高数期末考试试题

高数期末考试试题

高数II试题

一、选择题（每题4分，共16分)

xy，22 0xy,，,22xy，fxy(,）,,

22,0 0xy,,,1（函数在（0, 0）点 .

（A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在;

（C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D）连续,且偏导函数都不存在。

，z，zfxyzxyz，，，(，)f，x2（设为可微函数，,则 .

,，，，,,fyzf，fyzf,1，,fxyf121212

，，，,，，fxyf，，11，,fxyffyzf，CAB121212 （)( （）(；（）( ；

，，fxzf，12

，，fyzf，12D（）(。

f（x,y)d，22,,Dxy：24，，,，，f（x,y)（设在上连续,则二重积分D表示成3

极坐标系下的二次积分的形式为。

22， 2，d（cos，sin）d，，，frrrrd（cos，sin)d,,,frrrr，,，，AB 0 0 0 0()（; （)（;

,, 4cos,, 4sind（cos，sin）d,，，frrrrd(cos，sin)d，,，

frrrr，，，,CD 0 0 0 0（）(;()（。

，，nnax（1)，ax,，nnx,3n00n,，4(幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径

为。

3C5ABD41(）（；（）(;（)（; （)(。

二、填空题（每题4分，共20分）

yyzx,zx，1(设函数,则函数的全微分。 ,，,,222P（1，1，1）OPuxyz,，，002（函数在点处沿方向的方向导数为，其中O为坐标原点。

z23zxye，，,3（曲面在点(1，2,0)处的切平面方程为。

2222Ixyds,，,, ,x，y，9LL4(曲线积分（其中是圆周：）的值为。

，，，，，,x，0x1,,f（x）bnxsinbsinnx,，,nn,，1，1x，，1，n1n，5

（设的正弦级数展开式为，设和函

sx（)数为，则

s（7）,s（5，），， .

三、计算题（每题7分，共21分)

，x,,，yyyxe323，，，1(求方程的通解。

14xxd，d,xfxydyxfxydy，，，,，，，,,，，012xx2（交换二次积分的积分顺序.

2zds22,,zxyz，，，，04,,,3（计算曲面积分,其中为锥面。，

2,，zz，22fzfxyxy,（，)，，，xxy四(9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求。

B4124，aaIxxydxxyydy,,，,465，，，,，aA五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，

0，01,2，，，，AB,并求分别为，时曲线积分的值。

Ifxyzdxdydz，(,，），,，，六、(10分)化三重积分为柱面坐标及球面坐标系2222z，1,x，yz,x，y，下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域。

222(）（）（）yzdydzzxdzdxxydxdy,，，，，，，,七、（10分）求，其中?为锥面

22zxyzh,，，，(0）的外侧。

fx（），lim0x，0fx（)x,0x八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数

，1f（）,nn1，绝对收敛。

高数II解答

一、选择题（每题4分，共16分)B C D B

xy，22 0xy,，，22xy,fxy(，）,，

22，0 0xy，，，1(函数在（0, 0）点 B 。

(A）连续,且偏导函数都存在; （B）不连续,但偏导函数都存在;

(C）不连续，且偏导函数都不存在; （D）连续，且偏导函数都不存在.

，z，zfxyzxyz,，，（，)f，x2（设为可微函数，,则 C 。

，，,，,，fyzf,fyzf，1，，fxyf121212

，，，，，，fxyf，，11,，fxyffyzf，CAB121212 （）（（)(; （)（ ;

，，fxzf,12

,，fyzf，12D（）（.

f(x，y）d，22，，Dxy：24，,，，，f（x，y）(设在上连续,则二重积分D表示成 3

极坐标系下的二次积分的形式为 D 。

22, 2，d(cos,sin）d，,，frrrrd（cos，sin）d,，，frrrr，,，,AB 0 0 0 0(）（；（)(;

,， 4cos,， 4sind（cos，sin)d，，，frrrrd(cos，sin）d，，，frrrr，，，，CD 0 0 0 0（）（;（）(。

，，nnax（1），ax，,nnx,3n00n，，4(幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为

B 。

3C5ABD41(）（; （)（;(）（；（)（.

二、填空题（每题4分，共20分)

yy，1yydzyxdxxxdy，，lnzx，zx,6（设函数，则函数的全微分. ，,，，

222P(1，1,1）OPuxyz，,，23007（函数在点处沿方向的方向导数为,其中O为坐标原点。

z2340xyz，，，，23zxye，,，8(曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为。

2222Ixyds，，，, ，x，y，954,LL9（曲线积分（其中是圆周：)的值为.

，,，,，，x,0x1，，f(x)bnxsinbsinnx，,,nn,，1,1x,,1，n1n,10（设的正弦级数展开式为，设和函

sx（）数为,则

s(7）72,，,s（5）0，，，。

三、计算题（每题7分，共21分）

，x,，，yyyxe323，，，1（求方程的通解。

2rr，,，,2，1rr，，,32012解：特征方程为,则特征根为，

，，2xxyCeCe,，12因此齐次方程通解为

，，xyxaxbe，，，,设非齐次一个特解为,代入方程得 223axbax，，,

3ab,,，，32得，

，x,，，yyyxe323,，,故方程的通解为

3，，,,，22xxxyCeCexxe，,,，312,，2,，

14xxd，d，xfxydyxfxydy,,,,，,,,，，,012xx2（交换二次积分的积分顺序.

14xxd,d，xfxydyxfxydy，，，，，,，，，,，012xx解:

22y，d，yfxydx，，2,,,1y=

2zds22，,zxyz，，,，04,，,，3(计算曲面积分，其中为锥面。

2222,,,，,，:，:16zxyxyDxy，，解：