AB=3，∵AC的中点为E，BD的中点为M，
∴AE=EC=4.5，BM=MD=4，则E点对应的数是-0.5，M点对应的数为2，∵BC之间距点B的距离为1
3 BC
的为点N，∴BN=1
3
BC=2，∴AN=5，∴N点对应的数为0，即为原点，故选D．
3．【答案】18.5
【解析】18°30′=18.5°，故答案为：18.5．
4．【解析】∵∠AOB=180°，∠BOC=80°，∴∠AOC=100°，
∵OD平分∠AOC，∴∠COD=1
2
∠AOC=50°，
又∵∠DOE=3∠COE，
∴∠COE=1
2
∠COD=25°，
∴∠BOE=∠BOC-∠COE=55°．
5．【答案】D
【解析】把正方体展开有四种情况：A是2-2-2型；B是1-4-1型；C是1-4-1型；D是1-4-1型，把这几个图形分别折成正方体，会发现三个阴影的面相邻，但又不在同一列上，而且直角三角形的锐角所在的顶点与呈正方形阴影的面共用一个顶点．只有D是上面正方体的展开图，故选D．
6．【答案】A
【解析】由正方体展开图的特征，相对的面展开后中间会间隔一个面可知，和A相对的是0，和B相对的是2，和C相对的是-1，所以A、B、C内依次填0、-2、1，故选A．
7．【答案】（2）（4）
【解析】∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是；
（2）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；
（3）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；
（4）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．
∴两个完全相同的是（2）（4）．
故答案是：（2）（4）．
【名师点睛】此题考查了立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】绕直线l旋转一周，可以得到的圆台，故选C．
2．【答案】B
【解析】A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；
C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．
故选B．
3．【答案】A
【解析】如图，
AP∥BC，∴∠2=∠1=50°．∠3=∠4–∠2=80°–50°=30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选A．
4．【答案】B
【解析】设这个角为x°，由题意得：
90-x=50，
解得：x=40，
故选B．
5．【答案】D
【解析】A、∵∠1+∠2=360°–90°×2=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
B、∵∠1=30°+90°=120°，
∴∠1+∠2=120°+60°=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
C、∵∠1=180°–60°=120°，
∴∠1+∠2=120°+60°=180°，
∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；
D、∠1度数无法确定，∠2=60°，
所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．
故选D．
6．【答案】B
【解析】∵MN=6 cm，∴MB+CN=6-1=5 cm，AB+CD=10 cm，∴AD=11 cm，故选B．
7．【答案】4；1
【解析】（1）∵D是AB的中点，E是BC的中点，AB=3，BC=5，∴BD=1
2
AB=
3
2
，BE=
1
2
BC=
5
2
，
∴DE =BD +BE =
35
22
+=4，故答案为：4． （2）∵EC =3，E 是BC 的中点，∴BC =2EC =6，∵AC =8，∴AB =AC -BC =8-6=2，∵D 是AB 的中点， ∴AD =
1
2
AB =1，故答案为：1． 8．【答案】75
【解析】∵∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，
∴18030αββα∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩
，
解得：∠α=105°，∠β=75°， 故答案为：75． 9．【答案】10
【解析】如图1，AB =()2
2383130++=，
如图2，
AB 226810+=13010>，∴最短路径为10，故答案为：10． 10．【答案】40
【解析】设此人外出购物共用了x 分钟，则（6−0.5）x =110+110，解得x =40，所以此人外出购物共用了40分钟，故选D ．
11．【解析】（1）当D 点与B 点重合时，AC =AB –CD =6；故答案为：6；
（2）由（1）得AC=1
2
AB，∴CD=
1
2
AB，
∵点P是线段AB延长线上任意一点，
∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=1
2
AB+PB，
∴PA+PB–2PC=AB+PB+PB–2（1
2
AB+PB）=0；
（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=1
2
AC=
1
2
（AB+BC）=8，
DN=1
2
BD=
1
2
（CD+BC）=5，
∴MN=AD–AM–DN=9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=1
2
AC=
1
2
（AB–BC）=4，
DN=1
2
BD=
1
2
（CD–BC）=1，
∴MN=AD–AM–DN=12+6–4–4–1=9．12．【解析】（1）∵OC，OD是∠AOB的三等分线，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=1
3
∠AOB=
1
3
×120°=40°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC=1
2
∠AOC=20°，∠DON=
1
2
∠DOB=20°，
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=80°．
（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，
∴∠MOC=1
2
∠AOC，∠DON=
1
2
∠DOB，
∴∠MOC+∠DON=1
2
（∠AOC+∠DOB），
∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∴∠AOC+∠DOB=120°-50°=70°，∴∠MOC+∠DON=35°，
∴∠MON =50°+35°=85°．
（3）∵射线OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠DOB ，
∴∠MOC =
12∠AOC ，∠DON =1
2
∠DOB ， ∴∠MOC +∠DON =1
2
（∠AOC +∠DOB ），
∵∠AOB =120°，∠COD =α， ∴∠AOC +∠DOB =120°-α，
∴∠MOC +∠DON =60°-
1
2
α， ∴∠MON =60°-12α+α=60°
+1
2
α
1．【答案】D
【解析】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱， 那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D ． 2．【答案】C
【解析】A 、该几何体为四棱柱，不符合题意； B 、该几何体为四棱锥，不符合题意； C 、该几何体为三棱柱，符合题意； D 、该几何体为圆柱，不符合题意．故选C ． 3．【答案】B
【解析】相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，故选B ． 4．【答案】A
【解析】数字为2-的面的对面上的数字是6，其积为2612-⨯=-．故选A ． 5．【答案】B
【解析】∵2945'α=︒，∴α的余角等于：9029456015''-︒︒︒=．故选B ． 6．【答案】B
【解析】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选B ． 7．【答案】B
【解析】∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°，故选B ． 8．【答案】A
【解析】α∠的余角为9060322928︒-︒'=︒'，故选A ． 9．【答案】C 【解析】如图，
∵小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处， ∴40DAB ∠=︒，20CBF ∠=︒， ∵向北方向线是平行的，即AD BE ，
∴40ABE DAB ∠=∠=︒， ∵90EBF ∠=︒，
∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，
∴4070110ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故选C ． 10．【答案】55°
【解析】∵∠θ=35°，
∴它的余角等于90°-35°=55°． 故答案为：55°． 11．【答案】1
【解析】∵C 为AB 的中点，AB =8 cm ， ∴BC =
12AB =1
2
×8=4（cm ）， ∵BD =3 cm ，∴CD =BC -BD =4-3=1（cm ）， 则CD 的长为1 cm ， 故答案为：1．。